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龙岩一中 2024 届高三上学期第三次月考
数 学 试 题
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求得集合 ，求函数的定义域求得集合 ，由此求得 .
【详解】由 ，解得 ，所以 .
由 得 ，所以 ，
所以 .
故选：D
2. 已知复数 ，则 在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先用复数的除法公式对复数化简，再求出共轭复数，得到共轭复数所在象限.
【详解】因为 ，所以
则 在复平面内所对应的点位于第四象限.
故选：D.
3. 已知 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角恒等变换的知识化简已知等式，从而求得 .
【详解】因为 ，
即 ，两边平方可得 ，
解得 .
故选：A
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 取最大值时 的值为（
）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的性质得出 即可求解.
【详解】 等差数列 ， ， ，
， ，则 取最大值时， .
故选：A.
5. 已知 是球 表面上的点， ， ， ， ，则球
表面积等于
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【详解】球心O为ＳＣ的中点，所以球Ｏ的半径为 ，所以 ,故选A.
6. 已知 为平面 的一个法向量， 为一条直线，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
将“ ”与“ ”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】当“ ”时，由于 可能在平面 内，所以无法推出“ ”.
当“ ”时，“ ”.
综上所述，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题.
7. 已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 为抛物线上一点， ，若 ，则
点 的纵坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式可得 的坐标，再由 ，列出方程，即可得到结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
因为 ，由抛物线的焦半径公式可得 ，即 ，且
所以 ，设 ，则 ，
又 ，则 ，解得 ，所以点 的纵坐标是 .
故选：A
8. 如图，已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，过 的直线与 分别在第一､
二象限交于 两点， 内切圆半径为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线定义和几何性质，结合圆的切线长定理与余弦定理即可求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
设 ，内切圆圆心为 ，内切圆在 上的切点分别为 ，
则 ，
由 及双曲线的定义可知，
，
故四边形 是正方形，
得 ，于是 ，
故 ，所以 ，
于是 ，在 中，
由余弦定理可得 ，
从而 ，所以 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知 ，直线 ，且 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用 ，找到 ，结合基本不等式及不等式的性质逐一判断即可.
【详解】 ，且 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故A正确；
，当且仅当 时等号成立，
，故B正确；
，故C错误；
，当且仅当 ，即 时等号成立，故D正确．
故选：ABD.
10. 如图，在棱长为4的正方体 中，E，F，G分别为棱 ， ， 的中点，点P
为线段 上的动点，则（ ）
A. 两条异面直线 和 所成的角为
B. 存在点P，使得 平面
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学科网（北京）股份有限公司C. 对任意点P，平面 平面
D. 点 到直线 的距离为4
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据异面直线所成角的概念结合正方体的性质可判断A，根据线面平行的判定定理可判断B，根
据线面垂直的判定定理可得 平面 ，然后根据线线垂直的判定定理可判断C，利用余弦定理结
合条件可判断D.
【详解】对于A，由正方体的性质可知 ，两条异面直线 和 所成的角即为 ，
所以A错误；
对于B，当点P与点 重合时，由题可知 ，
为
所以 ，四边形 平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，所以B正确；
对于C，连结 ，由于 平面 ， 平面 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，故 ，故 ，即
，故 ，
又 相交， 平面 ，故 平面 ，又 平面 ，故对任意点 ，平
面 平面 ，所以C正确；
对于D，由正方体的性质可得 ， ，
所以 ，
所以 ，所以点 到直线 的距离 ，所以D正确．
故选：BCD．
11. 电子通讯和互联网中，信号的传输､处理和傅里叶变换有关.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数
表示成三角函数（正弦和或余弦函数）的线性组合.例如函数
的图象就可以近似地模拟某种信号的波形，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 为周期函数，且最小正周期为
B. 为奇函数
C. 的图象关于直线 对称
D. 的导函数 的最大值为7
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用函数的性质逐项分析判断即可.
【详解】 .
对于A， ， 不是
的周期，故A错误；
对于B， 的定义域为 ，
为奇函数，故B正确；
对于C， ，且 为奇函数，
的图象关于直线 对称，故C正确；
对于D， ，当 时， ，
取最大值7，故D正确.
故选：BCD.
12. 已知函数 ，数列 满足函数 的图像在点 处的切线与x轴交于
点 且 ，则下列结论正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用导数求函数 的图像在点 处的切线方程，令 ，判断A；推导出
，证明 ，推导出 在区间 上单调递减，从而数列 单调递减，
判 断 B ， C ； ， 证 明 ， 证 明
，令 ， ，利用导数性质推导出
在区间 上单调递减，判断D．
【详解】 ， ，
∵ ，∴函数 的图像在点 处的切线斜率 ，
切线方程为 ，
令 ，解得 ，∴ ，∴ ，故选项A正确；
设 ，则 ， 时 ， 时 ，
在上单调递减，在 上单调递增， ，
所以 ，即 ，
则有 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，有 ，即 ，由 ，∴ ，
下证数列 单调递减，即证 ，即证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，
∵ ，当 时 ，∴ 在区间 上单调递减，
∵ ，∴ ，∴ ，∴数列 单调递减，
∴ ，且 ，故选项B正确，选项C错误；
∵ ，要证 ，
可证 ，由 ，只需证 ，
即证 ，即证 ，即证 ，
令 ，∵ ，∴ ，则即证 ，
令 ，
则 ，∴ 在区间 上单调递减，
∴ ，有 ，故选项D正确．
故选：ABD
【点睛】方法点睛：
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调
性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非
凡的功效.
三、填空题：本题共4小题．
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知 ， ，则 在 方向上的投影向量的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义求解.
【详解】因为 ， ，
所以 向量在 方向的投影向量为 .
故答案为：
14. 已知函数 有2个极值点 ， ，则 ______．
【答案】0
【解析】
【分析】由 得 ，然后根据函数解析式结合条件即得.
【详解】因为函数 有两个极值点 与
由 ，则 的两根为 与 ，
所以 ，即 ，
由 ，可得 ，
所以 .
故答案为：0.
15. 已知定义在 上的函数 在 上单调递增，且函数 为奇函数，则
的解集为___________.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先判断出 在 单调递增，利用单调性解不等式.
【详解】 函数 为奇函数， 函数 关于 中心对称.则
又 在 上单调递增，
在 单调递增，从而 可化为：
，
， 原不等式的解集为 .
故答案为： .
16. 黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部
分之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认
为最具有审美意义的比例数字．若数列 是以黄金分割数为公比的等比数列，且 ，
则 _________．
【答案】2023
【解析】
【分析】先根据题意列方程求出黄金分割数，则可得等比数列的公比，然后根据等比数列的通项公式和黄
金分割数的性质求解即可.
【详解】由题意，设整体为1，较大部分为 ，则较小部分为 ，则 ，
即 ，解得 （ 舍去），故黄金分割数为 ．
令 ，则 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故 ．
故答案为：2023
四、解答题：本大题共6小题，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17. 在 中，角 的对边分别是 ，且 .
（1）求角 ；
的
（2）若 中线 长为 ，求 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可；
（2）利用平面向量知 ，利用数量积与模关系及基本不等式可得 ，再根据面积公
式求最值即可.
【小问1详解】
在 中，由正弦定理得： ，
而 ，
所以 ，
化简得 ，
因为 ，所以 ， ，
即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由 是 的中线， ，
所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以三角形面积 ，
即 的面积的最大值为 .
18. 已知 为等比数列 的前n项和，若 ， ， 成等差数列，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，且数列 的前n项和为 ，证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首项；最后求出数列的通项公式；
（2）求出 ，然后运用裂项相消法求出 可得结论.
【小问1详解】
设数列 的公比为q，
由 ， ， 成等差数列可得 ，
故 ，解得 ，
由 可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，故 ，即数列 的通项公式为 .
【小问2详解】
由（1）可得 ，
故 .
当 时， 取得最大值 ，当 时，
，
故 .
19. 如图，平面 平面 ，点 为半圆弧 上异于 ， 的点，在矩形 中，
，设平面 与平面 的交线为 .
（1）证明： 平面 ；
（2）当 与半圆弧 相切时，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）由面面平行的性质定理得 ，再由线面平行的判定定理可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求两个平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
证明：∵四边形 为矩形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面
又 平面 ，平面 平面 ，∴ ，
∵ 平面 ， 不在平面 内，∴ 平面 .
【小问2详解】
取 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ，则 ，
∵平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ，∴ 平面 ，
又 平面 ， ，当 与半圆弧 相切时， ，即 ，
以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设 ，易得 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，∴ ，令 ，则
设 为平面 的一个法向量，则 ，
即 ，所以 ，令 ，则
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，所以两平面的夹角的余弦值为 .
20. 已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）证明：当 时， ，使得 ．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数与极值的关系求解；
（2）利用导数与单调性最值得关系证明不等式能成立问题.
【小问1详解】
易知 ， ,
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
综上，当 时，函数 在 上单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
【小问2详解】
由（1）可知，当 时， 在 处取得最小值 ，
若 ，使得 ，只需 ，
令 ，由 ，
可得，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故当 时， ，
所以， ，使得 ．
21. 已知椭圆 离心率为 ，焦距为 .
（1）求 的方程；
（2）过点 分别作斜率和为 的两条直线 与 ，设 交 于 、 两点， 交 于 、 两点，
、 的中点分别为 、 .求证：直线 过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
的
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 、 方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆 的方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，则 ，将直线 的
方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，可求得点 的坐标，同理可得出点 的坐标，求出直线
的方程，并化简直线 的方程，即可得出直线 所过定点的坐标.
【小问1详解】
解：由已知条件可得 ，解得： .
所以，椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
解：设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，则 .
联立 ，
因为点 在椭圆 内，则直线 、 与椭圆 均相交，
设点 、 ，
所以， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以，线段 的中点为 .
同理可得，线段 的中点为
所以直线 斜率为
.
所以直线 方程为：
，
所以，直线 的方程可化为 ，
由 可得 ，因此直线 恒过定点 .
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
22. 设抛物线C： 的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过
点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.
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学科网（北京）股份有限公司（1）若AB过焦点F，且 ，求直线AB的倾斜角；
（2）求 的值.
【答案】（1） 或
（2）2
【解析】
【分析】（1）设AB直线的方程，再和抛物线联立，运用抛物线的定义及韦达定理可求出直线AB的倾斜
角；
（2）设过A点且与抛物线C相切的直线方程为 ，与抛物线联立由 求出直线PA的方
程，同理可得直线PB方程，即可求出直线AB的方程，与抛物线联立求出 ，设直线PD的方程为
与抛物线联立由韦达定理表示出 ， ，代入 化简即可得出答
案.
【小问1详解】
设 ， ， ， ，
因为直线AB的斜率不为0，所以设AB直线的方程为 ，
联立方程 ，消去y，得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以直线的倾斜角为 或 .
【小问2详解】
设过A点且与抛物线C相切的直线方程为 ，（k存在，A不为原点），
联立方程 ，消去x得， ，
，即 ，
所以 ，即 ，
所以直线PA的方程为 ，即 ，
同理可得，直线PB方程为： ，
因为点 在直线PA，PB上，所以 ， ，
所以直线AB的方程为：
设直线PD的方程为 ，
联立方程 ，消去x，得 ，
得 ， ，
联立方程 ，消去x，得 ，
由于点P在抛物线的外部，点Q在抛物线的内部，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线位置关系中的定值问题，此类问
题一般有两个处理方法：（1）联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理化简目标代数式，从而
可解决定值问题；（2）设出抛物线上动点的坐标（注意用纵坐标表示横坐标或用横坐标表示纵坐标），
把题设条件转化为关于坐标的关系，从而可解决定值问题
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学科网（北京）股份有限公司
