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高三数学考试参考答案
!!#!!解析"本题考查集合的交集运算#考查数学运算的核心素养!
因为"$!#""#%&#"#’!##($$!#"%!###&$%$$!(%!%&%)$%所以"$$$!(%!%&$!
&!*!!解析"本题考查复数的运算#考查数学运算的核心素养!
!%+ "!%+#"!%&+# ! ) ! ) &
%$ $ $% % +%则%%$% ’ +%%’%%$% !
!’&+ "!’&+#"!%&+# , , , , ,
)!-!!解析"本题考查指数$对数$三角函数值的大小比较#考查逻辑推理的核心素养!
因为(&(!&(!)&!%./0&&(%12!,’!%所以&&’&(!
3!*!!解析"本题考查等比数列的概念#考查数学运算的核心素养!
设!’$的公比为*%则’*4$"%’’&$’*,"’*6#&$"’*4#)$")$&!"!
) ! " 5 ! ! !
,!-!!解析"本题考查曲线的切线与圆的位置关系#考查数学运算的核心素养!
!
由+$17#%得+,$ %则曲线+$17#在点"!%(#处的切线方程为+$#%!!因为+$#%!与
#
"%!" 槡&
圆-&#&’+&$.&相切%所以-的半径.$ $ !
槡& &
"!8!!解析"本题考查三角恒等变换#考查数学运算的核心素养!
因为9:7!%9:7" 是方程#&%3#’!$(的两个根%所以9:7!’9:7"$3%9:7!9:7"$!%
所以
./0"!%" #
$
./0!./0"’0+7!0+7"
$
!’9:7!9:7"
$
!
!
0+7"!’" # 0+7!./0"’./0!0+7" 9:7!’9:7" &
4!#!!解析"本题考查双曲线的性质#考查直观想象的核心素养!
"/1" &
由9:7(/01$ & $ %"01"$(%得"/1"$&$&%"0/"$’$槡&!
& "0/" ’ & &
"0/"&’"01"&%"/1"& "0/"&’"01"&%"/1"&
由 ! ! ’ & & $(%
&"0/"’"01" &"0/"’"01"
! &
得"/1"&’"/1"&$&""0/"&’"01"&#$&;"&’"#$!"%解得"/1"$&槡)!
! & ! !
6!8!!解析"本题考查导数的应用#考查逻辑推理的核心素养!
./0# %#0+7#%./0# ! !
因为2"##$ %所以2,"##$ &(在"(% #上恒成立%则2"##在"(% #
# #& & &
! ! !
上单调递减!因为"%$是锐角)"$-的两个内角%所以"’$’ %则 ’"’ %$’(%则
& & &
! !
(&./0"&./0" %$#$0+7$&!& %故2"./0"#’2"0+7$#%同理可得2"./0$#’
& &
2"0+7"#!0+7"与0+7$%./0"与./0$的大小关系均不确定%所以2"0+7"#与2"0+7$#%
2"./0"#与2"./0$#的大小关系也均不确定!
5!#8!!解析"本题考查抛物线的性质#考查数学运算的核心素养!
4
直线#$3+’)与#轴的交点坐标为")%(#%则 $)%即4$"%由抛物线的性质可知当3$(
&
时%"56"取得最小值%且最小值为&4$!&!故选#8!
!(!*8!!解析"本题考查函数的概念#考查数学抽象的核心素养!
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% "!""
{#{QQABYYyAogCgAAIAARhCEQVKCAMQkAACAAoGQEAIIAAAwAFABCA=}#}
书书书由函数的概念可知7不是)的函数%)是7的函数%3不是)的函数%3是7的函数!
!!!#-8!!解析"本题考查立体几何初步#考查直观想象#数学运算的核心素养!
!!
因为/"*平面"$-%"-*$-%且/"$槡)%"$$&"-$&%所以三棱锥
/%"$-外接球的半径8$ /$ $ 槡4 %表面积9$3!8&$4!%*不正确!& % #!
& &
若/-*平面"56%则/-*"6%/-*56!又/-*$-%所以56+ $
! ) /6 56 )
$-!又6-$"-’./0"(<$ %所以/6$ % $ $ %解得
& & /- 槡) 3 ! "
)槡)
"56"$ %#正确!因为5%6分别为/$%/-的中点%所以56+$-%则56*平面
3
"6-%$-+平面"56%则点$到平面"56的距离等于点-到平面"56的距离!设点-
槡) ! 槡)
到平面"56的距离为:%易知"6$!%56$ %9 $ "6’56$ %由; $
& )"56 & 3 -%"56
! 槡) 槡) ! 槡) 槡)
; %得 ; ; $ ; :%解得:$ %-正确!如图%将)/"-%)/-$翻折至平
5%"6- ) 3 & ) 3 &
面/"$内%连接"",%易知""","即)"56周长的最小值%
""","$槡/",&’/"&%&/",’/"’./0("/",$)%)"56周长的最小值为)%8正确!
!&!*-8!!解析"本题考查数列的性质#考查逻辑推理#数学运算的核心素养!
由)$’&’&,’&%得’#槡)%)$’&’&#’&’&’&’&’&’’!$"’’!#&%得’’槡)%!%
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )
即槡)%!&’#槡)%记(#)表示不大于#的最大整数%因为’-!%所以’$(槡))%故’ $
) ) ) )’!
(槡)’!)%则’ ,’%*正确!若(槡))$(槡)’!)%则’$’ %’&$’& %则& %&$!%
)’! ) ) )’! ) )’! )’! )
此时& ’&%#不正确!当!#)#)时%’$(槡))$!*当3#)#6时%’$(槡))$&*当5#)
)’! ) ) )
#!,时%’$(槡))$)*当!"#)#&3时%’$(槡))$3*当&,#)#),时%’$(槡))$,*当
) ) )
)"#)#36时%’$(槡))$"*当35#)#")时%’$(槡))$4*当"3#)#6(时%’$(槡))$
) ) )
6*当6!#)#55时%’$(槡))$5*当)$!((时%’$(槡))$!(!
) )
故’’’’+’’ $);!’,;&’4;)’5;3’!!;,’!);"’!,;4’!4;6’!5;5’
! & !((
!;!($"&,%-正确!’&’’&’+’’& $);!&’,;&&’4;)&’5;3&’!!;,&’!);"&’
! & !((
!(( !((;!(!
!,;4&’!4;6&’!5;5&’!;!(&$33),%则&’&’+’& $."<%’&#$ %
! & !(( < &
<$!
33),$"!,%8正确!
!)!%&!!解析"本题考查平面向量的坐标运算#考查数学运算的核心素养!
因为!$")%4#%"$"%!%)#%所以!%&"$",%!#%"!%&"#’"$,;"%!#’!;)$%&!
! ! =!
!3! "答案不唯一%满足 ’ %=-"即可#!!解析"本题考查三角函数的图象与性质#考查
!& !& &
逻辑推理的核心素养!
! ! ! ! =!
由题可知>"##$0+7"&#’ #%令&#’ $ ’=!%=-"%解得#$ ’ %=-"!
) ) & !& &
!,!大雨!!解析"本题考查圆台的体积#考查数学运算#直观想象的核心素养!
!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$% "!""
{#{QQABYYyAogCgAAIAARhCEQVKCAMQkAACAAoGQEAIIAAAwAFABCA=}#}由题可知水桶的上底面半径8$!(.=%下底面半径.$3.=%桶深?$&(.=%水面半径.$
!
8’. ? !
$4.=%水深?$ $!(.=%则水桶中水的体积;$ "!.&’!.&’!..#’?$
& ! & ) ! ! !
; )!(!
)!(!.=)%则日降雨量为 $ $)!!.=$)!==%故当日的降雨量等级为大雨!
!8& !((!
!"!>3!!解析"本题考查函数的零点与性质#考查逻辑推理的核心素养!
#%& >#%&’!
显然2"&#/(%当#/&时%令"#%&#">#%&%!#%>">#%&’!#$(%得 $ !令>"##
> >#%&%!
#%& >#%&’!
$ %?"##$ %则2"##的零点转化为>"##与?"##图象的交点!因为?"3%##$
> >#%&%!
#%&
%?"##%所以?"##的图象关于点"&%(#对称!易知>"##$ 的图象也关于点"&%(#对称%
>
所以#
!
’#
&
$3%则>#!’#&$>3!
!4!解&"!#因为./0&"’0+7"$’-#$!%所以!%&0+7&"’0+7"$!%………………………&分
!
又0+7"/(%所以0+7"$ !………………………………………………………………3分
&
!
由)"$-为锐角三角形%得"$ !………………………………………………………,分
"
"&#由"!#及余弦定理知’&$&&’(&%&&(./0"$&&’(&%槡)&(!…………………………4分
3
因为’$&%&$(%所以&&$ %…………………………………………………………6分
&%槡)
! &&
所以)"$-的面积9$ &(0+7"$ $&’槡)! ………………………………………!(分
& 3
评分细则&
,!-第"!#问学生若得出0+7"$’-#$0+7"%得!分*
!
,&-第"!#问未说明0+7"/(%直接得出0+7"$ %扣!分!
&
!6!解&"!#由’$%&4%得2,"##$)#&%&4! …………………………………………………!分
令2,"##$(%得#$?)!……………………………………………………………………&分
当#-"%@%%)#0")%’@#时%2,"##’(*当#-"%)%)#时%2,"##&(!……………)分
2"##的单调递增区间为"%@%%)#和")%’@#%单调递减区间为"%)%)#%……………3分
故2"##的极大值为2"%)#$4(%2"##的极小值为2")#$%)6!………………………"分
!"
""##,(在"!%3#上恒成立等价于’,%#&% 在"!%3#上恒成立!…………………6分
#
!" !" %&#)’!"
令>"##$%#&% "!&#&3#%则>,"##$%&#’ $ !……………………5分
# #& #&
当#-"!%&#时%>,"##’(%>"##单调递增*当#-"&%3#时%>,"##&(%>"##单调递减!
>"## $>"&#$%!&%……………………………………………………………………!!分
=:A
故’的取值范围为(%!&%’@#!…………………………………………………………!&分
评分细则&
,!-第"!#问学生若未注明是极大"小#值%扣!分*
!高三数学"参考答案!第!!!!)页#共"页$% "!""
{#{QQABYYyAogCgAAIAARhCEQVKCAMQkAACAAoGQEAIIAAAwAFABCA=}#},&-第"&#问’的取值范围未用区间表示%不扣分*
,)-第"&#问也可以直接对2"##求导%对参数’进行分类讨论求解%按步骤给分!
2&’’":$6%
!5!"!#解&设!’$的公差为:%则1 ! ……………………………………………&分
)
3’"’’&:#$)%
! !
2’$!%
2’
!
$%5%
解得1 ! 或1
!)
"舍去#%…………………………………………………………3分
3:$! :$
3 )
故’$’’")%!#:$)!……………………………………………………………………"分
) !
! ! !
"&#证明&由"!#可知&$ $ & %……………………………………………5分
) &’)’! &)’! &)
! !
(!%" #))
! ! ! ! & & !
则9& ’ ’ ’+’ $ $!% !…………………………………!&分
) &! && &) &) ! &)
!%
&
评分细则&
2’
!
$%5%
,!-第"!#问学生若未舍去1
!)
这种情况%扣!分*
:$
3 )
,&-第"&#问学生如果不是从第一项进行放缩的%证得结果按步骤给分!
&(!"!#证明&连接"-%与$@交于点6%连接/6!因为四边形"$-@是正方形%所以"-*
$@! …………………………………………………………………………………………!分
因为/$$/@%6为$@的中点%所以$@*/6! ………………………………………&分
因为"-$/6$6%"-4平面/"-%/64平面/"-%所以$@*平面/"-! ………)分
又/"4平面/"-%所以/"*$@!………………………………………………………3分
"&#解&过/作"-的垂线%垂足为0!易知/0*平面"$-@!…………………………,分
以0为坐标原点%过0且平行于"$%"@的直线分别为#轴%+轴%0/所在直线为%轴%建
立如图所示的空间直角坐标系!
由"$$&槡&%得"-$3%因为/"$&%/-$&槡)%所以/"*/-%则 ’
&
槡&)槡& 槡& 槡&
/0$槡)%"0$!%-0$)%则@"% % %(#%""% %% %(#%
& & & &
%
)槡&)槡& 665 665 槡& 槡&&槡)
/"(%(%槡)#%-" % %(#!由5-$&/5%得5" % % #% !
& & & & )
(
"
…………………………………………………………………4分 # $
*
" 66 5 5 $"槡&%槡&% &槡) #%" 665 @$"(%&槡&%(#!………………………6分 ) +
)
665 2 &槡)
2"5’#$(% 槡&#’槡&+’ %$(%
设平面"@5的法向量为#$"#%+%%#%由1 得1 )
665
3"@’#$(%
3&槡&+$(%
令#$槡&%得#$"槡&%(%%槡)#!……………………………………………………………5分
!高三数学"参考答案!第!!!!3页#共"页$% "!""
{#{QQABYYyAogCgAAIAARhCEQVKCAMQkAACAAoGQEAIIAAAwAFABCA=}#}由图可知$$"(%(%!#是平面"$-@的一个法向量!……………………………………!(分
#’$ %槡) 槡!,
./0.#%$/$ $ $% % …………………………………………………!!分
"#""$" 槡, ,
槡!,
故平面"@5与平面"$-@夹角的余弦值为 !……………………………………!&分
,
评分细则&
第"&#问中的坐标系不唯一%按步骤给分!
&&&
2 $)%
&!!解&"!#由题可知1 ’ …………………………………………………………………&分
33’$6%
解得’$&%&$槡)% …………………………………………………………………………)分
#& +&
故-的方程为 ’ $!!…………………………………………………………………3分
3 )
9 !
"&#!为定值%定值为 !理由如下&………………………………………………………,分
9 5
&
依题可设直线56的方程为+$="#%!#%5"#%+#%6"#%+#%
! ! & &
2
#&
’
+&
$!%
联立方程组1 3 ) 整理得")’3=&##&%6=&#’3=&%!&$(%……………………"分
3+$="#%!#%
6=& 3=&%!&
则#’#$ %##$ !………………………………………………………4分
! & )’3=& ! & )’3=&
+
易知""%&%(#%""&%(#%直线"$的方程为#$%!%则直线"5的方程为+$ ! "#’
! & ! #’&
!
+ ="#%!#
&#%令#$%!%得+$ ! $ ! %…………………………………………………6分
/ #’& #’&
! !
%)+ %)="#%!#
同理可得+$ &$ & ! ……………………………………………………5分
A #%& #%&
& &
="#%!#
" ! "
9 "/1" #’& ! "#%!#"#%&# !##%&#%#’&
!$ ! $ ! $ " ! & "$ "! & ! & " ……!(分
9 "A1" %)="#%!# ) "#%!#"#’&# )##%#’&#%&
& ! " & " & ! ! & ! &
#%&
&
3=&%"
%#
! ##%"#’##%#’& ! )’3=& ! ! 9 !
$ " ! & ! & ! "$ " "$ !故 !为定值%且该定值为 !
)##’&"#’##%)#%& ) !&=&%!6 5 9 5
! & ! & ! %)# &
)’3=& !
…………………………………………………………………………………………!&分
评分细则&
2’&$&&’(&%
(& 5
,!-第"!#问学生也可由1 ’ $!%得出-的方程*
’& 3&&
33’$6%
,&-第"&#问学生若设直线56的方程为#$3+’!%按步骤给分!
!高三数学"参考答案!第!!!!,页#共"页$% "!""
{#{QQABYYyAogCgAAIAARhCEQVKCAMQkAACAAoGQEAIIAAAwAFABCA=}#}’ 17# ’ ! #%’>
&&!"!#解&因为2"##$ ’ %!%所以2,"##$% ’ $ !……………………!分
# > #& ># >#&
若’#(%则2,"##’(在"(%’@#上恒成立*若’’(%则当#-"(%’>#时%2,"##&(%当#-
"’>%’@#时%2,"##’(!……………………………………………………………………)分
综上所述%当’#(时%2"##的单调递增区间为"(%’@#%无单调递减区间*当’’(时%2"##
的单调递增区间为"’>%’@#%单调递减区间为"(%’>#!…………………………………,分
#17# #17# >%!%17#
"&#证明&由2"##$(%得’$#% %令
#
"##$#% %则 #,"##$ !当#-
> > >
"(%>>%!#时% #,"##’(%
#
"##单调递增%当#-">>%!%’@#时% #,"##&(%
#
"##单调递减%且当
#
#-"(%>>#时%
#
"##’(%当#-">>%’@#时%
#
"##&(%则#
!
-"(%>>%!#%#
&
-">>%!%>>#%
#
&-
!
"!%’@#!……………………………………………………………………………………"分
’ 17# ’ 17# ’ ’ 17#%17#
由2"##$ ’ !%!$(%2"##$ ’ &%!$(%得 % $ & !!
! # > & # > # # >
! & ! &
! ! 17&%17&
令&$ %&$ %则17#$%17&%17#$%17&%则’"&%&#$ ! &%即’$
! # & # ! ! & & ! & >
! &
17&%17& ! = ! >"&%&#
! &%则 ’ , 恒成立等价于&’=&, ! & 恒成立!
>"&%&# # # ’ ! & 17&%17&
! & ! & ! &
&
>"!%!#
& # >"&%&# & &
因为 !$ &-"!%’@#%所以&’=&, ! & 恒成立等价于=’ !, & 恒
& # ! & 17&%17& & &
& ! ! & & 17 !
&
&
成立!…………………………………………………………………………………………6分
& >"3%!#
令3$ !"3’!#%则不等式转化为=, %3恒成立!
& 173
&
>"3%!# >3173%>3’>%3"173#&
令>"3#$ %3%3’!%则>,"3#$ !…………………………5分
173 3"173#&
令?"3#$>3173%>3’>%3"173#&%3’!%
则?,"3#$>173’>%>%"173#&%&173$173">%&%173#!
当3-"!%>>%&#时%?,"3#’(%?"3#单调递增*当3-">>%&%’@#时%?,"3#&(%?"3#单调递减!
…………………………………………………………………………………………!(分
因为?"!#$?">#$(%所以当3-"!%>#时%?"3#’(%则>,"3#’(%当3-">%’@#时%?"3#&(%
则>,"3#&(%则>"3#在"!%>#上单调递增%在">%’@#上单调递减!……………………!!分
故>"3# $>">#$>&%&>%从而=,>&%&>!……………………………………………!&分
=:A
评分细则&
,!-第"!#问学生单调区间若未写成区间的形式%扣!分*
,&-第"&#问学生用其他的方法证明%按步骤给分!
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% "!""
{#{QQABYYyAogCgAAIAARhCEQVKCAMQkAACAAoGQEAIIAAAwAFABCA=}#}
