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2025 年高考北京卷数学真题
一、单选题
1．集合𝑀 ={𝑥∣2𝑥−1>5},𝑁 ={1,2,3}，则𝑀∩𝑁 =（ ）
A．{1,2,3} B．{2,3} C．{3} D．∅
2．已知复数z满足i⋅𝑧+2=2i，则|𝑧|=（ ）
A．√2 B．2√2 C．4 D．8
3．双曲线𝑥2−4𝑦2 =4的离心率为（ ）
A．√3 B．√5 C．5 D．√5
2 2 4
4．为得到函数𝑦 =9𝑥的图象，只需把函数𝑦 =3𝑥的图象上的所有点（ ）
A．横坐标变成原来的1倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
2
C．纵坐标变成原来的1倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
3
5．已知{𝑎 }是公差不为0的等差数列，𝑎 =−2，若𝑎 ,𝑎 ,𝑎 成等比数列，则𝑎 =（ ）
𝑛 1 3 4 6 10
A．−20 B．−18 C．16 D．18
6．已知𝑎 >0,𝑏 >0，则（ ）
A．𝑎2+𝑏2 >2𝑎𝑏 B．1 + 1 ≥ 1
𝑎 𝑏 𝑎𝑏
C．𝑎+𝑏 >√𝑎𝑏 D．1 + 1 ≤ 2
𝑎 𝑏 √𝑎𝑏
7．已知函数𝑓(𝑥)的定义域为D，则“函数𝑓(𝑥)的值域为R”是“对任意𝑀 ∈R，存在𝑥 ∈𝐷，使得|𝑓(𝑥 )|>𝑀”的（ ）
0 0
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．设函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥)+cos(𝜔𝑥)(𝜔 >0)，若𝑓(𝑥+π)=𝑓(𝑥)恒成立，且𝑓(𝑥)在[0, π ]上存在零点，则𝜔的最小值
4
为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
9．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间𝑇 =𝑘log 𝑁（单位：小时），其中k为
2
常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数
据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ）
A．2 B．4 C．20 D．40
10．已知平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，|𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ |=|𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ |=√2，|𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ |=2，设𝐶(3,4)，则|2𝐶⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ +𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ |的取值范围是（ ）
A．[6,14] B．[6,12] C．[8,14] D．[8,12]
二、填空题
11．抛物线𝑦2 =2𝑝𝑥(𝑝 >0)的顶点到焦点的距离为3，则𝑝 = ．
12．已知(1−2𝑥)4 =𝑎 −2𝑎 𝑥+4𝑎 𝑥2−8𝑎 𝑥3+16𝑎 𝑥4，则𝑎 = ；𝑎 +𝑎 +𝑎 +𝑎 = ．
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
13．已知𝛼,𝛽 ∈[0,2π]，且sin(𝛼+𝛽)=sin(𝛼−𝛽)，cos(𝛼+𝛽)≠cos(𝛼−𝛽)，写出满足条件的一组𝛼 = ，
𝛽 = ．
14．某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，
平面𝐴𝑅𝐹 ⊥平面ABC，平面𝑇𝐶𝐷 ⊥平面ABC，𝐴𝐵 ⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵∥𝑅𝑆∥𝐸𝐹∥𝐶𝐷，𝐴𝐹∥𝑆𝑇∥𝐵𝐶∥𝐸𝐷，若𝐴𝐵 =𝐵𝐶 =8,𝐴𝐹 =𝐶𝐷 =
4,𝐴𝑅 =𝑅𝐹 =𝑇𝐶 =𝑇𝐷 = 5，则该多面体的体积为 ．
215．关于定义域为R的函数𝑓(𝑥)，以下说法正确的有 ．
①存在在R上单调递增的函数𝑓(𝑥)，使得𝑓(𝑥)+𝑓(2𝑥)=−𝑥恒成立；
②存在在R上单调递减的函数𝑓(𝑥)，使得𝑓(𝑥)+𝑓(2𝑥)=−𝑥恒成立；
③使得𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)=cos𝑥恒成立的函数𝑓(𝑥)存在且有无穷多个；
④使得𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)=cos𝑥恒成立的函数𝑓(𝑥)存在且有无穷多个．
三、解答题
16．在△𝐴𝐵𝐶中，cos𝐴 =− 1 ,𝑎sin𝐶 =4√2．
3
(1)求c；
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△𝐴𝐵𝐶存在，求BC的高．
①𝑎 =6；②𝑏sin𝐶 = 10√2；③△𝐴𝐵𝐶面积为10√2．
3
17．四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，△𝐴𝐶𝐷与△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形，∠𝐴𝐷𝐶 =90°，∠𝐵𝐴𝐶 =90°，E为BC的中点．
(1)F为𝑃𝐷的中点，G为PE的中点，证明：𝐹𝐺//平面PAB；
(2)若𝑃𝐴 ⊥平面ABCD，𝑃𝐴 =𝐴𝐶，求AB与平面PCD所成角的正弦值．
18．有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频
率估计概率．
(1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．
(2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．
(3)若甲校同学掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有85%的概率做对该
题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为𝑝 ，乙校学生
1
掌握该知识点的概率为𝑝 ，试比较𝑝 与𝑝 的大小（结论不要求证明）
2 1 2
19．已知𝐸: 𝑥2 + 𝑦2 =1(𝑎 >𝑏 >0)的离心率为√2，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，
𝑎2 𝑏2 2
(1)求椭圆方程；
(2)设O为原点，𝑀(𝑥 ,𝑦 )(𝑥 ≠0)为椭圆上一点，直线𝑥 𝑥+2𝑦 𝑦−4=0与直线𝑦 =2，𝑦 =−2交于A，B．△𝑂𝐴𝑀
0 0 0 0 0
与△𝑂𝐵𝑀的面积为𝑆 ,𝑆 ，比较𝑆1与|𝑂𝐴|的大小．
1 2
𝑆2 |𝑂𝐵|
20．函数𝑓(𝑥)的定义域为(−1,+∞),𝑓(0)=0,𝑓′(𝑥)= ln(1+𝑥)，𝑙 为𝐴(𝑎,𝑓(𝑎))(𝑎 ≠0)处的切线．
1
1+𝑥
(1)𝑓′(𝑥)的最大值；
(2)证明：当−1<𝑎 <0时，除点A外，曲线𝑦 =𝑓(𝑥)均在𝑙 上方；
1(3)若𝑎 >0时，直线𝑙 过A且与𝑙 垂直，𝑙 ，𝑙 分别于x轴的交点为𝑥 与𝑥 ，求2𝑎−𝑥1−𝑥2的取值范围．
2 1 1 2 1 2
𝑥2−𝑥1
21．𝐴 ={1,2,3,4,5,6,7,8},𝑀 ={(𝑥 ,𝑦)∣𝑥 ∈𝐴,𝑦 ∈𝐴}，从M中选出n个有序数对构成一列：(𝑥 ,𝑦 ),…,(𝑥 ,𝑦 )．相
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 1 1 𝑛 𝑛
|𝑥 −𝑥 |=3 |𝑥 −𝑥 |=4
邻两项(𝑥 ,𝑦),(𝑥 ,𝑦 )满足： 𝑖+1 𝑖 或 𝑖+1 𝑖 ，称为k列．
𝑖 𝑖 𝑖+1 𝑖+1 |𝑦 −𝑦 |=4 |𝑦 −𝑦|=3
𝑖+1 𝑖 𝑖+1 𝑖
(1)若k列的第一项为(3,3)，求第二项．
(2)若𝜏为k列，且满足i为奇数时，𝑥 ∈{1,2,7,8}：i为偶数时，𝑥 ∈{3,4,5,6}；判断：(3,2)与(4,4)能否同时在𝜏中，
𝑖 𝑖
并说明；
(3)证明：M中所有元素都不构成k列．
