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银川一中 2024 届高三年级第五次月考
理科数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的几何意义求集合 ，根据一元二次不等式的解法及自然数集求集合 ，然后利用集
合的交集运算求解即可.
【详解】 ，
，
.
故选：B.
2. 欧拉公式 （ 为虚数单位， ）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数
的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（
）
A. B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由欧拉公式，代入对应 的值，即可判断A和C；由 得 ，两式
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学科网（北京）股份有限公司联立，解出 即可判断B；由二倍角公式即可判断D．
【详解】对于A：由欧拉公式得 ，所以 ，故A错误；
对于B：由 得 ，
两式联立得 ，两式相减消去 得， ，
所以 ，故B错误；
对于C：由欧拉公式得， ，在复平面对应点的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 在复平面内对应的点位于第四象限，故C错误；
对于D： ，故D正确，
故选：D．
3. 若“ ， ”是假命题，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定 对于 恒成立，变换 ，根据三角函数的值域得到答
案.
【详解】“ ， ”是假命题，
即 对于 恒成立，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，故 .
故选：B
4. 已知函数 ， 是函数 的导函数，则 的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对函数 求导得 ，易知 为奇函数，排除B、D选项；再对 求
导，易得 在 是递减，即可求解.
【详解】 ， 为奇函数，则函数 的图像关于原点对称，排除选项B、D，
令 ， ，
当 ， ， 也就是 在 递减，排除A，故C正确.
故选：C．
5. 如果向量 ， 的夹角为 ，我们就称 为向量 与 的“向量积”， 还是一个向量，它的长度
为 ，如果 ， ， ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. -16 B. 16 C. -20 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的新定义和向量数量积计算即可.
【详解】由于 ， ， ， ，
则 ，则
所以 ，则 .
故选：B
6. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则 必为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理得到 ，得出 ，进而 ，即可求解.
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 为钝角三角形.
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知不等式组 表示的平面图形为 ，则按斜二测画法，平面图形 的直观图的面积为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式组画出平面图形，再根据斜二测画法得出直观图，根据梯形的面积公式计算即可.
【详解】解：根据不等式组，作出如图所示的平面图 ，
在平面图 中， ，
根据斜二测画法，作出直观图 ，
则在四边形 中， ,
则 .
所以平面图形 的直观图的面积为 .
故选：A.
8. 如图， 的顶点都在坐标轴上，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则
（）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角差的正切公式可求得 的值.
【详解】由题可得 ，
又 ，得 ， ，得 ，
.
故选：C.
9. 在正项等比数列 中，若 ， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列性质有 ，代入计算即可得.
【详解】因为 为等比数列，所以 ，
故 ，
所以 ，又 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：C.
10. 近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升，n元/升( )，甲和乙购
买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为
， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. ， 的大小无法确
定
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算出 ， 关于 ， 的表达式，再根据基本不等式即可求解．
【详解】由题意得 ， ， ，
则 ，
，
所以 ．
故选：C．
11. 已知函数 ．若 为偶函数， ， ，
，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数对称轴可得 ，进而可知 在 上为增函数，令 ，利用
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学科网（北京）股份有限公司导数可得 ，以及 ，进而分析得解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
可知 的对称轴为 ，
又因为 均只有一条对称轴 ，
可知 只有一条对称轴 ，则 ，可得 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 在 上为增函数，则 在 上为增函数，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
可得 ，即 ，则 ；
由 ，可得 ，则 ；
即 ，可得 ，所以 ．
故选：A．
【点睛】关键点睛：构造恰当的函数，过程中用到了函数 ，对应的不等式为
，以及变形的 ．此类不等式常用的有 ， ，
， ，加强记忆，方便碰到此类问题后直接使用．
12. 如图，在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点，点 在 上，
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学科网（北京）股份有限公司点 在 上，且 ，点 在线段 上运动，下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥 的体积不是定值
B. 直线 到平面 的距离是
C. 存在点 ，使得
D. 面积的最小值是
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点 到平面 的距离判断B；建立空间直角
坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出 面积的表达式，再求得面积的最
小值判断D.
【详解】对于A， 分别是棱 的中点，则 ，
因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 在 上，所以点 在平面 的距离不变，而 面积是定值，则三棱锥 的体积
不变，
即三棱锥 的体积不变，故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，因为 ， 平面 ， 平面 ，于是 平面 ，
因此直线 到平面 的距离等于点 到平面 的距离h，
，
， ， ，
由 ，得 ，则 ，B错误；
对C，以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ,
设 ，则 ， ， ，
，
由 ，得 ，解得
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学科网（北京）股份有限公司，
由于 ，因此存在点 ，使得 ，C正确；
对于D，由选项C得 在 的投影点为 ，
则P到 距离 ，
的
面积为 ，所以当 时， 取得最小值为 ，D
错误.
故选：C
的
【点睛】关键点睛：本题 关键是利用线面平行的判定来判定A，再通过等体积法求出距离从而判断B，
C,D选项通过建立合适的空间直角坐标系解决.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分）
13. 已知角 的终边与单位圆 交于点 ，则 __________.
【答案】 ##-0.5
【解析】
【分析】根据任意角三角比的定义和诱导公式求解.
【详解】因为角 的终边与单位圆 交于点 ，所以
，
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为 ，则该圆台的侧面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆台体积公式可得其高为 ，即可知母线长为 ，利用侧面展开图面积求出圆台的侧面
积为 .
【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为 ，下底面面积为 ；
设圆台的高为 ，由体积可得 ，
解得 ，所以可得圆台母线长为 ，
根据侧面展开图可得圆台侧面积为 .
故答案为：
15. 已知函数 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 的对称点在
的图象上，则实数k的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】变形后得到 表示的图象为以 为圆心，1为半径的上半圆，则
关于直线 的对称图象也是一个半圆，圆心为 ，半径1，画出图象，数
形结合得到当直线斜率 位于直线 与直线 之间（含 ，不含 ）时，满足要求，求出
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学科网（北京）股份有限公司，得到不等式，求出实数k的取值范围.
【详解】 ，变形得到 ，
故 表示的图象为以 为圆心，1为半径的上半圆，
则 关于直线 的对称图象也是一个半圆，圆心为 ，半径为1，且该圆与
轴交于 两点，
如图所示：直线 恒过点 ，
设直线 与半圆 相切时，切点为 ，
故当直线斜率 位于直线 与直线 之间（含 ，不含 ）时，满足函数
的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上，
其中 ，设直线 ，则 ，
解得： 或0（舍去），
故 ，解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司实数k的取值范围是 .
故答案为：
16. 已知关于x的不等式 恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式化为 ，转化为两函数的交点问题，画出函数图象，数形结合求出答案.
【详解】 变形为 ，
因为 ，所以 ，
令 ， ， ，
，当 时， ，当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上取得极大值，也是最大值， ，
且当 时，
画出 的图象如下：
而 过定点 ，且当直线位于如图所示的两条直线 与 之
间（包含 ，不包含 ）时，满足恰有两个整数解，
其中 ，
故答案为：
【点睛】对于不等式整数解个数问题，通常可转化为两函数图象问题，数形结合来求解.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：（共60分）
17. 已知数列 的前 项和为 ，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】(1)根据题意求出 ,再由 即可写出 的通项公式；
(2)根据 的通项公式，找到其正负临界的 值，去掉绝对值符号再求和.
【小问1详解】
设等差数列 的首项为 ,公差为 ，
则 ，所以
当 时，
又 也符合上式，
故数列 的通项公式为 .
【小问2详解】
当 时， ， 数列 的前n项和 ；
当 时， ，
数列 的前n项和
，
.
综上所述：
18. 已知圆 ： ，直线 ： .
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学科网（北京）股份有限公司（1）若直线 与圆 相切，求 的值；
（2）若 ，过直线 上一点 作圆 的切线 ， ，切点为 ， ，求四边形 面积的最小
值及此时点 的坐标，
【答案】（1） 或
（2） ，
【解析】
【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可，
（2）当 时，直线 的方程为 ，而四边形 的面积 ，由圆的性
质可得当 最小时，切线长 最短，此时 ，求出直线 的方程，联立两直线方程可得点
的坐标.
【小问1详解】
由已知，圆心 到直线 ： 的距离等于半径 ，
即 .
解得： 或 .
【小问2详解】
当 时，直线 的方程为 ，四边形 的面积
∵ 为直角三角形，
当 最小时，切线长 最短，显然当 时，
∴
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学科网（北京）股份有限公司四边形 的面积最小值为 .
此时， ， ，
∴直线 ： ，即 .
由 ，解得 ，即 .
19. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足_____.
（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）
条件①：
条件②：
（1）求角 ；
（2）若 为锐角三角形， ，求 面积的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）选择①，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得；选择②，利用诱导公式及同角
公式求解即得.
（2）利用正弦定理求出边 的范围，再利用三角形面积公式求解即得.
【小问1详解】
选择①，由 及正弦定理，得 ，
整理得 ，由余弦定理得 ，而 ，
所以 .
选择②，由 ，得 ，即 ，
解得 ，又 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）知， ，由正弦定理得 ，即
，而 是锐角三角形，
则 ，解得 ， ，即 ，因此 ，
，
所以 面积的取值范围是 .
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学科网（北京）股份有限公司20. 如图，在四棱锥 中， 面 ，且 ，
分别为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ？若存在，求出
的值，若不存任，说明理由；
（3）在平面 内是否存在点 ，满足 ，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点
的轨迹图形形状.
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，理由见解析；
（3）存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）过E作 交 于点G,连接 ,由线线平面证明面面平行，再由面面平行的
性质即可得出线面平行的证明；
（2）先求出面 的法向量 ，设 , 利用向量法结合线面角得正弦值求
解即可;
（3）由 点在空间内轨迹为以 中点为球心, 为半径的球,而 中点到平面
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学科网（北京）股份有限公司的距离为 , 即可求解.
【小问1详解】
如图，
过E作 交 于点G,连接 ,
面 ， 面 ，则 ，
又 面 ， 面 ，且 不共线，故 ，
因为 为 的中点，所以 也为 中点，又 为 的中点，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理 平面 ，
又因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，而 平面 ,
所以 平面 ；
【小问2详解】
设 如图, 以点A为原点建立空间直角坐标系,
则 ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
设平面 的法向量 ,则有 ,取 ,
整理得 , 解得 或 (舍去)，
所以当 时, 直线 与平面 所成角的正弦值是 .
【小问3详解】
由（2）知，平面 的一个法向量 ，
点 中点 ，则 ,
则 中点到平面 的距离为 ，
由 ，即 故 在以 中点为球心，半径为 的球面上，
而 ，故 在面 上的轨迹是半径为 的圆，
故存在符合题意的 ， 此时 轨迹是半径为 的圆.
【点睛】关键点点睛：第三问，根据题设有 则 在以 中点为球心，半径为 的球
面上，再求 中点到面 距离，结合直观想象及计算确定 在面 上的轨迹.
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学科网（北京）股份有限公司21. 已知函数 且函数 有两个极值点.
（1）求 的范围;
（2）若函数 的两个极值点为 且 ，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）函数 极值点问题转化为导函数零点问题处理.构造函数 ，通
过函数的单调性与最值及图象趋势，找到方程 有两个正实数根的充要条件；
（2）整体换元法，令 ，再结合（1）结论得 ，将 都转化 为表示，从而将多
元最值问题转化为一元函数问题，构造函数 ，求其最大值即可.
【小问1详解】
由题得， ，
令 ，
则函数 有两个极值点，即方程 有两个正实数根.
因为 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以， ，
且当 时， ， 时， .
所以方程 有两个正实数根，
只需 ，解得 ，
即函数 有两个极值点时， 的范围为 .
【小问2详解】
由 且 ，令 ，则 ，
由（1）知， ，
即 ，
则 ，
即 ，解得 ，
所以 .
则 ，
令 ，
则 ，
令 ，
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学科网（北京）股份有限公司则
所以函数 在 上单调递增，
又 ，所以 ， 则 .
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
则当 时， .
即 的最大值为 .
（二）选考题（共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一
题记分.）
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 为参数 为 的倾斜角，且
，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，点 恰为线段 的三等分点，求
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）化简曲线 的极坐标方程为 ，结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可
求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）把直线参数方程代入曲线 的直角坐标方程，求得 ，设 ，得到 ，化
简得 ，即可求解.
【详解】（1）由曲线 的极坐标方程为 ，可得 ，
又由 ，
代入可得 ，即曲线 的直角坐标方程为 .
（2）把直线参数方程 为参数 ，代入曲线 的直角坐标方程 ，
整理得 ,
设 对应的参数分别为 ，得 ，
因为点 恰为线段 的三等分点，不妨设 ，则 ，
所以 ，代入 ，化简得 ，
又因为 ，所以 ．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知不等式 的解集为 ．
（1）求实数 的值；
（2）若 ，且 ，求 的最小值．
【答案】（1）4 （2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）分 ， ， 三种情况讨论即可；
（2）设 ， ，则 .利用
和基本不等式即可求解.
【小问1详解】
当 时，不等式的解集为 ，不合题意；
当 时，不等式的解集为 ，不合题意;
当 时， ，即 ，
因为不等式的解集为 ，所以 .
【小问2详解】
由(1)知， ，
设 ， ，则 .
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司第28页/共28页
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