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2010 年辽宁高考理科数学真题及答案
第I卷
一、选择墨：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，
（1） 已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},( B∩A={9},则A=
（A）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}
1+2i
(2)设a,b为实数，若复数 =1+i，则
a+bi
3 1
（A）a= ,b= (B) a=3,b=1
2 2
1 3
(C) a= ,b= (D) a=1,b=3
2 2
2 3
（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是
3 4
否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
1 5 1 1
（A） (B) (C) (D)
2 12 4 6
(4)如果执行右面的程序框图，输入正整数n，m，
满足n≥m，那么输出的P等于
（A）Cm-1
n
(B) Am-1
n
(C) Cm
n
(D) Am
n
p 4p
（5）设w>0,函数y=sin(wx+ )+2的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则w的
3 3
最小值是
2 4 3
（A） (B) (C) (D)3
3 3 2
（6）设{a}是有正数组成的等比数列，S 为其前n项和。已知aa=1, S =7,则S =
n n 2 4 3 5
第1页 | 共10页15 31 33 17
（A） (B) (C) (D)
2 4 4 2
(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如
果直线AF的斜率为- 3 ,那么|PF|=
(A)4 3 (B)8 (C)8 3 (D) 16
(8)平面上O,A,B三点不共线，设OA=a,OB=b，则△OAB的面积等于
(A) |a|2|b|2 -(a b)2 (B) |a|2|b|2 +(a b)2
g g
1 1
(C) |a|2|b|2 -(a b)2 (D) |a|2|b|2 +(a b)2
g g
2 2
(9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐
近线垂直，那么此双曲线的离心率为
3+1 5+1
(A) 2 (B) 3 (C) (D)
2 2
4
(1O)已知点P在曲线y= 上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值
ex +1
范围是
p p p p 3p 3p
(A)[0, ) (B)[ , ) ( , ] (D) [ ,p)
4 4 2 2 4 4
(11)已知a>0，则x 满足关于x的方程ax=6的充要条件是
0
1 1 1 1
(A)$xÎR, ax2 -bx³ ax2 -bx (B) $xÎR, ax2 -bx£ ax2 -bx
2 2 0 0 2 2 0 0
1 1 1 1
(C) "xÎR, ax2 -bx³ ax2 -bx (D) "xÎR, ax2 -bx£ ax2 -bx
2 2 0 0 2 2 0 0
(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端
点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是
(A)（0, 6+ 2） (B)（1,2 2）
(C) ( 6- 2, 6+ 2） (D) （0,2 2）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
1
（13）(1+ x+ x2)(x- )6的展开式中的常数项为_________.
x
（14）已知-1< x+ y < 4且2< x- y <3，则z = 2x-3y的取值范围是_______（答案用
区间表示）
（15）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出
了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为
______.
第2页 | 共10页a
（16）已知数列a 满足a =33,a -a = 2n,则 n 的最小值为__________.
n 1 n+1 n n
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且
2asinA= (2a+c)sinB+(2c+b)sinC.
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值.
（18）（本小题满分12分）
为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这
200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
第3页 | 共10页（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积
与注射药物B后的疱疹面积有差异”.
表3：
（19）（本小题满分12分）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S
分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
(20)（本小题满分12分）
x2 y2
设椭圆C： + =1(a>b>0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B
a2 b2
uuur uuur
两点，直线l的倾斜角为60o,AF =2FB.
(I) 求椭圆C的离心率；
15
(II) 如果|AB|= ，求椭圆C的方程.
4
（21）（本小题满分12分）
已知函数 f(x) =(a+1)lnx+ax2 +1
（I）讨论函数 f(x)的单调性；
第4页 | 共10页（II）设a < -1.如果对任意x ,x Î(0,+)，| f(x )- f(x )³ 4| x -x |，求a的取值
1 2 1 2 1 2
范围。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所作的第一题记分。
作答时用2B铅笔在答题卡上吧所选题目对应题号下方的方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
（I）证明：ABE ADC
1
（II）若ABC的面积S = ADAE，求BAC的大小。
2
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知P 为半圆C： （ 为参数，0££p）上的点，点A 的坐标为（1,0），
p
O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧 的长度均为 。
3
（I）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
1 1 1
已知a,b,c均为正数，证明：a2 +b2 +c2 +( + + )2 ³6 3，并确定a,b,c为何值时，
a b c
等号成立。
参考答案
一、选择题
（1）D （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B
（7）B （8）C （9）D （10）D （11）C （12）A
二、填空题
21
（13）-5 （14）（3,8） （15）2 3 （16）
2
（17）解：
（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2 =(2b+c)b+(2c+b)c
第5页 | 共10页即 a2 =b2 +c2 +bc
由余弦定理得 a2 =b2 +c2 -2bccosA
1
故 cosA=- ，A=120° ……6分
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
sinB+sinC =sinB+sin(60°-B)
3 1
= cosB+ sinB
2 2
=sin(60°+B)
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分
（18）解：
（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为
2C99 100
P= 198 = ……4分
C100 199
200
（Ⅱ）（i）
图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频
率分布直方图
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹
面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹
面积的中位数。 ……8分
（ii）表3：
第6页 | 共10页200´(70´65-35´30)2
K2 = »24.56
100´100´105´95
由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱
疹面积有差异”。
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