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2025 年高考全国一卷数学真题
一、单选题
1．(1+5i)i的虚部为（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．6
2．设全集𝑈 ={𝑥|𝑥是小于9的正整数 }，集合𝐴 ={1,3,5}，则∁ 𝐴中元素个数为（ ）
𝑈
A．0 B．3 C．5 D．8
3．若双曲线C的虚轴长为实轴长的√7倍，则C的离心率为（ ）
A．√2 B．2 C．√7 D．2√2
4．若点(𝑎,0)(𝑎 >0)是函数𝑦 =2tan(𝑥− π )的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ）
3
A．π B．π C．π D．4π
6 3 2 3
5．设𝑓(𝑥)是定义在𝑅上且周期为2的偶函数，当2≤𝑥 ≤3时，𝑓(𝑥)=5−2𝑥，则𝑓(− 3 )=（ ）
4
A．− 1 B．− 1 C．1 D．1
2 4 4 2
6．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对
应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相
等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速
对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.1~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.1 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
7．若圆𝑥2+(𝑦+2)2 =𝑟2(𝑟 >0)上到直线𝑦 =√3𝑥+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A．(0,1) B．(1,3) C．(3,+∞) D．(0,+∞)
8．若实数x，y，z满足2+log 𝑥 =3+log 𝑦 =5+log 𝑧，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
2 3 5
A．𝑥 >𝑦 >𝑧 B．𝑥 >𝑧 >𝑦
C．𝑦 >𝑥 >𝑧 D．𝑦 >𝑧 >𝑥
二、多选题
9．在正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴 𝐵 𝐶 中，D为BC中点，则（ ）
1 1 1
A．𝐴𝐷 ⊥𝐴 𝐶 B．𝐵𝐶 ⊥平面𝐴𝐴 𝐷
1 1
C．𝐴𝐷//𝐴 𝐵 D．𝐶𝐶 //平面𝐴𝐴 𝐷
1 1 1 110．设抛物线𝐶:𝑦2 =6𝑥的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于𝐴𝐵的直线交𝑙:𝑥 =− 3于E，过点A
2
作准线l的垂线，垂足为D，则（ ）
A．|𝐴𝐷|=|𝐴𝐹| B．|𝐴𝐸|=|𝐴𝐵|
C．|𝐴𝐵|≥6 D．|𝐴𝐸|⋅|𝐵𝐸|≥18
11．已知△𝐴𝐵𝐶的面积为1，若cos2𝐴+cos2𝐵+2sin𝐶 =2,cos𝐴cos𝐵sin𝐶 = 1，则（ ）
4 4
A．sin𝐶 =sin2𝐴+sin2𝐵 B．𝐴𝐵 =√2
C．sin𝐴+sin𝐵 = √6 D．𝐴𝐶2+𝐵𝐶2 =3
2
三、填空题
12．若直线𝑦 =2𝑥+5是曲线𝑦 =e𝑥+𝑥+𝑎的切线，则𝑎 = .
13．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 .
14．一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数
X，则数学期望𝐸(𝑋)= .
四、解答题
15．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
超声波检查结果组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值；
(2)根据小概率值𝛼 =0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附𝜒2 =
𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2
，
(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)
𝑃(𝑥2 ⩾𝑘) 0.005 0.010 0.001
𝑘 3.841 6.635 10.828
16．设数列{𝑎 }满足𝑎 =3，𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 1
𝑛 1
𝑛 𝑛+1 𝑛(𝑛+1)
(1)证明：{𝑛𝑎 }为等差数列；
𝑛
(2)设𝑓(𝑥)=𝑎 𝑥+𝑎 𝑥2+⋯+𝑎 𝑥𝑚，求𝑓′(−2)．
1 2 𝑚
17．如图所示的四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐵𝐶∥𝐴𝐷,𝐴𝐵 ⊥𝐴𝐷．
(1)证明：平面𝑃𝐴𝐵 ⊥平面𝑃𝐴𝐷；
(2)𝑃𝐴 =𝐴𝐵 =√2,𝐴𝐷 =1+√3,𝐵𝐶 =2，𝑃，𝐵，𝐶，𝐷在同一个球面上，设该球面的球心为𝑂．（i）证明：𝑂在平面𝐴𝐵𝐶𝐷上；
（ⅱ）求直线𝐴𝐶与直线𝑃𝑂所成角的余弦值．
18．设椭圆𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 =1(𝑎 >𝑏 >0)的离心率为2√2，下顶点为A，右顶点为B，|𝐴𝐵|=√10．
𝑎2 𝑏2 3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|𝐴𝑅|⋅|𝐴𝑃|=3．
（i）设𝑃(𝑚,𝑛)，求点𝑅的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，𝑄是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线𝑂𝑃的斜率的3倍，求|𝑃𝑄|的最大值．
19．（1）设函数𝑓(𝑥)=5cos𝑥−cos5𝑥,求𝑓(𝑥)在[0, π ]的最大值；
4
（2）给定𝜃 ∈(0,π)，设a为实数，证明：存在𝑦 ∈[𝑎−𝜃,𝑎+𝜃]，使得cos𝑦 ≤cos𝜃；
（3）若存在𝜑使得对任意x，都有5cos𝑥−cos(5𝑥+𝜑)≤𝑏，求b的最小值．
