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专题 04 指数与指数函数（3 种经典基础练+3 种优选提升练）
有理数指数幂与根式的互化（共3题）
1．（2023秋•洛龙区校级期末） 可化为
A． B． C． D．
2．（2023秋•河北区期末）已知 ，则 化为
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
3．（2023秋•嘉定区期末）将 化为有理数指数幂的形式为 ．
有理数指数幂及根式化简运算求值（共8题）
一．填空题（共3小题）
1．（2023秋•益阳期末）已知 ，则 ．
2．（2023秋•东台市期末）计算 ．
3．（2023秋•南岸区校级期末）化简： ．
二．解答题（共5小题）
4．（2023秋•亭湖区校级期末）计算下列各式的值：
学科网（北京）股份有限公司（1） ；
（2） ．
5．（2023秋•湖北期末）化简或计算下列各式．
（1） ；
（2） ．
6．（2023秋•洛龙区校级期末）（1）计算： ；
（2）若 ，求下列式子的值：
① ；
② ．
7．（2023秋•邯郸期末）求解下列问题：
学科网（北京）股份有限公司（1）计算： ；
（2）若 ， ，求 的值．
8．（2023秋•南岸区校级期末）（1）计算： ；
（2）化简 ．
指数函数的图象和性质（共21题）
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋•威海期末）函数 的定义域为
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． ， D． ，
2．（2023秋•平谷区期末）函数 的定义域为 ， ，则函数的值域为
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．（2023秋•河池期末）已知指数函数 的图象经过点 ，则
A． B． C．2 D．4
4．（2024春•通化期末）已知 ， ，那么“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023秋•故城县校级期末）函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
6．（2023秋•官渡区校级期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数： ，
， ， 的是
学科网（北京）股份有限公司A．①⑤ B．②⑥ C．③⑦ D．④⑧
7．（2023秋•武汉期末）已知指数函数 是减函数，若 ， ， ，则 ，
， 的大小关系是
A． B． C． D．
8．（2023秋•河南期末）定义：对于 定义域内的任意一个自变量的值 ，都存在唯一一个
使得 成立，则称函数 为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
9．（2023秋•越秀区期末）下列结论正确的有
A．函数 且 是偶函数
B．函数 且 的图像恒过定点
C．函数 在 上单调递增
D．函数 与函数 的图像关于直线 对称
10．（2023秋•阳江期末）若 ， ， ，则
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司三．填空题（共8小题）
11．（2023秋•赤峰期末）函数 的定义域为 ．
12．（2023秋•沙坪坝区校级期末）函数 的值域是 ．
13．（2023秋•南昌期末）如图，指数函数 ， ， 与直线 分
别交于点 ， ， ，若 ， ， 的横坐标分别为 ， ， ，满足 ，则 ，
．
14．（2023秋•耒阳市校级期末）函数 且 的图象恒过定点 ．
15．（2023秋•湖州期末）设函数 ， ， ，则函数 的值域是 ．
16．（2023秋•开封期末）已知函数 （其中 ， ， 且 的图象
恒过定点 ，若 ，则 ．
17．（2023 秋•平谷区期末）在早高峰，某路口通过的车辆 与时间 的关系近似地符合
， ， ，在早高峰这段时间内．
给出下列四个结论：
①通过该路口的车辆数 随着时间 逐渐增多；
学科网（北京）股份有限公司②早上6时和早上7时通过通过该路口的车辆数 相等；
③在任意时刻，通过路口的车辆 不会超过35辆；
④在任意时刻，通过路口的车辆 不会低于14辆．
依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是 ．
18．（2023秋•兴庆区校级期末）已知函数 且 的图象恒过定点 ，若点
在一次函数 的图象上，其中实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
四．解答题（共3小题）
19．（2023秋•孝南区校级期末）已知函数 ．
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）求 的值域．
20．（2023 秋•沙坪坝区校级期末）已知指数函数 的反函数为
．
（1）求函数 的解析式；
（2）已知函数 ，求不等式 的解集．
学科网（北京）股份有限公司21．（2023秋•喀什地区期末）已知指数函数 的图象过点 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求 的值；
（Ⅲ）求不等式 的解集．
指数函数的值域（共6题）
1．（2023秋•泰州期末）已知函数 ，若 的值域为 ，则实数 的值可以是
A． B． C． D．
2．（2023秋•黄浦区校级期末）若函数 且 在 ， 上的最大值与最小值之和为
3，则 ．
3．（2023秋•金安区校级期末）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基
本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：
学科网（北京）股份有限公司双曲正弦函数 ，双曲余弦函数： ．
（1）求 的值；
（2）求函数 在 上的值域．
4．（2023秋•渝中区校级期末）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基
本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：
双曲正弦函数 ，双曲余弦函数： ．
（1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择_____（若两个均选择，则按照第一个计
分）．
①
②
（2）求函数 在 上的值域．
5．（2022秋•铁岭期末）函数 的定义域为 ．
（Ⅰ）设 ，求 的取值范围；
（Ⅱ）求函数 的值域．
学科网（北京）股份有限公司6．（2021秋•宝安区期末）已知函数 为偶函数，当 时， ， 为常
数）．
（1）当 时，求 的解析式：
（2）设函数 在 ， 上的最大值为 （a），求 （a）的表达式；
（3）对于（2）中的 （a），试求满足 的所有实数 的取值集合．
指数函数与不等式综合（共11题）
1．（23-24高一上·江西赣州·期末）设 ，且 是定义在 上的偶函数．
(1)求 的值并求不等式 的解集；
(2)若 且 求 的值．
2．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数 .
(1)求实数 的值，使得 为偶函数；
(2)当 为偶函数时，设 ，若 ，都有 成立，求实数
学科网（北京）股份有限公司的取值范围.
3．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数 （ 且 ）在 上的最大值与最小值之
积等于8，设函数 .
(1)求 的值，并证明 为奇函数；
(2)若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
4．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数 ．
(1)当 时，不等式 总成立，求a的取值范围；
(2)试求函数 （ ）在 的最大值 ．
5．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数 的图像过原点，且 ．
(1)求实数 的值；
(2)若 ，写出 的最大值；
学科网（北京）股份有限公司(3)设 ，直接写出 的解集．
6．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数 为偶函数， 为奇函数，且满足
．
(1)求 ；
(2)当 时，判断 和 的大小关系．
7．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时，
，且 ．
(1)求 的值，并求出 的解析式；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一上·上海·期末）对于定义在区间 上的函数 ，若
．
(1)已知 ， ， 试写出 、 的表达式；
(2)设 且 ，函数 ， ，如果 与 恰好为同一函数，
求 的取值范围；
(3)若 ，存在最小正整数 ，使得 对任
意的 成立，则称函数 为 上的“ 阶收缩函数”，已知函数 ， ，
试判断 是否为 上的“ 阶收缩函数”，如果是，求出对应的 ，如果不是，请说明理由．
9．（23-24高一上·广东广州·期末）定义在 上的奇函数，当 时， ，其中
，且 ，其中 是自然对数的底， ．
(1)求 的值；
(2)当 时，求函数 的解析式；
学科网（北京）股份有限公司(3)若存在 ，满足 ，求 的取值范围．
10．（22-23高一上·上海松江·期末）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有 ，
，且 ，则称函数f（x）为“L函数”.
(1)试判断函数 是否是“L函数”，并说明理由；
(2)若函数 为“L函数”，求实数a的取值范围；
(3)若函数f（x）为“L函数”，且 ，求证：对任意 ，都有 .
11．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数 是奇函数.（e是自然对数的底）
(1)求实数k的值；
(2)若 时，关于x的不等式 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设 ，对任意实数 ，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，
均有以 ， ， 为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.
指数型复合的单调性与恒成立问题（共6题）
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·江西新余·期末）已知函数 的图象经过点 ．
(1)求 的值，判断 的单调性并说明理由；
(2)若存在 ，不等式 成立，求实数 的取值范围．
2．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数 是 上的奇函数.
(1)求实数 ， 的值；
(2)判断函数 的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
3．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数 是奇函数．
(1)求实数 的值并判断函数单调性（无需证明）；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知 是定义在 上的奇函数.
(1)求 的解析式；
(2)已知 ，若对于任意 ，存在 ，使得 成立，求
的取值范围.
5．（23-24高一上·河南漯河·期末）已知 是定义在 上的奇函数.
(1)求 的值；
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
6．（23-24高一上·广东广州·期末）函数 （ 且 ）是定义在R上的奇函
数．
(1)求a的值，并判断 的单调性，并证明；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
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