文档内容
高二期末教学质量检测
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 现有8道四选一的单选题，甲对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为 ，
没有思路的题只能任意猜一个答案，猜对答案的概率为 ．甲从这8道题中随机选择1道题，则甲做对这
道题的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 356 B. 166 C. 246 D. 156
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 定义一种运算 则函数 的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 0 D.
7. 已知椭圆 的左､右焦点分别是 是坐标原点， 是 上第一象限的点.
若 的角平分线上一点 满足 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在体积为 的正四棱锥 中， 为底面 内的任意两点，则直线 与直
线 所成角的余弦值的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数 的部分图象如图所示，且 的面积为 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. 函数 为奇函数
C. 在 上单调递增 D. 直线 为 图象 的一条对称轴
的
10. 为了解某新品种玉米 亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩
产量的样本均值 ，已知该新品种玉米的亩产量 服从正态分布 ，则下列说法正确的是
（ ）
（若随机变量 服从正态分布 ，则
A. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越多 B. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越少
.
C 若 ，则 D. 若 ，则
11. 若 是 上的连续函数，且 ，则 .从几何上
看，若定义在 上的函数 连续且恒有 ，则定积分 表示由直线
和曲线 所围成的图形的面积.已知花瓣曲线
，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 上恰好存在8个点到原点的距离为
B. 圆 与曲线 共有8个公共点
.
C
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学科网（北京）股份有限公司D. 曲线 围成的封闭区域的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 ，则 ______．
13. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数， 是
的导函数，则曲线 在点 处的曲率 ．曲线 在点
处的曲率为_________．
14. 来自国外的博主A，B，C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点.他们
约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京故宫、西安兵马俑中至少
选择1个，则不同的打卡方案种数为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2025年4月13日，2025十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、
长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼
或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱
马拉松，得到了如下 列联表：
单位：人
马拉松
性别 合计
喜爱 不喜爱
男 60 100
女 60
合计 200
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学科网（北京）股份有限公司（1）完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记
其中女性人数为 ，求 的分布列及期望．
附： ．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16. 已知 ， ，平面内一动点 满足 ，设动点 的轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）若斜率为 的直线 与 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程．
17. 如图，在四棱锥 中，侧棱长均为 ，四边形 是矩形， .
（1）证明：平面 平面 .
（2）求二面角 的正弦值.
18. 已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程.
（2）证明： 在 上单调递增.
（3）若 ，证明： .
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学科网（北京）股份有限公司19. 已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， ， 是 上的两点，线段
的中点为 ．当 时， ．
（1）求 的标准方程；
（2）若 ，求直线 的斜截式方程；
（3）若 ， ， 三点不共线，且 ，证明：直线 过定点．
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