湖南省永州市2024年高考第二次模拟考试数学参考答案（定稿）_2024届湖南省永州市高三第二次模拟考试_2024届湖南省永州市高三第二次模拟考试数学

永州市 2024 年高考第二次模拟考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D C B D D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 题号 9 10 11 12 答案 BCD BD ACD ABD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上. 4 2 e2 13．− 14． 15． 16．1785 3 5 4 部分小题提示解析 ： 8．解：因为 f (x)= x + x+a (a0)，所以 f (−a−x)= x+a + x = f (x)，即 f (x) a 关于直线x=− 对称，所以 f (x)为轴对称函数. 2  a a a  −x+ x+a,− x0 关于直线x=− 对称，只需研究x− 性质， f (x)= 2 2 2   x+ x+a, 0x a 当− x0时， f (x)= −x+ x+a ，易知 f (x)0 2 所以 f2(x)= ( −x+ x+a )2 =2+2 −x2 −ax ，故 f2(x)在− a x0单调递减 2 a 所以当− x0时， f (x)单调递减，故B错. 2  a 当x0时， f (x)= x+ x+a，此时 f (x)单调递增，而 f − = 2a  2 所以 f (x)=b有三解，则b= 2a 又因为 f (b)= b+ b+a =b，联立解得a=128，b=16，所以C错误. 要 f (x)=2有四个解，则 a 2 2a，解得a(2,4)，故选D． 1 16．解：由已知可得，a +a =k2，a +a =0， a +a =−(k2 +k+ )， 4k 4k+1 4k+1 4k+2 4k+2 4k+3 4 1 a +a =0，则a −a =k+ ，则由累加法可得 4k+3 4k+4 4k+4 4k 4 a =(a −a )+(a −a )+ +(a −a )+a =1785． 240 240 236 236 232 8 4 4 永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第1页（共6页） {#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}四、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解析： （1）当n=1时，a =2a −2，则a =2 ..................................................1分 1 1 1 当n2时，a =2a −2a ，则a =2a ..................................................3分 n n n−1 n n−1 则数列a 是以2为公比的等比数列，则a =2n．............................................5分 n n 2n, ( n=2k,kN)  （2）因为b = ..................................................6分 n   n, ( n=2k−1,kN) 所以T =22 +24 +26 + +22n +1+3+5+ +(2n+1)，..................................8分 2n+1 4 ( 1−4n) (n+1)(1+2n+1) 4n+1−4 则T = + = +(n+1)2．...............................10分 2n+1 1−4 2 3 18．解析： （1）因为asinA+bsinB−csinC=2asinAsinB 由正弦定理可得：a2 +b2 −c2 =2absinA ..................................................1分 由余弦定理可得：cosC=sinA ..................................................2分   解得A= −C或A= +C（一个答案一分） ..................................................3分 2 2  又因为B为锐角，所以A−C= ..................................................4分 2 所以sin(A−C)=1． ..................................................6分 3π  （2）由（1）得sinAsinB=sinAsin −2A=−sinAcos2A=2sin3A−sinA.........7分  2  令t=sinA，则sinAsinB= f (t)=2t3−t ..................................................8分 π 3π 2 因为  A ，所以 t1 ..................................................9分 2 4 2  2  所以 f(t)=6t2 −1，当t ,1， f(t)0， f (t)单调递增 ..........10分   2    2  所以t ,1时，f (t)(0,1)，所以 f (t)无最值 ........................................11分   2   所以sinAsinB无最值． ..................................................12分 19．解析： （1） 因为AE CD，AE⊥AC，所以CD⊥AC .........................................1分 又因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE 平面ABC=AC........................2分 所以CD⊥平面ABC ..................................................3分 又因为AB平面ABC 所以AB⊥CD． ..................................................4分 （2）取AB、BE的中点分别为O、G，连接OC、OG 所以OG AE 因为AE CD，所以OG CD 而CD⊥平面ABC，所以OG⊥平面ABC 因为AC=BC，OA=OB 永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第2页（共6页） {#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}所以AB⊥OC .................................................5分 以O为坐标原点，分别以直线OB，OC，OG为x轴、y轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 .........................6分 ( ) ( ) t 4−t2  设B(t,0,0)，则A(−t,0,0)，C 0, 4−t2,0 ，D 0, 4−t2,2 ，F , ,1 2 2    3t 4−t2  所以AF = , ,1，易知n=(0,1,0)是平面ABE的一个法向量 .........7分  2 2    4−t2 AFn 2 2 所以 cos AF,n = = = ，解得t= 3 ................8分 AF n 9t2 4−t2 8 + +1 4 4 ( ) 设m=(x,y,z)是平面ACDE的一个法向量，因为AC= 3,1,0 ，CD=(0,0,2) mAC =0  3x+ y=0 则 ，即 ..................................................9分 mCD=0  z=0 ( ) 令x= 3，则m= 3,−3,0 ..................................................10分 ( ) 又因为AB= 2 3,0,0 ABm 2 3 3 则点B到平面ACDE的距离为d = = = 3..............................11分 m 3+9 1 (1+2) 所以V =  2 3= 3． ..................................................12分 B−ACDE 3 2 20．解析： （1）依题意可得，随机变量X3,5,7,9 ..................................................1分 1 3 1 3 1 设甲、乙在一局比赛中得3分的概率为P，则P=C2   +C3   = ， ...2分 3 2 3 2 2 1 3 1 1 3 3 则P(X =3)=  = ，P(X =5)=C1   = ...........................................3分 2 8 3 2 8 1 3 3 1 3 1 P(X =7)=C2   = ，P(X =9)=  = ............................................4分 3 2 8 2 8 则分布列： X 3 5 7 9 1 3 3 1 P 8 8 8 8 1 3 3 1 数学期望E(X)=3 +5 +7 +9 =6． ...........................................5分 8 8 8 8 （2）设在甲参加的2n ( nN)局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y 永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第3页（共6页） {#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}则所获总分为3Y +(2n−Y)=2Y +2n，若2Y+2n4n，则Y n .............6分 则 p =P(Y n)，因为 p(Y n)=p(Y n) ..................................................7分 1 1 2n 1−P(Y =n) 1−C 2 n n  2   则 p = = ..................................................8分 1 2 2 1 2n+2 1−Cn+1   2n+2 2 同理可得 p = ..................................................9分 2 2 1 2n+3 1 2n+1 1 2n+1 1  则 p − p =Cn+1   −Cn   =   Cn+1 −Cn .........................10分 1 2 2n+2 2 2n 2 2 4 2n+2 2n  1 2n+1 (2n+2)! (2n)! = 2      4(n+1)!(n+1)! − n!n!    1 2n+1   (2n)!  (2n+2)(2n+1)−4(n+1)2    =  2  4(n+1)!(n+1)!    1 2n+1(2n)!(−2n−2)  =   0 ..................................................11分 2  4(n+1)!(n+1)! 故 p  p ． ..................................................12分 1 2 21．解析： （1）易知当M 与椭圆的短轴的端点重合时△MFD面积有最大值 .....................1分 1 1 1 3c 所以 FDb=3 3，即  b=3 3 ........................................................2分 2 1 2 2 c 1 因为e= = ，a2 =b2 +c2 ........................................................3分 a 2 解得a=4，b=2 3，c=2 x2 y2 所以椭圆C得方程为 + =1． ........................................................4分 16 12 （2）设M(x,y )、N(x ,y )，P(x ,y )，Q(x ,y ) 1 1 2 2 3 3 4 4 x −1 则直线MP的方程为x= 1 y+1 ..................................................5分 y 1 x2 y2  + =1 16 12 17−2x 2x −2 由 联立得： 1 y2 + 1 y−15=0 ..................................6分 x −1 y2 y x= 1 y+1 1 1   y 1 −15y2 −15y 则y y = 1 ，即y = 1 ..................................................7分 1 3 17−2x 3 17−2x 1 1 32−17x 代入直线得：x = 1 3 17−2x 1 32−17x −15y 同理可得：x = 2 ，y = 2 ..................................................8分 4 17−2x 4 17−2x 2 2 永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第4页（共6页） {#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}y −y 17(y −y )+2(x y −x y ) 所以k = 4 3 = 1 2 1 2 2 1 ..................................................9分 2 x −x 15(x −x ) 4 3 1 2 y y 又因为N、F 、M 三点共线，所以 1 = 2 1 x +2 x +2 1 2 即x y −x y =2(y −y ) ..................................................10分 1 2 2 1 1 2 21(y −y ) 7 所以k = 1 2 = k .................................11分 2 15(x −x ) 5 1 1 2 7 所以存在实数=− 使得k +k =0． .............12分 5 1 2 22．解析： （1）要使 f (x)有意义，则需满足1+ax0  π 当a0时，由1+ax0在 0, 恒成立    2  1 当 a0 时 ， 由 1+ax0 ， 得 x−,−  ， 由  a  π  1  0,  −,−   2  a 2 解得− a0 ..................................................1分 π a (1+ax)cosx−a f(x)=cosx− = ..................................................2分 1+ax 1+ax 令g(x)=(1+ax)cosx−a，g(0)=1−a 2  π  π 当− a0时，g(x)0在 0, 恒成立，则 f(x)0在 0, 恒成立     π  2  2  π 所以 f (x)在 0, 单调递增，所以 f (x) f (0)=0恒成立 ..................3分    2 当a0时，g(x)=acosx−(1+ax)sinx，令h(x)=g(x) 则h(x)=−2asinx−(1+ax)cosx  π  π 则h(x)0在 0, 恒成立，所以h(x)在 0, 单调递减      2  2 π  πa  π 又因为h(0)=a0，h =−1+ 0，所以0,  ，使得h()=0 2  2   2 当x0,)，h(x)0，即g(x)0，所以g(x)在0,)单调递增  π  π 当x,  ，h(x)0，即g(x)0，所以g(x)在,  单调递减 ..........4分  2  2 π ①若0a1时，g(0)=1−a0，所以x0,时，g(x)0，又g =−a0 2  π 所以,  ，使得g()=0，当x0,)，g(x)0，即 f(x)0  2 永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第5页（共6页） {#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#} π f (x)在0,)单调递增，当x,  ，g(x)0，即 f(x)0  2  π  π f (x)在 ,  单调递减，又因为 f (0)=0，所以要使 f (x)0在  0,  恒成立  2  2 π  πa 2(e−1) 2(e−1) 只需 f  =1−ln1+ 0，解得a ，而 1 2  2  π π 所以0a1 ..................................................5分 ②当a1时，g(0)=1−a0，又g(x)在0,)单调递增，所以一定使 x0,)时，g(x)0，即 f(x)0，f (x)在0,)单调递减，f (x) f (0)=0  π 这与 f (x)0在 0, 恒成立矛盾，不合题意 ................................................6分    2 2 综上：− a1． π （2）令h(x)=x−sinx，则h(x)=1−cosx0恒成立，所以h(x)在R上单调递增 又h(0)=0，所以当x0时，h(x)=x−sinx0，即sinxx .......................7分 n 1 n 1 1 n 1 1  11 1 1 1  3 所以sin  =   − =  + − −  k(k+2) k(k+2) 2 k k+2 21 2 n+1 n+2 4 k=1 k=1 k=1 即不等式右边恒成立 ..................................................8分  π 由（1）得：当x 0, 时，ln(1+x)sinx成立..............................................9分    2 1 取x= ( kN) k(k+2) 1  1  (k+1)2 k+1 k+2 所以sin ln1+ =ln =ln −ln .............11分 k(k+2)  k(k+2) k(k+2) k k+1   n 1 1 n  k+1 k+2 1 3 n+2 所以sin sin + ln −ln =sin +ln −ln k(k+2) 3  k k+1 3 2 n+1 k=1 k=2 1 3 n+2 n 1 3 综上：sin +ln −ln sin  得证．.....................................12分 3 2 n+1 k(k+2) 4 k=1 永州市2024年高考第二次模拟考试·数学参考答案及评分标准 第6页（共6页） {#{QQABJYyAogCAQAJAABgCQQE6CgAQkAECAAoOxBAEsAAAQAFABCA=}#}