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2023~2024 学年度高三元月调考
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据分式不等式求出集合 ，再根据集合的交集运算即可求解．
【详解】由 ，即 ，解得 ，所以 ，
又 ，所以 ．
故选：B．
2. 已知 是关于 的方程 （p， ）的一个根，则 （ ）
A. 0 B. C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】把根代入方程，利用复数的相等求出 即可
【详解】 是关于 的方程 的一个根，
把 代入方程，有 ，则有 ，所以 .
故选：C
3. 已知向量 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及夹角公式求解即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，
则 ， ，
故 ．
故选：A．
4. 函数 在区间 上递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数型函数的单调性进行求解即可.
【详解】二次函数 的对称轴为： ，
因为函数 在区间 上递增，
所以有 ，
故选：A
5. 若数列 的前 项和为 ，则“ ”是“数列 是等差数列”的（ ）
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
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学科网（北京）股份有限公司必要性显然成立；由 ， ，得 ①，同理
可得 ②，综合①，②，得 ，充分性得证，即可得到本题答案.
【详解】必要性显然成立；下面来证明充分性，
若 ，所以当 时， ，
所以 ，化简得 ①，
所以当 时， ②，
① ②得 ，所以 ，即数列 是等差数列，充分性得
证，所以“ ”是“数列 是等差数列”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
6. 成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，意思是在小小的军帐之内作出正确的部署，决定了千里之外战场
上的胜利，说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”，如图是一种幄帐示意图，帐
顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值
均为 ，底面矩形的长与宽之比为 ，则正脊与斜脊长度的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】结合图形，多面体 中，取 的中点 ，做 交 于 ，做 底面
于 点，坡面与底面所成二面角的为 、 ，
，设 ，得斜脊 ，因为矩形宽 ，长为8，得 ，可得答
案.
【详解】如图，多面体 中，取 的中点 ，做 交 于 ，
做 底面 于 点，则 点在 上，且 点到 的距离相等，即 ，做
于 点，连接 ， ，则 平面 ，
所以 ，所以坡面与底面所成二面角为 ，又 ，则 平面 ，所以
，坡面与底面所成二面角为 ，
所以正切值 ，
不妨设 ， ，
可得斜脊 ，因为矩形宽 ，
所以长为8，这样正脊 ，所以正脊与斜脊长度的比值为 即 .
故选：B.
7. 已知A，B为双曲线 上不同两点，下列点中可为线段 的中点的是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】利用点差法结合选项得出 方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可.
【详解】设 的中点 ，
所以 ，
易知 ，
由点差法可得
，
若 ，此时 ，
与双曲线联立 ，
即 与双曲线只有一个交点，故A错误；
若 ，则此时 ，
与双曲线联立
，
即 与双曲线有两个交点，故B正确；
若 ，则此时 ，
与双曲线联立 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 与双曲线有一个交点，故C错误；
若 ，则此时 ，
与双曲线联立 ，显然无解，
即 与双曲线没有交点，故D错误；
故选：B
8. 已知在 中， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先分析题意，利用正弦定理求 ，然后结合三角形中内角的诱导公式结合同角的三角函数
的基本关系式可求三角函数式的值.
【详解】
因为 ，故 且 ，
故 ，且 ，故 ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，故 ，
故 ，
故
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 如图，正方体 的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A. 正方体 的内切球的半径为
B. 两条异面直线 和 所成的角为
C. 直线BC与平面 所成的角等于
D. 点D到面 的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定A错误；连接 ，把异面直线 和 所
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学科网（北京）股份有限公司成的角的大小即为直线 和 所成的角， 为正三角形，可判定 B正确；证得 平面
，进而求得直线 与平面 所成的角，可判定 C 正确；结合等体积法，得到
，进而可判定D错误.
【详解】对于A中，正方体 的内切球的半径即为正方体 的棱长的一
半，所以内切球的半径 ，所以A错误.
对于B中，如图所示，连接 ，
因为 且 ，则四边形 为平行四边形，所以 ，
所以异面直线 和 所成的角的大小即为直线 和 所成的角 的大小，
又因为 ，则 为正三角形，即 ，所以B正确；
对于C中，如图所示，连接 ，在正方形 中， .
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以直线 与平面 所成的角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以C正确；
对于D中，如图所示，设点D到面 的距离为 ，因为 为正三角形，
所以 ,
又因为 ，根据等体积转换可知： ，
即 ，即 ，解得 ，所以D错误.
故选：BC.
10. 已知圆 和圆 ，则（ ）
A. 两圆可能无公共点
B. 若两圆相切，则
C. 直线 可能为两圆的公切线
D. 当 时，若 为两圆的公切线，则 或
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据题意求出圆 和圆 的圆心距为 ，当 即可判断A；分两圆外切和内切两种
情况即可判断B；当 时即可判断C；结合选项B可得，当 时，两圆外切，再根据圆 和圆 的
圆心到直线的距离分别为 和 即可判断D．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由圆 的圆心为 ，圆 的圆心为 ，则圆 和圆 的圆心距为 ，
对于A，当 ，即 时，两圆可能相离，即无公共点，故A正确；
对于B，当两圆外切时， ，得 ；当两圆内切时， ，得 ，故B错误；
对于C，当 时，直线 可能为两圆的公切线，故C正确；
对于D，结合选项B可得，当 时，两圆外切，
则有 ，解得 或 ，故D正确．
故选：ACD．
11. 设A，B是一次随机试验中的两个事件，且 ， ， ，则（ ）
A. A，B相互独立 B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定 A、B，利用条件概率的定义与公
式可判定C、D.
【详解】由题意可知 ，
事件 互斥，且 ，
所以 ，
即 ，故A正确；
则
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学科网（北京）股份有限公司，故B正确；
由条件概率公式可知： ，故C错误；
，
即 ，故D正确.
故选：ABD
12. 已知函数 ， ， ，则（ ）
A. 当 时，函数 有两个零点
B. 存在某个 ，使得函数 与 零点个数不相同
C. 存在 ，使得 与 有相同的零点
D. 若函数 有两个零点 ， 有两个零点 ， ，一定有
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理及同构式一一判定选项即可.
【详解】由 ，
令 ，令 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 ，
对于A项，当 时，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又易知 ，且 时， ，
根据零点存在性定理可知函数 在 和 内各有一个零点，故A正确；
对于B项，当 时，此时 ，则 有一个零点，
当 时， ，则此时 无零点，
又易得 ，
则 ，函数 的零点个数与 的零点个数相同，故B错误；
对于C项，由A、B项结论可知：当 时， 有两个零点 ，
同时 有两个零点 ， ，
则根据 单调递增可知，存在唯一 满足 成立，
的
有 ，
若C正确，则只能有 ，即 ，
由题意易知： ，
令 ，则 时， ，
时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 时， ， 时， ，
所以 ，满足 ，
即存在 ，使得 与 有相同的零点 ，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于D项，由C项结论可知，此时 ，
则由 ，故D正确.
综上：ACD正确.
故选：ACD
【点睛】难点点睛：可以先利用导数含参讨论函数的单调性与最值，结合零点存在性定理判定零点个数，
对于第二项，注意观察两个函数的解析式，利用同构式判定可零点之间的联系；第三项，构造函数利用其
单调性可判定同构式是否有解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知如下的两组数据：
第一组：10、11、12、15、14、13
第二组：12、14、13、15、a、16
若两组数据的方差相等，则实数 的值为_________.
【答案】11或17
【解析】
【分析】根据方差公式及其变形即可得到方程，解出即可.
【详解】第一组的平均数 ，
第二组的平均数 ，
则第一组的方差为
，
则第二组的方差为
，
解得 或17.
故答案为：11或17.
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学科网（北京）股份有限公司14. 若函数 ，在 上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω的
取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简函数式得 ，再结合三角函数的图象与性质，利用整体代换计算即
可.
【详解】由三角恒等变换可得 ，
时，有 ，
若要满足题意则需： .
故答案为：
15. “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱
分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧
棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为 的正四棱柱构成，
如图所示，则该“十字贯穿体”的体积为_______．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据总体积减去重叠部分的体积求解即可；
【详解】
如图，两个正四棱柱的重叠部分为多面体 ，取 的中点 ，
则多面体 可以分成8个全等三棱锥 ，
则
则该“十字贯穿体”的体积为:
故答案为： .
16. 如图，椭圆 ： 和 ： 有相同的焦点 ， ，离心率分别为
， ， 为椭圆 的上顶点， ， ， ， 三点共线且垂足 在椭圆 上，则 的最大
值是______.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】将 表示为三角函数的形式，然后根据三角恒等变换以及三角函数最值的知识求得 的最大值.
【详解】由图知 ，
则 ，设 ，
则 ，
则
，
由于 ，
所以 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解椭圆的离心率，方法有很多，如根据已知条件求得 ，从而求得椭圆的离心率；
如根据已知条件求得 的齐次式，从而求得椭圆的离心率；如根据已知条件求得 的齐次式，先求得
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学科网（北京）股份有限公司，然后利用 求得椭圆的离心率.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在 中，角 所对的边分别是 ．已知 ．
（1）求 ；
（2） 为 边上一点， ，且 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）已知等式去分母，正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式化简，可得角 ；
（2）由 且 ，利用向量法求得 ，再结合余弦定理求 和 .
【小问1详解】
已知 ，
由 ，有 ，
所以 ，
两边同乘以abc得： ．
由正弦定理得： ．
由 ， ，所以 ， ．
【小问2详解】
取 、 为平面向量的基底．
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学科网（北京）股份有限公司因为D在BC边上，且 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，则
即 ，得 ，
所以 ， ．
不妨设 ， ．
在 中，由余弦定理： ，所以 ．
由余弦定理： ．
18. 如图，已知四边形 为平行四边形， 为 的中点， ， .将 沿
折起，使点 到达点 的位置，使平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合长度关系可整的 ，即 ，应用平面垂直于平面的性质定理即可证
明；
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学科网（北京）股份有限公司（2）作 ，过 作 ， 两两垂直，建立空间直角坐标系，即可应用向量法求
解.
【小问1详解】
因为四边形 为平行四边形，由 为 的中点，
， ，则 为等边三角形，所以 .
为
则 ，所以 等腰三角形，
可得 ， ，
即 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
则 平面 ，且 平面 ，所以 .
【小问2详解】
作 ，过 作 ，
由面 面 得 面
则 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系.
， ， ， ，
设平面 的一个法向量为
由 知 可取 ，
同理得平面 的一个法向量 .
设平面 与平面 的夹角为 .
则 .
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学科网（北京）股份有限公司面 与面 夹角 的余弦值为 .
19. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若存在实数 ，使得关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）求导以后对导数中的参数进行分类讨论，根据不同的分类判断函数的单调性；
（2）根据第1问的结论，将恒成立问题转化为函数的最大（小）值问题，构造新函数，求出 的范围.
【小问1详解】
函数 ， ，则 ，
当 ，即 时， 恒成立，即 在 上单调递增；
当 ，即 时，令 ，解得 ，
+ 0
↗ 极大值 ↘
综上所述，当 是， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司等价于 ，令 ，
当 时， ，所以 不恒成立，不合题意.
当 时， 等价于 ，
由（1）可知 ，
所以 ，对 有解，所以 对 有解，
因此原命题转化为存在 ，使得 .
令 ， ，则 ，
，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， ，故 在 上单调递减，
当 时， ， ，故 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为存在 ，使得 ，利用导数研究右侧最小值，
即可得范围.
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学科网（北京）股份有限公司20. 若数列 满足：存在等比数列 ，使得集合 元素个数不大于 ，则称
数列 具有 性质.如数列 ，存在等比数列 ，使得集合 ，则
数列 具有 性质.若数列 满足 ， ，记数列 的前 项
和为 .证明：
（1）数列 为等比数列；
（2）数列 具有 性质.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设 ，求出 和 ，求出 和 的关系即可证明；
（2）由（1）求出 ，求出 ，设数列 即可证明.
【小问1详解】
设 ，则 ，
.
因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，且 ；
【小问2详解】
由（1）， ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司取数列 ，则 是等比数列，
并且 ，因此集合 ，
所以数列 具有 性质.
21. 已知一个盒子中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外全部相同.每次从盒子中随机取出1个球，
并换入1个黑球，记以上取球换球活动为1次操作.设 次操作后盒子中所剩黑球的个数为 .
（1）当 时，求 的分布列；
（2）当 时，求 的分布列和数学期望 .
【答案】（1）分布列见解析
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）首先分析题意，列出 ，即3次摸换球后 的可能取值为1，2，3，
再一次计算可能即可.
（2）利用（1）中题意，进行分析即可，最后算出答案.
【小问1详解】
，即3次摸换球后 的可能取值为1，2，3.
当 ，即3次摸球都摸到黑球，
当 ，即3次摸球中有且仅有2次摸到黑球，1次白球，
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学科网（北京）股份有限公司当 ，即3次摸球中有且仅有1次摸到黑球，2次白球，
.
分布列为
1 2 2
【小问2详解】 时，即 次摸球换球后，黑球个数 可能取值为1，2，3
同（1）当 ，即 次摸球都摸到黑球 ，
当 ，即 次摸球有且仅有“ ”次摸到黑球，1次摸到白球，
.当 ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司的
22. 已知抛物线 焦点为F，M为抛物线 上一点，且在第一象限内.过 作
抛物线 的两条切线 ， ，A，B是切点；射线 交抛物线 于 .
（1）求直线 的方程（用M点横坐标 表示）；
（2）求四边形 面积的最小值.
【答案】（1）
（2）16
【解析】
【分析】（1）利用导数求则切线 和 的方程，由点 坐标同时满足 和 的方程，得直线
的方程；
（2）设直线 的方程，表示出弦长 ，再求A、B到直线 的距离，表示出四边形 面积，
利用韦达定理化简，由基本不等式求最小值.
【小问1详解】
， ， ，
抛物线 ，即 ，则 ，抛物线在点 处切线斜率为 ，
则切线 方程为 ，整理得 ，
同理， 方程为 ，
又 在 ， 上，有 ，
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学科网（北京）股份有限公司直线 的方程为 ，
又 在 上，有 ，
所以直线 的方程为 .
【小问2详解】
设 ， ，
联立 ， ，
.
设A、B到 的距离为 、 .
则
联立 ， ， ，
，
（其中 ）
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学科网（北京）股份有限公司，
又 代入得
，
当且仅当 ，即 取最小值.
所以四边形 面积的最小值为16.
【点睛】方法点睛：
解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与
系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不
要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，
重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
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学科网（北京）股份有限公司
