江苏省扬州中学2024届高三上学期1月月考数学_2024届江苏省扬州中学高三上学期1月月考

江苏省扬州中学 2024 届高三年级阶段性检测 数学 2024.1.15 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. (2＋i)(2－i)＝ A.5 B. －1 C. 1 D.7 3. 已知向量 ，则 在 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知 展开式中各项系数之和为 ，则展开式中 的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面 为矩形，顶棱 和底面平行， 书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即 （其中 是刍薨的高，即顶棱 到底面 的距离），已知 和 均为等边三 角形，若二面角 和 的大小均为 ，则该刍 薨的体积为（ ） A. B. C. D. 7．已知抛物线 的焦点为F， ，点 是抛物线上的动点，则当 的值最小时， = （ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 8. 已知函数 在区间 内不存在最值，且在区间 上，满足 恒成立，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 1 学科网（北京）股份有限公司目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ） A. 数据1，2，3，4，5，6，8，9，11 第的75百分位数是7 B. 若事件M，N的概率满足 ， 且M，N相互独立，则 C. 由两个分类变量 ， 的成对样本数据计算得到 ，依据 的独立性检验 ，可判断 ， 独立 D. 若一组样本数据 的对应样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关 系数为 10. 已知圆 ： ，过直线 ： 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为A，B， 则（ ） A. 若点 的坐标为 ，则 B. 面积的最小值为 C. 直线 过定点 D. 11. 已知 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在棱长为1的正方体 中，点 在侧面 内运动（包括边界）， 为棱 中点，则下列说法正确的有（ ） A. 存在点 满足平面 平面 B. 当 为线段 中点时，三棱锥 的外接球体积为 C. 若 ，则 最小值为 D. 若 ，则点 的轨迹长为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知 ， ，则 __________. 14.数列 满足 ，且 ，则该数列前 5 项和可能是 ___________(填一个值即可） 15. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数： __________. ① ；②函数 在 上单调递增. 2 学科网（北京）股份有限公司16．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，过 的直线交双曲线 的 右支于 ， 两点（其中点 在第一象限内），设 ， 分别为 ， 的内心，则当 时， =____________； 内切圆的半径为____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知数列 前 项和为 ，且满足__________. ① ，均有 且 ，②首项 ， 均有 ；从 条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题： （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 前 项和 的表达式. 18. 如图，在四棱锥 中， ，设 分列为棱 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值． 19. 如图，在 中， ，点P在边BC上，且 ． （1）若 ，求PB﹔ （2）求 面积的最小值． 20．已知椭圆 的离心率为 ，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于 A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时， 面积为 ． （1）求C的方程； （2）当M异于O点时，记直线 与y轴交于点N，求 周长的最小值． 3 学科网（北京）股份有限公司21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河 和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。甲 同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同， 内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物 是等可能的。方式二：直接购买吉祥物，每个30元。 （1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开。当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用 X 表示甲购买的次数，求X 的分布列； （2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物， 以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？ 22.定义函数 ． （1）求曲线 在 处的切线斜率； （2）若 对任意 恒成立，求k的取值范围； （3）讨论函数 的零点个数，并判断 是否有最小值．若 有最小值m﹐证明： ；若 没有最小值，说明理由． （注： …是自然对数的底数） 4 学科网（北京）股份有限公司江苏省扬州中学 2024 届高三年级阶段性检测 数学 2024.1.14 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 2. (2＋i)(2－i)＝ A.5 B. －1 C. 1 D.7 【答案】D 3. 已知向量 ，则 在 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4. 已知函数 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 5. 已知 展开式中各项系数之和为 ，则展开式中 的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6. 刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面 为矩形，顶棱 和底面平行， 书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即 （ 其 中 是 刍 薨 的 高 ， 即 顶 棱 到 底 面 的 距 离 ） ， 已 知 5 学科网（北京）股份有限公司和 均为等边三角形，若二面角 和 的大小均为 ，则该刍薨的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出线段 长及点 到平面 的距离 ，再代入公式计算即得. 【详解】令点 在平面 的投影分别为 ，取 的中点 ，连接 ， 由 平面 ， 平面 ，得 ， 由正 ，得 ， 平面 ， 则 平面 ，同理 平面 ，由四边形 为矩形，得 ， 于是 平面 ，而 面 ， 平面 ，则 ， 显然 ，有 ，且 都在平面 ，因此点 共线， 显然 ，而 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 则 ， 四边形 为平行四边形， ， 由 ， ，得 是二面角 的平面角，即 ， 则 ，又 ，因此 ， 同理 ，而 ，则 ， 所以该刍薨的体积为 . 6 学科网（北京）股份有限公司故选：A 7．已知抛物线 的焦点为F， ，点 是抛物线上的动点，则当 的值最小时， = （ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】由题知，抛物线的准线方程为 ， ，过P作 垂直于准线于 ，连接 ，由抛 物线定义知 . 由正弦函数知，要使 最小值，即 最小，即 最大，即直线 斜率最大，即直线 与抛物线相切. 设 所在的直线方程为： ，联立抛物线方程： ，整理得： 则 ，解得 即 ，解得 ，代入 得 或 ，再利用焦半径公式得 故选：B. 7 学科网（北京）股份有限公司8. 已知函数 在区间 内不存在最值，且在区间 上，满足 恒成立，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由正弦型函数的区间最值情况得 ， ，进而有 或 ， 讨论 结合已知恒成立确定最终 的取值范围. 【详解】由 ，则 内不存在最值， 即 ，则 ， ，则 或 ， 由 ，则 中 恒成立， 只需 且 ， 或 ； 8 学科网（北京）股份有限公司所以 的取值范围是 . 故选：D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ） 的 A. 数据1，2，3，4，5，6，8，9，11 第75百分位数是7 B. 若事件M，N的概率满足 ， 且M，N相互独立，则 C. 由两个分类变量 ， 的成对样本数据计算得到 ，依据 的独立性检验 ，可判断 ， 独立 D. 若一组样本数据 的对应样本点都在直线 上，则这组样本数据的相关 系数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求出第75百分位数，从而判定A；由独立性得到 ，进而 利用对立事件的概率关系判定B；根据 ，可判定C；根据直线方程斜率为负 值，可知相关系数为负值，根据所有点都在直线上，可知相关系数绝对值为 1，进而可知相关系数，从而 判定D. 【详解】对于选项A，9个数据从小到大排列，由于 ，所以第75百分位数应该是第7个数 8，故A错误； 对于选项 B，由 M，N 相互独立得： ，所以 ， ，故B正确： 对于选项C，由 ，可以认为 和 独立，故C正确： 对于选项D，样本点都在直线 ，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为 ，故D 正确， 故选：BCD. 10. 已知圆 ： ，过直线 ： 上一点 作圆 的两条切线，切点分别为A，B， 则（ ） 9 学科网（北京）股份有限公司A. 若点 的坐标为 ，则 B. 面积的最小值为 C. 直线 过定点 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用圆的切线长公式求解判断；B选项，利用 时， 取最小值求解判断；C 选项，设 ，求得以 为直径的圆，与 联立，求得直线AB的方程判断；D选项， 利用圆的弦长公式求解判断. 【详解】A选项，如图， 由圆的切线性质及勾股定理可得： ，所以A选项正确： B选项， 到直线 的距离为 ， 而 ，所以 的最小值为 ， 所以三角形 面积的最小值为 ，所以B选项错误： C选项，设 ， ， 线段 的中点坐标为 ， 所以以 为直径的圆的方程为 ， 即 ，由 ， 两式相减得直线 的方程为： ，即 ， 10 学科网（北京）股份有限公司由 解得 ，所以直线 过定点 ，C选项正确； D选项，由C选项知，圆心 到直线 的距离 ， 所以 ，D选项正确， 故选：ACD. 11. 已知 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用同构法判断A；利用A中结论判断B；利用零点存在定理判断 的范围，从而利用一次函数 与二次函数的性质判断CD. 【详解】因为 ，所以 ， 又 在其定义域内单调递增，所以 其定义域内单调递增，故 ，故A正确； 由A可知 ，所以 ，故B正确； 因为 单调递增， 且 ， 根据零点存在定理，有 ，故C错误； 因为 ， 又二次函数 的对称轴为1，且在区间 上单调递减， 11 学科网（北京）股份有限公司所以 ，故D正确， 故选：ABD. 12. 如图，在棱长为1的正方体 中，点 在侧面 内运动（包括边界）， 为棱 中点，则下列说法正确的有（ ） A. 存在点 满足平面 平面 B. 当 为线段 中点时，三棱锥 的外接球体积为 C. 若 ，则 最小值为 D. 若 ，则点 的轨迹长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】当点 位于 点时，平面 平面 ，可判断A选项；确定三棱锥 的外接 球的球心，进而求半径，可判断B选项；当点 位于 点时，可判断C选项；利用 ∽ ，建 立适当的平面直角坐标系可得到 点的轨迹，进而求轨迹的长，可判断D选项. 【详解】 12 学科网（北京）股份有限公司对于A， 面 面 ， 所以当点 位于 点时，平面 平面 ，故A正确； 对于B，当 为线段 中点时， 与 均为直角三角形，且面 面 ， 三棱锥 的外接球的球心为 的中点， 外接球的半径 ， 三棱锥 的外接球体积为 ，故B正确； 对于C， ， 点 在线段 上， 当点 位于 点时， ，故C错误； 对于D，若 ， 与 均为直角三角形， ∽ ， ， 如图，在正方形 中， 以 为原点， 、 分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系， 则 ， ， 设 ，则 ， 13 学科网（北京）股份有限公司整理得： ， 点 在面 内的轨迹为以 为圆心，以 为半径的 ， ， ， 在 中， ， ， ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知 ， ，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角平方和关系可得 ，进而根据齐次式即可求解. 【详解】由 可得 ，故 ， 又 ，解得 或 ， 由于 ， ，故 ， 又 ，故 ，因此 ， 故 ， 故答案为： 14 学科网（北京）股份有限公司14.数列 满足 ，且 ，则该数列前 5 项和可能是 ___________(填一个值即可）5或者31 【分析】由条件可得 ，然后分 或 讨论，结合等比数列的定 义以及其前 项和公式，即可得到结果. 【详解】因为 ， 即 ， 所以 或 ， 若 ，则数列 为常数数列， 且 ，则其前5项和 ； 若 ，即 ，且 ， 则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 则 ； 所以该数列前5项和可能是5或者31. 15. 请写出一个同时满足下列两个条件的函数： __________. ① ；②函数 在 上单调递增. 【答案】 （答案不唯一，形如 均可） 【解析】 【分析】根据 ，可设 ，再根据性质②确定 的可能取值. 【详解】因为 ， ， 所以可设 ， 则 . 因为函数 在 上单调递增， 15 学科网（北京）股份有限公司所以 ， 所以 满足这两个条件， 故答案为： （答案不唯一）. 16．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为 ，过 的直线交双曲线 的 右支于 ， 两点（其中点 在第一象限内），设 ， 分别为 ， 的内心，则当 时,____________ ； 内切圆的半径为____________ 【解析】由双曲线方程知： ， 由 ，则 ，故 ， 而 ，所以 ，故 ，得 ， 所以 ， 若 为 内切圆圆心且 知：以直角边切点和 为顶点的四边形为正方形， 结合双曲线定义：内切圆半径 ， 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知数列 前 项和为 ，且满足__________. 16 学科网（北京）股份有限公司① ，均有 且 ，②首项 ， 均有 ；从 条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题： （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 前 项和 的表达式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据 求解即可； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 若选条件①，则令 ，可得： ， 故当 时有： ， ， 又当 也符合上式，所以 ， 数列 的通项公式为 ； 若选条件②，则由 可得， 当 时， ，解得 ， 当 时有： ， 则 , 化简得: ， 因为 ，故有 ，即 ， 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，从而有 . 数列 的通项公式为 ； 【小问2详解】 17 学科网（北京）股份有限公司由（1）可知： ，则 ， ， 两式相减得： ， ， ， 所以 . 数列 前 项和为 . 18. 如图，在四棱锥 中， ，设 分列为棱 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2） . 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，利用线面平行的判定推理即得. （2）取 的中点 ，证明 平面 ，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量 求出线面角的正弦值即得. 【小问1详解】 取 的中点 ，连接 ，则 ，且 ， 18 学科网（北京）股份有限公司又 ，且 ，于是 ，四边形 为平行四边形， 则 ，又 平面 平面 ， 所以 平面 . 【小问2详解】 取 的中点 ，连接 ，由 ，得 ， 又 是 的中点，则 ， 又 是 的中点，则 ， 而 平面 ，于是 平面 ， 平面 ， ， 又 平面 ，因此 平面 ， 不妨设 ，以点 为坐标原点，直线 、过点 平行于 的直线、 直线 分别为 轴建立空间直角坐标系， 则 ，则 ， 由 为 的中点，得 ， 由（1）知， ，直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角， 设 为平面 的一个法向量，则 ，令 ，得 ， 设 与平面 所成角为 ，则 ， 所以 与平面 所成角的正弦值为 . 19. 如图，在 中， ，点P在边BC上，且 ． 19 学科网（北京）股份有限公司（1）若 ，求PB﹔ （2）求 面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理求解即可； （2）设 ，则 ，求出 ， ，所以三角形ABC面积 的可表示为只含 的函数，利用二次函数的性质可得最大值. 【小问1详解】 因为 ， 所以在 中由余弦定理可得 ， 所以 ，解得 ， 由正弦定理得 ，即 ，解得 ， 所以 ， ， 在三角形ABC中由正弦定理得： ，则 ， 20 学科网（北京）股份有限公司解得 ，所以 ； 【小问2详解】 设 ，则 ，由于 ，则 ， 在 中由正弦定理得： ，解得 ， 过A点做BC的垂线，交BC于M点，设三角形的面积为S， 则 ，所以 ， 所以 ， 所以 即三角形ABC 面积的最大值为 . 20．已知椭圆 的离心率为 ，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于 A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时， 面积为 ． （1）求C的方程； （2）当M异于O点时，记直线 与y轴交于点N，求 周长的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当M与原点O重合时，可设 ，则有 、 ， 21 学科网（北京）股份有限公司且 ，即有 , 则 ， 即 ，又 ，故 ，则 ， 即有 ，由离心率为 ，即 ， 则 ，故 ，即有 ， 解得 ，故 ，即C的方程为 ； （2）设直线 方程为 ，令 ，有 ，即 ， 设点 、 ，则 ， 联立直线与椭圆方程： ，消去 有 ， ，即 ， 有 ， ， 为 ， 22 学科网（北京）股份有限公司令 ，故 ， 由 ，故 ， 其中 ，即 ， 则 ， 当且仅当 时等号成立， 故 周长的最小值为 . 22. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河 和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。甲 同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同， 内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物 是等可能的。方式二：直接购买吉祥物，每个30元。 （3）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开。当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用 X 表示甲购买的次数，求X 的分布列； （4）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物， 以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？ 23 学科网（北京）股份有限公司24 学科网（北京）股份有限公司22.定义函数 ． （1）求曲线 在 处的切线斜率； （2）若 对任意 恒成立，求k的取值范围； （3）讨论函数 的零点个数，并判断 是否有最小值．若 有最小值m﹐证明： ；若 没有最小值，说明理由． （注： …是自然对数的底数） 【答案】（1） （2） （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）通过参变分离以及求解函数的最值得出结果； （3）分成 为奇数， 为偶数两种情况，并借助导数不等式分别讨论函数 的零点个数及最值. 【小问1详解】 由 ， 可得 , 25 学科网（北京）股份有限公司所以曲线 在 处的切线斜率 . 【小问2详解】 若 对任意 恒成立， 所以 对任意 恒成立， 令 ，则 ， 由 解得 ，或 ；由 解得 ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ，且当 时， ， 故 的最小值为 ， 故 ，即 的取值范围是 . 【小问3详解】 ， 当 时， ， 因此当 为奇数时， ， 此时 则 ，所以 单调递减. 此时 ， 显然有唯一零点，无最小值. 当 时， 26 学科网（北京）股份有限公司且当 时， ， 由此可知此时 不存在最小值. 从而当 为奇数时， 有唯一零点，无最小值， 当 时，即当 为偶数时， ， 此时 ， 由 ，解得 ；由 ，解得 则 在 上单调递减，在 上单调递增， 故 的最小值为 ， 即 ，所以当 为偶数时， 没有零点. 设 ， ， 所以 在 上单调递增， ，即 . 令 可得 ， 当 时 27 学科网（北京）股份有限公司， 即 . 从而当 为偶数时， 没有零点，存在最小值 . 综上所述，当 为奇数时， 有唯一零点，无最小值； 当 为偶数时， 没有零点，存在最小值 . 28 学科网（北京）股份有限公司