文档内容
高二开学摸底考试卷（广东专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试范围：
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合 ，再按照集合的并集运算即可.
【详解】 ，则 ，且 ，解得 ，
则集合 ，
则
故选：B.
2．如果复数 满足 ，那么复数 可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将选项代入条件，利用模的公式进行验证.
【详解】A. 时， ，故A错误；
B. ，则 ，故B错误；
C. ，则 ，故C错误；
D. ，则 ，故D正确.故选：D
3．设m，n是不同的直线， ， 是不同的平面，下列说法正确的是
A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】C
【解析】由线面的位置关系，面面平行与垂直的判断定理逐一判定、排除即可得到答案.
【详解】在 中，若 ， ，则 或 ，故 错误；
在 中，若 ， ， ，则 与 相交或平行，故 错误；
在 中，若 ， ，则由面面垂直的判断得到 ，故 正确；
在 中，由 ， ， ， 故 或 ，故 错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考
查运空间想象能力，属于基础题．
4．有一组样本数据： ， ， ，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据： ， ，
，2，那么这两组样本数据一定有相同的（ ）
A．众数 B．中位数
C．方差 D．极差
【答案】D
【分析】
根据众数、中位数、方差以及极差的定义，结合题意，即可判断和选择.
【详解】对A：假设 ， ， 中，有两个2，两个3，其它4个数据都不相同，且这8个数据平均
数为 ，那么众数为 和 ；
再添加一个2后，有三个2，故众数为2，众数发生改变，故A错误；
对B：假设 ， ， 分别为： ，满足平均数为 ，其中位数为 ；
添加 以后，其中位数为 ，中位数发生改变，故B错误；
对C： ， ， 的平均数为 ，方差 ；
添加2以后，其平均数还是 ，方差 ，故方差发
生改变；
对D：若 是 ， ， 的最大值或最小值，因为其平均数为 ，故这组数据都是2，其极差为 ，
添加2后，极差也是0；
若 不是 ， ， 的最大值，也不是最小值，添加2后，最大值和最小值没有改变，极值也不发生变化，故D正确.
故选：D.
5．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性和 的符号，使用排除法可得.
【详解】 的定义域为R，
因为
，所以 为偶函数，故CD错误；
又因为 ， ，所以 ，故B错误.
故选：A
6．已知函数 ，设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得函数 关于直线 ，且在 上单调递增，在 上单调递减，又
，即得.
【详解】∵函数 ，
∴函数 关于直线 ，且在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，
∴ ，
∴ .
故选：B.
7．已知函数 是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可讨论 时，可看出 在 上单调递增，而 在 上不是增函
数，显然不合题意； 时，可看出 在 上单调递减，从而得出 ，解出a的
范围即可．
【详解】解：① 时， 在 上是增函数；
∴ 在R上是增函数；
显然 在 上不是增函数；
∴ 的情况不存在；
② 时， 在 上是减函数；
∴ 在R上是减函数；
∴ ，解得 ；
综上得，实数a的取值范围为 ．
故选：C．
8．如图，已知直三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ， ，点 在上底
面 （包括边界）上运动，则三棱锥 外接球表面积的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.
【详解】因为 为等腰直角三角形， ，
所以 的外接圆的圆心为 的中点 ，且 ，
设 的中点为 ，连接 ，则 ，则 平面 ，
设三棱锥 外接球的球心为 ，由球的性质可得 在 上，
设 ， ，外接球的半径为 ，
因为 ，所以 ，
即 ，又 ，则 ，
因为 ，所以
所以三棱锥 外接球表面积的最大值为 .
故选：B.【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：
（1）棱长为 的正方体的外接球半径为 ；
（2）长方体的长，宽，高分别为 ，则其外接球的半径为 ；
（3）直棱柱的高为 ，底面多边形的外接圆半径为 ，则其外接球的半径为 .
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知向量 ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．向量 与 夹角是 D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，由条件可得 ，再由平面向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可
得到结果.
【详解】因为向量 ， ，则 ，
且 ，则 ，解得 ，故A错误；
因为 ， ，则 ，故B正确；
因为 ，则 ，故C正确；
因为 ，则 ，故D正确；
故选：BCD
10．若 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于选项A B C：利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项D：利用作差法判断即可.
【详解】对于选项A：若 ，
由基本不等式得 ，即 ，
得 ，
故 ，
当且仅当 时取等号；
所以选项A不正确；
对于选项B：若 ，
，
，
当且仅当 且 ，
即 时取等号，
所以选项B正确；
对于选项C：由 ，
，
即 ，
由基本不等式有：
，
当且仅当 且 ，
即 时取等号，
所以选项C正确；
对于选项D： ，
又 ，得 ，
所以 ，
所以选项D正确；
故选：BCD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须
把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就
不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
11．如图所示，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点， 是线段 上的
动点，则下列判断正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积是定值
B．过 ， ， 三点的平面截正方体所得的截面是六边形
C．存在唯一的点 ，使得
D． 与平面 所成的角为定值
【答案】AC
【分析】利用 ，结合 的面积为定值，点 到平面 的距离 为定值，可判
断A；平面的基本性质作出面 与 的交点，利用正方体的性质及线线平行、线面平行、中位线
性质判断B；当 为 中点时，可得 ，进而判断C； 到平面 的距离一定，而 长
度随 运动会变化，结合线面角定义判断D.
【详解】因为 是线段 上的动点，而 且 ，
所以 的面积为定值，又点 到平面 的距离 为定值，
，所以三棱锥 的体积是定值，A正确；
过 作 分别交 ， 的延长线于 ， ，连接 ， ，如图，
为 ， 的交点， 为 ， 的交点，所以截面为五边形 ，B错误；
在 上运动，当 时， ，而 为 中点，
所以当 为 中点时， ，故存在唯一的点 使得 ，C正确；
由 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
所以 到平面 的距离一定，而 长度随 运动会变化，
故 与平面 所成的角不为定值，D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题A选项解决的关键在于，利用线线平行得到点到 的面积为定值，从
而得解.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．某科技攻关青年团队共有 人，他们的年龄分别是 ， ， ， ， ， ， ， ，则这
人年龄的 分位数是 ．
【答案】
【分析】根据百分位数的计算公式即可得到答案.
【详解】把这 个数据按从小到大的顺序排列可得： ， ， ， ， ， ， ， ，
，所以这 人年龄的 分位数是 ．
故答案为： ．
13．我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正
方形的四棱台），如果一个方斗上底边长为4分米，下底边长为2分米，高为3分米，则该方斗的外接
球的表面积为 平方分米．
【答案】
【分析】首先根据棱台的对称性得到外接球的球心 所在位置，根据垂直关系列出方程组，求解方程
组解得外接球半径，最后求出外接球面积即可.
【详解】由题意，方斗的示意图如下：设棱台上底面中心为 ，下底面中心为 ，
由棱台的性质可知：外接球的球心 落在线段 上，设外接球的半径为 ， ，则 ，
因为 垂直于上下底面，
所以 即 ，
所以 即 ，
联立解得 ， ,
所以该方斗的外接球的表面积为 .
故答案为：
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接
点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各
个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体
对角线长等于球的直径.
14．在锐角 中，角 所对的边分别为 为 的面积，且 ，则 的取
值范围 .
【答案】
【分析】利用三角形面积公式与余弦定理,可得 ，再根据同角关系式可得 ，
，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得 出，结合条件可得 的取值
范围，进而即得.
【详解】因为 ，且 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理得： ，
所以 ，又 ，
所以 ，
解得： 或 ，
因为 为锐角三角形，
所以 ， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
由正弦定理得：
，
因为 为锐角三角形，
所以 ，即 ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
故 .
故答案为： .
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．已知定义在区间 上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－ 对称，当x∈ 时，函
数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)在 上的表达式；
(2)求方程f(x)＝ 的解．
【答案】(1) ;(2)∴x＝－ 或－ 或－ 或 ．
【详解】试题分析：解：(1)当x∈ 时，A＝1， ＝ － ，T＝2π，ω＝1.
且f(x)＝sin(x＋φ)过点 ，
则 ＋φ＝π，φ＝ .
f(x)＝sin .
当－π≤x＜－ 时，－ ≤－x－ ≤ ，
f ＝sin ，
而函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－ 对称，
则f(x)＝f ，
即f(x)＝sin ＝－sin x，－π≤x＜－ .
∴
(2)当－ ≤x≤ 时， ≤x＋ ≤π，由f(x)＝sin ＝ ，
得x＋ ＝ 或 ，x＝－ 或 .
当－π≤x＜－ 时，由f(x)＝－sin x＝ ，sin x＝－ ，
得x＝－ 或－ .
∴x＝－ 或－ 或－ 或 .
考点：三角函数的图像与解析式
点评：解决的关键是根据三角函数的性质来结合图像来得到参数的求解，同事解三角方程，属于基础
题．
16．为了解某农场的种植情况，该农场的技术人员对种植出来的水果进行抽样检测，将测得的水果重
量分成 六组进行统计，得到如图所
示的统计图.
（1）估计该农场的水果重量的平均数(同一组当中的水果重量用该组的中间值代替)；
（2）从样本中重量不小于 克的水果中任取 个，求至少有 个水果的重量不小于 克的概率.
【答案】（1）18.45；（2） .
【分析】（1）取中间值与该组频数相乘，除以总数，即得平均数.
（2）列出所有基本事件，找出所求事件包含多少个基本事件，按照古典概型概率计算公式求解即可.
【详解】解：（1）设该农场的水果重量的平均数为 ，则
（2）重量不小于 克的水果有 个，记为
其中重量不小于 克的水果有 个，记为
从 中任取 个，有，共 种情况
至少有 个水果的重量不小于 克的有
，共 种情况
则至少有 个水果的重量不小于 克的概率
【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)
基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状
图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
17．如图，已知在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， 是正三角形，平面
平面 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 是线段 上一点，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【分析】（1）由线面垂直的性质定理，证出 平面 ．在 中根据中位线定理，证出
，从而 平面 ，结合面面垂直的判定定理，可得平面 平面 ；
（2）根据线面平行判定定理，得到 平面 ，推出三棱锥 的体积等于三棱锥
的体积．再由面面垂直的性质证出点 到平面 的距离等于正 的高，算出 的面积，利
用锥体体积公式算出三棱锥 的体积，即可得到三棱锥 的体积．
【详解】（1） 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 中， 、 分别是 、 的中点，
，可得 平面
平面 ， 平面 平面 ；
（2） ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
因此 上的点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
，取 的中点 ，连接 、 ，则 ，
平面 ， 平面 ， ，而 ,
于是 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
由题意知 , 是正三角形，则, 是正三角形，
点 到平面 的距离等于正 的高，即为 ，
因此，三棱锥 的体积 ．
18．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)若 的外接圆半径为 ，且 ，求 ；
(2)若 ，求锐角 的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由已知及正弦定理得到 ，然后据（1）的条件得到 ，进一步可得到 ，
最后使用余弦定理解出 ；
（2）先由已知及 是锐角三角形，得到 ，再对任意的 构造满足题目条件且面积等于 的 ，即可得到 的面积的取值范围是 .
【详解】（1）由 及正弦定理得
.
故 ，得 .
所以 ，知 .
记 的外接圆半径为 ，则 ，且 ，故 .
又有 ，
所以 ，即 .
故 ，
解得 .
（2）我们已有 ，记 的外接圆半径为 ，则 .
是锐角三角形当且仅当 ，即 ，故 的范围是
.
又因为
.
故由 的范围是 ，知 的范围是 ，所以 的范围是 .
而 ，所以 的面积的取值范围是 .
19．如果函数 的定义域为 ，且存在实常数 ，使得对定义域内的任意 ，都有恒成立，那么称此函数具有“ 性质”.
(1)已知 具有“ 性质”，且当 时， ，求 在 的最大值；
(2)已知定义在 上的函数 具有“ 性质”，当 时， .若函数
有8个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据给定的性质，求出函数 在 的解析式，再分类讨论求出最大值.
（2）根据给定的性质，求出函数 的解析式，并分析函数性质作出图象，令 ，把函数
的零点问题转化为一元二次方程实根分布求解.
【详解】（1）由 具有“ 性质”，得 对 恒成立，则函数 是 上的
偶函数，
当 时， ， ，
则当 时， ；当 时， ，
所以当 ，最大值为 ；当 时，最大值为 .
（2）函数 具有“ 性质”，则 ，即 ，
而当 时， ，则当 时， ， ，
于是 ，函数 在 上单调递减，函数值集合为 ，
在 上单调递增，函数值集合为 ，在 上单调递减，函数值集合为 ，
在 上单调递增，函数值集合为 ，函数 的图象如图，
令 ，显然当 时，方程 无解，当 或 时，方程 有2个解，
当 时，方程 有3个解，当 时，方程 有4个解，
函数 有8个零点，则 在 上有两个不等的实数根 ，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
