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大庆实验中学实验三部 2021 级高三阶段考试（二）
数学试题
第I卷（选择题，共60分）
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一个符合题目要求.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 复数 的共轭复数是
C. 的实部为5 D.
3. 已知抛物线 的准线过双曲线 的一个焦点，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
.
D 若 ，则
5. 数列 的通项公式为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
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学科网（北京）股份有限公司6. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 设 ， ， ，则（ ）
.
A B. C. D.
8. 已知 为坐标原点，椭圆 的左､右焦点分别是 ，离心率为 . 是
椭圆 上的点， 的中点为 ，过 作圆 的一条切线，切点为 ，
则 的最大值为（ ）
A. B. 4 C. D.
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，至
少有一个符合题目要求，每道题全对得5分，部分选对得2分.
9. 已知 ，则（ ）
.
A 若 ，则
B. 若 ，则
C. 的最小值为2
D. 若向量 与向量 的夹角为钝角，则 的取值范围为
10. 已知函数 .记 ，则下列关于函数
的说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 当 时，
B. 函数 的最小值为-1
C. 函数 在 上单调递减
D. 若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根，则 或
11. 过双曲线 的右焦点 作渐近线的垂线，垂足为 ，且该直线与 轴的交点为 ，
若 （ 为坐标原点），该双曲线的离心率的可能取值是（ ）
A. 2 B. C. D.
12. 如图，已知正方体 的棱长为 为底面正方形 内（含边界）的一动点，则
下列结论正确的是（ ）
A. 存在点 ，使得 平面
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 当点 在棱 上时， 的最小值为
D. 若点 到直线 与到直线 的距离相等， 的中点为 ，则点 到直线 的最短距离是
第II卷（非选择题，共90分）
三､填空题：本题共4小题，每空5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置
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学科网（北京）股份有限公司13. 直线 与直线 垂直，且被圆 截得的弦长为2，则直线 的一个方程
为__________（写出一个方程即可）
14. 如图，在正三棱柱 中， 分别是 和 的中点，则直线 与
所成的角余弦值为__________.
15. 已知数列 满足： ，设数列 的前 项和为 ，若对
于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
16. 设函数 ，若不等式 有且只有三个整数解，则实数 的取值
范围是__________.
四､解答题：本大题共6小题，其中17题满分10分，其余各题满分12分，共70分，把答案
填在答题卡的相应位置.
17. 已知函数 （其中 ）的部分图像如图所示，将函数 的图
象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象.
（1）求 与 的解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）令 ，求函数 的单调递增区间.
18. 如图所示，在三棱锥 中， 为等腰直角三角形，点 S 在以 为直径的半圆上，
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19. 在 中，角 的对边分别为 ，且 .
（1）求 ；
（2）求 的 边中线 的最大值.
20. 已知 为数列 的前 项和， 且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求 ．
21. 在平面直角坐标系 中，抛物线E： 的焦点为F，E的准线交 轴于点K，过K的直
线l与拋物线E相切于点A，且交 轴正半轴于点P.已知 的面积为2.
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点P的直线交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足 .
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学科网（北京）股份有限公司证明：直线 过定点.
22. 已知函数 ，其中 .
的
（1）若 是定义域内 单调递减函数，求a的取值范围；
（2）当 时，求证：对任意 ，恒有 成立.
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