湖南省永州市2024年高考第二次模拟考试数学参考答案（定稿）_2024届湖南省永州市高三第二次模拟考试_2024届湖南省永州市高三第二次模拟考试数学

永州市 2024 年高考第二次模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B D C B D D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
题号 9 10 11 12
答案 BCD BD ACD ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上.
4 2 e2
13．− 14． 15． 16．1785
3 5 4
部分小题提示解析 ：
8．解：因为 f (x)= x + x+a (a0)，所以 f (−a−x)= x+a + x = f (x)，即 f (x)
a
关于直线x=− 对称，所以 f (x)为轴对称函数.
2
 a
a a  −x+ x+a,− x0
关于直线x=− 对称，只需研究x− 性质， f (x)= 2
2 2

 x+ x+a, 0x
a
当− x0时， f (x)= −x+ x+a ，易知 f (x)0
2
所以 f2(x)= ( −x+ x+a )2 =2+2 −x2 −ax ，故 f2(x)在− a x0单调递减
2
a
所以当− x0时， f (x)单调递减，故B错.
2
 a
当x0时， f (x)= x+ x+a，此时 f (x)单调递增，而 f − = 2a
 2
所以 f (x)=b有三解，则b= 2a
又因为 f (b)= b+ b+a =b，联立解得a=128，b=16，所以C错误.
要 f (x)=2有四个解，则 a 2 2a，解得a(2,4)，故选D．
1
16．解：由已知可得，a +a =k2，a +a =0， a +a =−(k2 +k+ )，
4k 4k+1 4k+1 4k+2 4k+2 4k+3 4
1
a +a =0，则a −a =k+ ，则由累加法可得
4k+3 4k+4 4k+4 4k 4
a =(a −a )+(a −a )+ +(a −a )+a =1785．
240 240 236 236 232 8 4 4
永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第1页（共6页）
{#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}四、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解析：
（1）当n=1时，a =2a −2，则a =2 ..................................................1分
1 1 1
当n2时，a =2a −2a ，则a =2a ..................................................3分
n n n−1 n n−1
则数列a 是以2为公比的等比数列，则a =2n．............................................5分
n n
2n, ( n=2k,kN)

（2）因为b = ..................................................6分
n


n,
( n=2k−1,kN)
所以T =22 +24 +26 + +22n +1+3+5+ +(2n+1)，..................................8分
2n+1
4
( 1−4n)
(n+1)(1+2n+1) 4n+1−4
则T = + = +(n+1)2．...............................10分
2n+1 1−4 2 3
18．解析：
（1）因为asinA+bsinB−csinC=2asinAsinB
由正弦定理可得：a2 +b2 −c2 =2absinA ..................................................1分
由余弦定理可得：cosC=sinA ..................................................2分
 
解得A= −C或A= +C（一个答案一分） ..................................................3分
2 2

又因为B为锐角，所以A−C= ..................................................4分
2
所以sin(A−C)=1． ..................................................6分
3π 
（2）由（1）得sinAsinB=sinAsin −2A=−sinAcos2A=2sin3A−sinA.........7分
 2 
令t=sinA，则sinAsinB= f (t)=2t3−t ..................................................8分
π 3π 2
因为  A ，所以 t1 ..................................................9分
2 4 2
 2 
所以 f(t)=6t2 −1，当t ,1， f(t)0， f (t)单调递增 ..........10分
 
2
 
 2 
所以t ,1时，f (t)(0,1)，所以 f (t)无最值 ........................................11分
 
2
 
所以sinAsinB无最值． ..................................................12分
19．解析：
（1） 因为AE CD，AE⊥AC，所以CD⊥AC .........................................1分
又因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE 平面ABC=AC........................2分
所以CD⊥平面ABC ..................................................3分
又因为AB平面ABC
所以AB⊥CD． ..................................................4分
（2）取AB、BE的中点分别为O、G，连接OC、OG
所以OG AE
因为AE CD，所以OG CD
而CD⊥平面ABC，所以OG⊥平面ABC
因为AC=BC，OA=OB
永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第2页（共6页）
{#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}所以AB⊥OC .................................................5分
以O为坐标原点，分别以直线OB，OC，OG为x轴、y轴、
z轴建立如图所示的空间直角坐标系 .........................6分
( ) ( ) t 4−t2 
设B(t,0,0)，则A(−t,0,0)，C 0, 4−t2,0 ，D 0, 4−t2,2 ，F , ,1
2 2 
 
3t 4−t2 
所以AF = , ,1，易知n=(0,1,0)是平面ABE的一个法向量 .........7分
 2 2 
 
4−t2
AFn 2 2
所以 cos AF,n = = = ，解得t= 3 ................8分
AF n 9t2 4−t2 8
+ +1
4 4
( )
设m=(x,y,z)是平面ACDE的一个法向量，因为AC= 3,1,0 ，CD=(0,0,2)
mAC =0  3x+ y=0
则 ，即 ..................................................9分
mCD=0  z=0
( )
令x= 3，则m= 3,−3,0 ..................................................10分
( )
又因为AB= 2 3,0,0
ABm
2 3 3
则点B到平面ACDE的距离为d = = = 3..............................11分
m 3+9
1 (1+2)
所以V =  2 3= 3． ..................................................12分
B−ACDE 3 2
20．解析：
（1）依题意可得，随机变量X3,5,7,9 ..................................................1分
1 3 1 3 1
设甲、乙在一局比赛中得3分的概率为P，则P=C2   +C3   = ， ...2分
3 2 3 2 2
1 3 1 1 3 3
则P(X =3)=  = ，P(X =5)=C1   = ...........................................3分
2 8 3 2 8
1 3 3 1 3 1
P(X =7)=C2   = ，P(X =9)=  = ............................................4分
3 2 8 2 8
则分布列：
X 3 5 7 9
1 3 3 1
P
8 8 8 8
1 3 3 1
数学期望E(X)=3 +5 +7 +9 =6． ...........................................5分
8 8 8 8
（2）设在甲参加的2n ( nN)局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y
永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第3页（共6页）
{#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}则所获总分为3Y +(2n−Y)=2Y +2n，若2Y+2n4n，则Y n .............6分
则 p =P(Y n)，因为 p(Y n)=p(Y n) ..................................................7分
1
1 2n
1−P(Y =n) 1−C 2 n n  2  
则 p = = ..................................................8分
1 2 2
1 2n+2
1−Cn+1
 
2n+2 2
同理可得 p = ..................................................9分
2 2
1 2n+3 1 2n+1 1 2n+1 1 
则 p − p =Cn+1   −Cn   =   Cn+1 −Cn .........................10分
1 2 2n+2 2 2n 2 2 4 2n+2 2n 
1 2n+1 (2n+2)! (2n)!
= 2      4(n+1)!(n+1)! − n!n!   
1 2n+1


(2n)!

(2n+2)(2n+1)−4(n+1)2



= 
2  4(n+1)!(n+1)! 
 
1 2n+1(2n)!(−2n−2) 
=   0 ..................................................11分
2  4(n+1)!(n+1)!
故 p  p ． ..................................................12分
1 2
21．解析：
（1）易知当M 与椭圆的短轴的端点重合时△MFD面积有最大值 .....................1分
1
1 1 3c
所以 FDb=3 3，即  b=3 3 ........................................................2分
2 1 2 2
c 1
因为e= = ，a2 =b2 +c2 ........................................................3分
a 2
解得a=4，b=2 3，c=2
x2 y2
所以椭圆C得方程为 + =1． ........................................................4分
16 12
（2）设M(x,y )、N(x ,y )，P(x ,y )，Q(x ,y )
1 1 2 2 3 3 4 4
x −1
则直线MP的方程为x= 1 y+1 ..................................................5分
y
1
x2 y2
 + =1
16 12 17−2x 2x −2
由 联立得： 1 y2 + 1 y−15=0 ..................................6分
x −1 y2 y
x= 1 y+1 1 1
  y
1
−15y2 −15y
则y y = 1 ，即y = 1 ..................................................7分
1 3 17−2x 3 17−2x
1 1
32−17x
代入直线得：x = 1
3 17−2x
1
32−17x −15y
同理可得：x = 2 ，y = 2 ..................................................8分
4 17−2x 4 17−2x
2 2
永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第4页（共6页）
{#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}y −y 17(y −y )+2(x y −x y )
所以k = 4 3 = 1 2 1 2 2 1 ..................................................9分
2 x −x 15(x −x )
4 3 1 2
y y
又因为N、F 、M 三点共线，所以 1 = 2
1 x +2 x +2
1 2
即x y −x y =2(y −y ) ..................................................10分
1 2 2 1 1 2
21(y −y ) 7
所以k = 1 2 = k .................................11分
2 15(x −x ) 5 1
1 2
7
所以存在实数=− 使得k +k =0． .............12分
5 1 2
22．解析：
（1）要使 f (x)有意义，则需满足1+ax0
 π
当a0时，由1+ax0在 0, 恒成立
 
 2
 1
当 a0 时 ， 由 1+ax0 ， 得 x−,−  ， 由
 a
 π  1
 0,  −,− 
 2  a
2
解得− a0 ..................................................1分
π
a (1+ax)cosx−a
f(x)=cosx− = ..................................................2分
1+ax 1+ax
令g(x)=(1+ax)cosx−a，g(0)=1−a
2  π  π
当− a0时，g(x)0在 0, 恒成立，则 f(x)0在 0, 恒成立
   
π  2  2
 π
所以 f (x)在 0, 单调递增，所以 f (x) f (0)=0恒成立 ..................3分
 
 2
当a0时，g(x)=acosx−(1+ax)sinx，令h(x)=g(x)
则h(x)=−2asinx−(1+ax)cosx
 π  π
则h(x)0在 0, 恒成立，所以h(x)在 0, 单调递减
   
 2  2
π  πa  π
又因为h(0)=a0，h =−1+ 0，所以0,  ，使得h()=0
2  2   2
当x0,)，h(x)0，即g(x)0，所以g(x)在0,)单调递增
 π  π
当x,

，h(x)0，即g(x)0，所以g(x)在,

单调递减 ..........4分
 2  2
π
①若0a1时，g(0)=1−a0，所以x0,时，g(x)0，又g =−a0
2
 π
所以,

，使得g()=0，当x0,)，g(x)0，即 f(x)0
 2
永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第5页（共6页）
{#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#} π
f (x)在0,)单调递增，当x,

，g(x)0，即 f(x)0
 2
 π  π
f (x)在 ,

单调递减，又因为 f (0)=0，所以要使 f (x)0在

0,

恒成立
 2  2
π  πa 2(e−1) 2(e−1)
只需 f  =1−ln1+ 0，解得a ，而 1
2  2  π π
所以0a1 ..................................................5分
②当a1时，g(0)=1−a0，又g(x)在0,)单调递增，所以一定使
x0,)时，g(x)0，即 f(x)0，f (x)在0,)单调递减，f (x) f (0)=0
 π
这与 f (x)0在 0, 恒成立矛盾，不合题意 ................................................6分
 
 2
2
综上：− a1．
π
（2）令h(x)=x−sinx，则h(x)=1−cosx0恒成立，所以h(x)在R上单调递增
又h(0)=0，所以当x0时，h(x)=x−sinx0，即sinxx .......................7分
n 1 n 1 1 n 1 1  11 1 1 1  3
所以sin  =   − =  + − − 
k(k+2) k(k+2) 2 k k+2 21 2 n+1 n+2 4
k=1 k=1 k=1
即不等式右边恒成立 ..................................................8分
 π
由（1）得：当x 0, 时，ln(1+x)sinx成立..............................................9分
 
 2
1
取x= ( kN)
k(k+2)
1  1  (k+1)2 k+1 k+2
所以sin ln1+ =ln =ln −ln .............11分
k(k+2)  k(k+2) k(k+2) k k+1
 
n 1 1 n  k+1 k+2 1 3 n+2
所以sin sin + ln −ln =sin +ln −ln
k(k+2) 3  k k+1 3 2 n+1
k=1 k=2
1 3 n+2 n 1 3
综上：sin +ln −ln sin  得证．.....................................12分
3 2 n+1 k(k+2) 4
k=1
永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第6页（共6页）
{#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}