文档内容
专题 03 椭圆（2 种经典基础练+3 种优选提升练）
椭圆及其标准方程（共15题）
一、单选题
1．（23-24高二上·河南商丘·期末）若点 是椭圆 上任意一点， 分别是 的左、
右焦点，则 （ ）
A． B．2 C． D．4
2．（22-23高二上·山东烟台·期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，若过 且斜
率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·四川达州·期末）已知平面内一动点P到两定点 ， 的距离之和为
8，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二上·河北承德·期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
P为椭圆C上一点， 的最小值为1，且 的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·江西宜春·期末）“ ”是“方程 表示的曲线为椭
圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D． 且
7．（23-24高二上·广东汕头·期末）命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则使命
题 成立的充分必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点 在 上，
若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高二上·山西太原·期末）椭圆 的方程为 ， ， 是椭圆的两个焦点，点
为椭圆上一点且在第一象限.若 是等腰三角形，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．点 到 轴的距离为 D．
三、填空题
10．（23-24高二上·江西景德镇·期末）焦点为 的椭圆 上有一点 ，若线段 的中
点落在 轴上，则 ．
11．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）已知椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上且
，则点 到 轴的距离为 ．
12．（23-24高二上·湖北·期末）设 ， 为椭圆C： 的左右焦点，M为椭圆C上一点，
且在第一象限，若 为等腰三角形，则线段 的长为 ．
13．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知点 ，动点P满足直线 与 的斜率之积
为 ，则点P的轨迹方程 ．
四、解答题
14．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是 ，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点 和 ；
学科网（北京）股份有限公司(3)经过 和点 ．
15．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知椭圆C： （ ， ）的长轴为 ，短
轴长为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l： 与椭圆C交于不同两点A、B，且 ，求直线 的方程．
椭圆的简单几何性质（共17题）
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆 的离心率为 ，则椭圆的长轴长为
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．6
2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心 为一
个焦点且离心率为 的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离
地面的距离l为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆 ，点 是椭圆的左､右焦点，
点 是椭圆上一点， 的内切圆的圆心为 ，若 ，则椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知椭圆 的离心率为 ，则实数 （ ）
A．1 B．3 C． D．16
5．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线 与圆 相切，椭圆
，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．点 在圆O内 B．点 在圆O上
C．点 在椭圆C内 D．点 在椭圆C上
6．（23-24高二上·福建福州·期末）椭圆 的左、右焦点分别为 为坐标原点，
则下列说法错误的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．过点 的直线与椭圆 交于 两点，则 的周长为4
C．椭圆 上不存在点 ，使得
D． 为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则点 的最大距离为3
7．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 的直线 交
椭圆于 两点，则（ ）
A． 的周长为4
B． 的取值范围是
C． 的最小值是3
D．若点 在椭圆上，且线段 中点为 ，则直线 的斜率为
8．（23-24高二上·江西·期末）已知椭圆 ，将C向右平移4个单位，向上平移3个单
位得到椭圆E，若点A，B分别在C，E上， ， 分别为C，E的中心，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．E的方程为 B．C和E没有交点
C．A，B的纵坐标之差可以为7 D． 的最大值等于 的最大值
三、填空题
9．（23-24高二上·辽宁大连·期末）如图所示，用一束与平面 成 角的平行光线照射球O，在
平面 上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为 ．
10．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和
下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和
侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边
缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .
11．（23-24高二上·四川成都·期末）把椭圆 的长轴分为 2024等份，过每个等分点作x
轴的垂线交椭圆的上半部分于 2023个点，F 是椭圆的一个焦点，则这 2023个点到F 的距离之和
为
12．（23-24高二上·广东佛山·期末）设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，在椭圆
上满足 的点 的个数为 ．
学科网（北京）股份有限公司13．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知椭圆 的离心率为 ，直线 与
交于 两点，直线 与 的交点恰好为线段 的中点，则 的斜率为 .
14．（23-24高二上·江西上饶·期末）如图，离心率相同的两个椭圆 和
分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）
的内切椭圆和外接椭圆，则 ．
四、解答题
15．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）已知椭圆 ： （ ）．
(1)若椭圆 的焦距为6，求 的值；
(2)设 ，若椭圆 上两点M，N满足 ，求点N横坐标取最大值时 的值．
16．（24-25高二上·云南文山·期末）已知椭圆 的离心率为 ，其中一个焦
点的坐标为 .
(1)求 的方程；
(2)过左焦点的直线交 于 、 两点，点 在 上.
（i）若 的重心 为坐标原点，求直线 的方程；
学科网（北京）股份有限公司（ii）若 的重心 在 轴上，求 的横坐标的取值范围.
17．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，
上、下顶点分别为 ， ，四边形 的面积为6，坐标原点 到直线 的距离为 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 作射线 ，与直线 、椭圆 分别交于点 ， （异于点 ），直线 与 相交于
点 ，证明： ， ， 三点共线．
椭圆中定点问题（共7题）
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高二上·山东枣庄·期末）已知椭圆 过点 ，焦距为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 ： 与椭圆 交于异于 的两点 ，直线 分别与直线 交于点
两点， 为坐标原点且 ，求证：直线 过定点，并求出定点坐标.
2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆 ，圆 动圆 与圆
外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)设不经过点 的直线 与曲线 相交于 两点，直线 与直线 的斜率均存在且斜率
之和为 ，直线 是否过定点，若过定点，写出定点坐标．
3．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知椭圆 ： （ ）经过点 ，
学科网（北京）股份有限公司.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 ， ， 为椭圆 上异于A的两点，且 ，证明：直线 过定点，并求
出该定点的坐标.
4．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知椭圆 过点 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，直线 分别与 轴交于 两点，求证：
中点为定点．
5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的
比是 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)若 的下顶点为 ，不过 的直线 与 交于点 ，线段 的中点为 ，若 ，
试问直线 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高二上·山西·期末）已知椭圆 的长轴长为 ，点 在椭
圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是经过椭圆 下顶点的两条直线， 与椭圆 相交于另一点 与圆 相交于另
一点 ，若 的斜率不等于0， 的斜率等于 斜率的3倍，证明：直线 经过定点.
7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆 ： ，其短轴长为2，离心率为
．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为坐标原点，动点 ， 在 上，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，试问：是否存
在常数 ，使得当 时， 的面积为定值?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司椭圆中定值问题（共14题）
1．（23-24高二上·广东·期末）已知椭圆 的短轴长为2，点P在椭圆C上且
与两焦点围成的三角形面积的最大值为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C内一点 的直线l交C于A，B两点，是否存在定值m，使得 恒
成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
2．（23-24高二上·山东威海·期末）已知椭圆 的离心率为 ，点 在
上.
(1)求 的方程；
(2)若 为 的右顶点，点 ， 在 上，直线 与 的斜率之和为 ， ， 为垂足.
证明：存在定点 ，使得 为定值.
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆的一
个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 与椭圆 相交于 、 两点，且与 轴， 轴交于 、 两点．
（i）若 ，求 的值；
（ii）若点 的坐标为 ，求证： 为定值．
4．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知椭圆C： （ ），F是其右焦点，点
在椭圆上，且PF⊥x轴，O为原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若M，N是椭圆C上的两点，且 OMN的面积为 ，求证：直线OM与ON的斜率之积为定值．
△
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知椭圆 经过点 ，且 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C的右顶点和上顶点分别为A，B，P为椭圆C上位于第三象限内的动点，直线PA与y轴交
于点M，直线PB与x轴交于点N，探究四边形ABNM的面积是否为定值．若是，求出该定值；若
不是，请说明理由．
6．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知椭圆 过点 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，直线 分别与 轴交于 两点，求证：
中点为定点．
7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆 ： ，其短轴长为2，离心率为
．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为坐标原点，动点 ， 在 上，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，试问：是否存
在常数 ，使得当 时， 的面积为定值?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知焦点在x轴上的椭圆C： ，长轴长为4，离心率
为 ，左焦点为F．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点
A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；
若不是，说明理由．
9．（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，已知圆 ，圆心是点T，点G是
圆T上的动点，点H的坐标为 ，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，记动点R的轨迹
为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若 ， ，
试探究 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
学科网（北京）股份有限公司(3)过点 作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得 .且 ，
点D为垂足，证明：存在定点F，使得 为定值.
10．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶
点分别为 ， ，上、下顶点分别为 ， ，且四边形 的面积为12.
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 交 于M，N两点（不同于 ， 两点），直线 与直线 交于点 ，
试判断 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
11．（23-24高二上·北京大兴·期末）已知椭圆 的上､下顶点为 ，左､右
焦点为 ，四边形 是面积为2的正方形.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 是椭圆 上异于 的点，判断直线 和直线 的斜率之积是否为定值？如果是，求
出定值；如果不是，请说明理由；
学科网（北京）股份有限公司(3)已知圆 的切线 与椭圆 相交于 两点，判断以 为直径的圆是否经过定点？如
果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
12．（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系 中，设点 是椭圆
上一点，以M为圆心的一个半径 的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C
交于点P、Q.
(1)若直线 的斜率都存在，且分别记为 .求证： 为定值；
(2)探究 是否为定值，若是，则求出 的最大值；若不是，请说明理由.
13．（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 上的
点与点 的距离的最大值为4.
(1)求 的方程；
(2)设 轴上的一定点 ，过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，若在 上存在一点A，使得
直线 的斜率与直线 的斜率之和为定值，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司14．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆 过点 ，焦距为 ．过
作直线l与椭圆交于C、D两点，直线 分别与直线 交于E、F．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记直线 的斜率分别为 ，证明 是定值；
(3)是否存在实数 ，使 恒成立．若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
椭圆中最值问题（共9题）
1．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知椭圆 过点 ，且离心
率为 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知圆 .过点 作直线 和 ，且两直线的斜率之积等于 与圆 相切
于点 与椭圆相交于不同的两点 .
①求 的取值范围；
②求 面积的最大值.
学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高二上·广东广州·期末）已知 ，圆 ， 是圆 上任
意一点，线段 的垂直平分线 和半径 相交于点 ，当 点在圆 上运动时，点 的轨迹是
曲线 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)过 作一条不平行于坐标轴的直线交曲线 于 两点，过 点作 轴的垂线交 于点 ，求
面积的最大值．
3．（23-24高二上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系 中，点A在x轴上滑动，点B在y轴上
滑动，A、B两点距离为3，点P满足 ，且点P的轨迹为曲线C．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)曲线C与x轴负半轴交于点T，过点T的直线TM，TN分别与曲线C交于M，N两点，直线
的斜率分别为 ，且 ，求证：直线 过定点，并求 面积的最
大值．
4．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知 为平面直角坐标系 上的动点，记其轨迹为曲线 ．
(1)请从以下两个条件中选择一个，求对应曲线 的方程．
①已知点 ，直线 ，动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 ：
②已知点 是圆 上的任意一点，点 为圆 的圆心，点 与点 关于原点对称，
学科网（北京）股份有限公司线段 的垂直平分线与线段 交于点 ；
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．
(2)延长 至 ，使 ，点 的轨迹为曲线 ，过点 的直线 交曲线 于 两点，求
面积的最大值．
5．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知椭圆 的焦点坐标 ，且过点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ， 关于原点的对称点分别为 ， ，若
是一个与 无关的常数，求此时的常数及四边形 面积的最大值.
6．（23-24高二上·山东济南·期末）在平面直角坐标系．xOy中，设 ， 两点的坐标分别为
， ．直线 ， 相交于点M，且它们的斜率之积是 ．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)记动点M的轨迹为曲线E，过 作两条互相垂直的直线 ， ， 与曲线E交于A、B两点，
与曲线E交于C、D两点，求 的最大值．
学科网（北京）股份有限公司7．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知椭圆 ，过椭圆 上一动点 引圆
的两条切线 为切点，直线 与 轴、 轴分别交于点 ．
(1)已知 点坐标为 ，求直线 的方程；
(2)若圆 的半径为2，且 ，过椭圆 的右焦点作倾斜角不为0的动直线 与椭圆
交于 两点，点 在 轴上，且 为常数，求 的面积的最大值．
8．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知椭圆 （ ），四点 ， ，
， ，中恰有三点在椭圆 上．
(1)求 的方程；
(2)设 、 是 的左、右顶点，直线 交 于C、D两点，直线 、 的斜率分别为 、 ．若
；
①证明：直线 过定点；
②求四边形 面积 的最大值．
学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点
分别为 ， ，点P为椭圆C上任意一点， 面积最大值为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过x轴上一点 的直线与椭圆交于A，B两点，过A，B分别作直线 的垂线，垂足为
M，N两点，证明：直线 ， 交于一定点，并求出该定点坐标．
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