文档内容
2023—2024 学年海南省高考全真模拟卷（五）数学
1.本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页.
2.考查范围：高考全部内容.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 的共轭复数为 ，则 （ ）
A.6 B.5 C.4 D.3
3.某饮料厂生产A，B两种型号的饮料，每小时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方
法从这1000瓶中抽取了60瓶进行质量检测，其中抽到A型号饮料15瓶，则每小时B型号饮料的产量为（
）
A.600瓶 B.750瓶 C.800瓶 D.900瓶
4.已知 为奇函数，则 （ ）
A.0 B.1 C.-1 D.2
5.已知 为双曲线 上一点， 为 的右焦点，若 ，则 的离
心率为（ ）
A. B. C.2 D.
6.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.函数 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列 满足 ，若 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.在正三棱柱 中， ，则下列说法正确的是（ ）
A.正三棱柱 的体积为
B.三棱锥 的体积为
C.二面角 的大小为
D.点 到平面 的距离为
10.已知随机变量 的分布列为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.甲每次射击命中的概率为0.6，甲连续射击10次的命中次数 满足此分布列
D.一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中无放回地随机抽取4件，抽到的正品的件数
满足此分布列
11.已知抛物线 的焦点为 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线与 交
于 两点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.直线 和 的斜率之和为0
C. 内切圆圆心不可能在 轴上
D.当直线 的斜率为1时，
12.设 分别为函数 的极大值点和极小值点，且 ，则下列说法正确的是
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A. 为 的极小值点 B.
C. D.
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.写出一个圆心在 轴上，且与直线 相切的圆的标准方程：__________.
14.已知 为平面向量， ，若 在 方向上的投影向量为 ，则 __________.
15.已知圆锥 的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为 为底面圆 的一条直径， 为圆 上的
一个动点（不与 重合），则三棱锥 的外接球表面积为__________.
16.已知函数 的部分图象如图所示，点 在函数 的图象上， 为曲线
与 轴的交点，若 ，则 __________.
四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17.（10分）
已知 的内角 的对边分别为 ，面积为 .
（1）求 ；
（2）若 的周长为20，面积为 ，求 .
18.（12分）
已知数列 是公比为2的等比数列.
（1）若 ，求数列 的前 项和 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，证明： .
19.（12分）
红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生
长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径 （单
位：厘米），如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
计算得： .
（1）求这12棵红松树的树干直径的样本均值 与样本方差 .
（2）假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件 ：在森林公园内再从中随机选取12棵
生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间 .
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求 ；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布 .
在这个条件下，求 ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若 ，则
.
参考数据： .
20.（12分）
已知函数 ， .
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）证明： 有唯一极值点.
21.（12分）
学科网（北京）股份有限公司如图，多面体 由正四棱锥 和正四面体 组合而成.
（1）证明： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
22.（12分）
已知椭圆 的上､下顶点分别为 ，短轴长为 在 上（不与 重合），且
.
（1）求 的标准方程；
（2）直线 分别交直线 于 两点，连接 交 于另一点 ，证明：直线 过定点.
学科网（北京）股份有限公司2023—2024 学年海南省高考全真模拟卷（五）
数学·答案
1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.C 7.A 8.D
9.AC 10.ABD 11.BD 12.AC
13. （答案不唯一） 14.-2 15. 16.1
17.解：（1）由题意可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由余弦定理可得， ，
即 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 .
因为 ，
所以
整理得 ，所以 .
18.解：（1）由 ，可得 ，
故 ，
所以数列 的通项公式为 .
则 ，
故 ，①
.②
由②-①可得，
.
（2）证明：若 ，则数列 的通项公式为 .
当 时， ；
当 时， .
故 .
学科网（北京）股份有限公司19.解：（1）样本均值 ，
样本方差
.
（2）①由题意可得，树干直径 （单位： 近似服从正态分布 .
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间 的概率是0.9545，
所以 .
②若树干直径 近似服从正态分布 ，
则
此时 发生的概率远小于（1）中根据测量结果得出的概率估计值. 是一个小概率事件，但是第一次随机选
取的12棵生长了4年的红松树，事件 发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.
20.解：（1）当 时， ，
，
，又 ，
所以 在 处的切线方程为 .
（2） ， ，
设 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以 在 单调递增，
又 ；
.
所以存在唯一的 ，使得 0，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
当 时， 取得极小值，所以 有唯一极值点.
21.解：（1）分别取 的中点 ，
连接 ，
由题意可知多面体 的棱长全相等，
且四边形 为正方形，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，同理 平面 .
又平面 平面 ，
所以 四点共面.
又因为 ，
所以四边形PEFS为平行四边形，
所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）以 为原点，以 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设
学科网（北京）股份有限公司，
则 ，
所以 .
设平面 的一个法向量为 ，
则由 得
令 ，则 ，所以 .
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
即 与平面 所成角的正弦值为 .
22.解：（1）依题意可得， ，所以 .
设 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 的标准方程为 .
（2）由题可知直线 的斜率存在且不为0，
不妨设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，
直线 ，令 ，解得 ，
所以 ，
直线 ，令 ，解得 ，所以 .
直线 ，
由 消去 ，
可得 ，
则 ，且 ，
解得 ，
所以 ，
所以直线 的方程为
，
整理得 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，
即 ，
所以直线 过定点 .
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