文档内容
“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作
2023—2024 学年第一学期联考
高三数学试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1. 若集合 ， ，则 的元素的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合解不等式以及对数函数的单调性，求得集合 ，根据集合的交集运算，即可得答案.
【详解】由题意得 ，
，
故 ，即 的元素的个数是1个，
故选：A
2. 复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 的性质、复数的除法运算可得答案.
【详解】 ，
第1页/共28页
学科网（北京）股份有限公司所以 的虚部为 .
故选：C.
3. 函数 的图象可能是（ ）．
A B. C.
.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排除法，结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.
【详解】因为 定义域为 ，
且 ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；
对于C， 时， ， ，
所以 ，所以 ，故C不正确；
对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合 时， ，故A正确．
故选：A.
第2页/共28页
学科网（北京）股份有限公司4. 设 的内角 的对边分别为 ，若 则 的值可以为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理求出 ，结合 求出答案.
【详解】由正弦定理得 ，即 ，
故 ，
因为 ，所以 ，故 .
故选：A
5. 若向量 ， ，且 ，则 在 方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算求出 ，再根据投影向量的定义即可求解.
【详解】 ， ，
，
，
，解得 ，
，
在 方向上的投影向量为 .
第3页/共28页
学科网（北京）股份有限公司故选：C.
6. 设 ， ，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 的结构特征构造函数 ，判断其单调性，即可判断A；结合指数函数的单
调性，判断B；根据 的范围判断C，利用基本不等式以及等号成立条件判断D.
【详解】设 ，则 ，
因为 在R上单调递增，故 在R上单调递减，
所以 ，即 ，A错误，
因为 在R上单调递减，故 ，B正确；
由于 ，即 ，
故 ，C错误；
，当且仅当 时取等号，
但 ，故 ，D错误，
故选：B
7. 我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，3，…，9填入 的方格内，使
第4页/共28页
学科网（北京）股份有限公司三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数1，2，3，…， 填入
的方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做 阶幻方．记 阶幻
方的每列的数字之和为 ，如图，三阶幻方的 ，那么 （ ）
4 9 2
3 5 7
8 1 6
A. 41 B. 369 C. 1476 D. 3321
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用等差数列的性质及求和公式求解即可.
【详解】由等差数列的性质得：九阶幻方所有数字之和为 ，
由于每列和对角线上的数字之和都相等，
所以每列的数字之和为 ，
故选：B.
8. 函数 ，若 恰有6个不同实数解，正实数 的
范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把问题转化为 ，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性
求出参数范围即可.
第5页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题知，
的 实 数 解 可 转 化 为 或 的 实 数 解 ， 即
，
当 时，
所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
如图所示：
所以 时 有最大值：
所 以 时 ， 由 图 可 知 ，
当 时，因为 ， ，
所以 ，
令 ，则
第6页/共28页
学科网（北京）股份有限公司则有 且 ，如图所示：
因为 时，已有两个交点，
所以只需保证 与 及与 有四个交点即可，
所以只需 ，解得 ．
故选：D
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有
多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）
9. 函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 点 是函数 图象的一个对称中心
D. 直线 是函数 图象的对称轴
【答案】ACD
第7页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】A选项，根据图象得到函数最小正周期，进而得到 ；B选项，将 代入解析
式，求出 ；C选项， ，C正确；D选项，计算出 ，故D正确.
的
【详解】A选项，设 最小的正周期为 ，
由图象可知， ，解得 ，
因为 ，所以 ，A正确；
B选项，将 代入 中得， ，
故 ，即 ，
因为 ，所以只有当 时，满足要求，
故 ，B错误；
C选项， ，故 ，
故点 是函数 图象的一个对称中心，C正确；
D选项， ，
故直线 是函数 图象 对的称轴，D正确.
故选：ACD
第8页/共28页
学科网（北京）股份有限公司10. 已知数列 中， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是递增数列 C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，化简得到 ，得到 表为等比数列，进而求得数列的通项公
式 ，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，则 ，
又由 ，可得 ，所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 ，
由 ，所以A不正确；
由 ，即 ，所以 是递增数列，所以B正确；
由 ，所以C错误；
由 ， ，所以 ，所以D正确.
故选：BD.
11. 已知函数 的定义域为 ，若 ，且 均为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据奇函数定义可得 ， ，即可代值逐一求解.
第9页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 均为奇函数，所以 ，即
①， ，
因为 ，即 ，所以 ，即
②．
由①，取 得 ，
由②，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 ．
由①，令 ，得 ．
故选：ABC
12. 如图，直四棱柱 中，底面ABCD为平行四边形， , ，点
P是经过点 的半圆弧 上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧 上的动点（不包括
端点），则下列说法正确的是（ ）
A. 四面体PBCQ的体积的最大值为
B. 的取值范围是
C. 若二面角 的平面角为 ，则
D. 若三棱锥 的外接球表面积为S，则
【答案】ACD
【解析】
第10页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据棱锥的体积公式可判断A；根据向量的相等以及数量积的定义可判断 B；结合二面角平面角
定义找出 ，结合解直角三角形判断C；确定三棱锥 的外接球球心位置，列等式求得半径表达式，
求得其取值范围，即可求出三棱锥 外接球表面积取值范围，判断D.
【详解】由题意知在直四棱柱 中，半圆弧 经过点D，故 ，
点P到底面 的距离为 ，
当点Q位于半圆弧 上的中点时 最大，即四面体PBCQ体积最大，
则 ，故A正确；
由于 ，则 ，
又在 中， ，
故 ，
因为 ，所以 ，则 ，故B错误；
因为 平面 ， 平面 ，故 ，而 ,
平面 ，故 平面 ， 平面 ，
故 ，所以 是二面角 的平面角，
则 ，因为 ，所以 ，故C正确；
第11页/共28页
学科网（北京）股份有限公司设线段BC的中点为N， 线段 的中点为K，则三棱锥 的外接球球心O在NK上，
在四边形 中， , ,
设 ，在 中 ，在 中 ，
故 ，
整理得 ，所以 ，所以外接球的表面积为 ，D正确，
故选：ACD
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在选项D的判断，解答时要发挥空间想象，明确空间的点线面位置关
系，确定外接球球心位置，进而找出等量关系，求得球的半径取值范围，即可求解球表面积取值范围.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知角 的顶点为原点，始边为 轴的非负半轴，若其终边经过点 ， ___．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数定义得到 ，利用二倍角公式和同角三角函数关系化为齐次式，化弦为
切，代入求值.
【详解】由题意得 ，
.
故答案为：
14. 命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围是______．
第12页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】依题意可得“ ， ”是真命题，分 、 两种情况讨论，分别计算可
得.
【详解】命题“ ， ”是假命题，
则它的否定命题“ ， ”是真命题，
当 时，不等式为 ，显然成立；
当 时，应满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
15. 设点 ， ， 在 上，若 ，则 _________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据平面向量的数量积运算律，得 ；再根据平面向量的数量积定义，得
；最后根据圆的性质即可解答.
第13页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【详解】
记 的半径为 ，则 .
.
，即 .
，因为 ，
在 中， ，则 ，同理 ，
所以三角形 为等边三角形，
.
故答案为： .
16. 已知无穷等差数列 中的各项均大于0，且 ，则 的范围为_____________.
【答案】
【解析】
第14页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据题意，设等差数列 的公差为 ，分析可得 的取值范围，由 求出 ，
则有 ，构造函数 ，利用导数可求出其最
值，从而可得答案.
【详解】根据题意，设等差数列 的公差为 ，
由于无穷等差数列 中的各项均大于0，
则 ，由于 ，则 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ，
则 ，由 ，得 ，得 ，解得 或 （舍
去）.
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以 ，即 的范围为 .
第15页/共28页
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知函数
（1）当 ，求 的最值，及取最值时对应的 的值；
（2）在 中， 为锐角，且 ，求 的面积．
【答案】（1） , ； ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式结合辅助角公式化简可得 的表达式，根据 范
围，结合正弦函数性质，即可求得答案；
（2）结合（1）的结果可求出角A，利用余弦定理可求出 的值，利用三角形面积公式即可求得答案.
【小问1详解】
，
，
，
当 ，即 时， ；
第16页/共28页
学科网（北京）股份有限公司当 ，即 时， ；
【小问2详解】
由 ，即 ，
而 为锐角， ，则 ，
，
又 ，
由余弦定理得 ，即 ，即 ，
.
18. 已知函数 ， 的图象在 处的切线为 ．
（1）设 ，求 的最小值；
（2）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） （2）
0
【解析】
【分析】（1）先根据导数的几何意义求出 ，再利用导数判断函数 单调性进而求解最小值；
（2）先将恒成立问题转化为 ，利用导数判断函数单调性进而求出函数最小值即可.
【小问1详解】
，由题意知 ，
第17页/共28页
学科网（北京）股份有限公司所以 = ，
令 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增；
故 ，即 的最小值为0.
【小问2详解】
令 ，则 ，
由（1）可知当 时 ，
所以当 时， ，函数 在 单调递减；
当 时， ，函数 在 单调递增；
所以 ，
故 .
19. 已知数列 的前n项和为 ， ，且 ．
（1）求证：数列 为等差数列；
（2）已知等差数列 满足 ，其前9项和为63．令 ，设数列 前的n项和为 ，求证：
．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
第18页/共28页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由题意可得 ，再结合当 时， 求出即可；
（2）用基本量法求出 ，利用裂项相消法求出 ，适当放缩即可证明.
【小问1详解】
证明： ，
数列 是以1为首项， 为公差的等差数列
可得
当 时，
当 时，也满足上式，
【小问2详解】
证明：
第19页/共28页
学科网（北京）股份有限公司20. 如图，在四棱锥 中， 是边长为2的正三角形， ， ， ，
，平面 平面 ．
（1）设平面 平面 ，问：线段 上是否存在一点 ，使 平面 ？
（2）平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）存在 为 的中点，使 平面
（2）
【解析】
【分析】（1）分别取 、 的中点 、 ，证明四边形 为平行四边形， ，从而
平面 ，再由线面平行的性质定理得到 ，即 ，从而 平面 ；
（2）由平面 平面 ，得出 平面 ，建立空间直角坐标系求解.
【小问1详解】
第20页/共28页
学科网（北京）股份有限公司存在 为 的中点，使 平面 .
分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
， ，
， ，
， ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
， ，
平面 ， 平面 ，
平面 .
即线段 上存在一点 ，使 平面 .
【小问2详解】
分别取 、 中点 、 ，连接 、 ， ，
， ，
， ，
第21页/共28页
学科网（北京）股份有限公司平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
.
平面
以 为原点，以 ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
， ， ，
， ，
设向量 为平面 的一个法向量，
则 取 ，得 ，
又 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
21. 已知 的三个角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ．
第22页/共28页
学科网（北京）股份有限公司（1）求角 ；
（2）若 ，在 的边 和 上分别取点 ， ，将 沿线段 折叠到平面
后，顶点 恰好落在边 上（设为点 ），设 ，当 取最小值时，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，进而求得 .
（2）利用正弦定理或余弦定理，结合基本不等式或三角函数的最值等知识求得 取最小值时 的
面积.
【小问1详解】
由正弦定理得 ，
，
，
即 ，
， ，
即 ，
第23页/共28页
学科网（北京）股份有限公司， ， ，
.
【小问2详解】
方法一： ， ， 为等边三角形，
，
， ， ， ，
在 中，由余弦定理得，
，
即 ，
整理可得 ， ，
，
当且仅当 时取等号，
即 时， 取最小值 ，
此时 ，
．
方法二： ， ， 为等边三角形，
，
第24页/共28页
学科网（北京）股份有限公司， ， ，
设 ， ，
在 中，由正弦定理得，
，即 ，
整理可得 ， ，
当且仅当 时， 取最小值 ，
当 取最小值 时， ，
在 中， ， ，
.
22. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）函数 有两个零点 ，求证：
.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 .
【解析】 .
【分析】（1）求出函数导数，结合一元二次方程的根，判断导数正负，即可得答案；
（ 2 ） 根 据 推 出 ， 结 合 换 元 ， 证 明
第25页/共28页
学科网（北京）股份有限公司，继而构造函数 ，判断其单调性，结合零点存在定理推出
，从而证明结论.
【小问1详解】
由题意知 ，定义域为 ，
，
若 ，令 得 ，
，
故方程 有两个实数根 （舍），
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ，则 ，故 在 上单调递增，
故当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
【小问2详解】
证明：由（1）可知当 时， 在 上单调递增，不可能有两个零点，
由 得， ，
第26页/共28页
学科网（北京）股份有限公司，
又 ，
令 ，则 ，猜想 ，下面证明：
要证明 ，即需证明 ，
令 ，则 ，
即 在 上单调递增，故 ，
故 成立；
，
，
令 ，则 ，即 ，
令 ，则
在 上单调递增，
第27页/共28页
学科网（北京）股份有限公司，
故 ，使得 ，
即当 时， ，即 成立，
此时 ，即有 .
【点睛】难点点睛：本题考差了导数知识的综合应用，综合性强，计算量大；难点在于结合函数的零点证
明不等式问题，解答时要根据 推出 ，
结合换元，证明 ，继而构造函数，判断其单调性，结合零点存在定理推出
，从而证明结论.
第28页/共28页
学科网（北京）股份有限公司
