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2026年中考数学常考考点专题之尺规作图
一．选择题（共13小题）
1．（2025•金凤区校级模拟）如图，以点O为圆心，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使得OA＝OB，
1
然后分别以点A，B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点 P．如果点P的坐标为（3a，
2
a+4），则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025•义乌市校级模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠ ＝（ ）
α
A．28° B．56° C．68° D．34°
3．（2025•西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点
M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点 P（点P与点A在直线l的两
侧）；作直线 AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：
①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；
1
⑤cos∠MPN= ．其中正确结论的个数是（ ）
2
第1页（共47页）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2025•肥东县校级三模）如图，在△ABC中，∠CAB＝2∠B，利用尺规以点A为圆心，以任意长为半
1
径画弧分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在
2
∠BAC内交于点P，作射线AP交BC于点D．若AC＝AD＝8，则CD的长是（ ）
A．-4+2√5 B．-4+4√5 C．4-√5 D．4
5．（2025•当雄县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，
1
分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，
2
作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线 B．S ：S ＝1：√3
△CBD △ABD
1
C．AD＝BD D．CD= BD
2
6．（2025•武城县二模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点
E，若BF＝16，AB＝10，则AE的长为（ ）
第2页（共47页）A．16 B．12 C．10 D．8
7．（2025•望城区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心，适当长为半径
1
画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于
2
点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD＝BD
1 S 1
C．CD= BD D． △CBD =
2 S 3
△ABD
8．（2025•门头沟区二模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程：
已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．
求作：直线PE，使得PE∥BC．
作法：如图2，①在直线BC上取一点A，连接PA．
②作∠PAC的平分线AD．
③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E．
④作直线PE．
∴直线PE就是所求作的直线．
第3页（共47页）上述的方法是通过判定∠PEA＝∠EAC得到PE∥BC的，其中判定PE∥BC的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行
D．两直线平行，内错角相等
9．（2025•二道区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC．按下列要求作图：
①以点B为圆心，小于线段AC的长为半径画弧，交线段BC于点N，交AB于点M；
②以点A为圆心，线段BN长为半径画弧，交AC于点Q；
③以点Q为圆心，MN长为半径画弧，交②中的弧于点P，作射线AP交线段BC于点D．则∠BAC和
∠ADC的关系是（ ）
A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC＝∠ADC C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定
10．（2025•邯郸模拟）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点
E．若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．（2025•古塔区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，
1
分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，
2
第4页（共47页）作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝16，AB＝20，当DE长度最小时，△BDE的面积是
（ ）
16 32
A．6 B． C． D．24
3 3
12．（2025•汇川区四模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，以A为圆心，适当长为半径画
1
弧，分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点
2
G，连接AG并延长交CD于点M，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交CD于点N．则MN的长为（
）
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
13．（2025•阜阳三模）如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点
1
A在m上，点B在n上，AC与n相交于点D，以A，B为圆心，大于 AB为半径画弧，两弧相交于点
2
P，Q，作直线PQ交直线m于点E，连接BE．若∠1＝ ，则∠CBD＝（ ）
α
1 1
A．90°﹣ B．45°- α C．2 ﹣135° D． α-30°
2 2
α α
二．填空题（共7小题）
第5页（共47页）3
14．（2025•平房区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan∠BAC= ，以点B为圆心，任意长为半
4
1
径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径，在MN下方
2
画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为 ．
15．（2025•南岗区校级三模）已知：如图，菱形 ABCD的边长为12，∠BAD＝120°，点E为AB的中点，
连接CE，以点E为圆心任意长为半径画弧，交EC、EA于点G、H，分别以G、H为圆心大于线段GH
一半长为半径画弧，两弧交于点P，射线EP交CD于点F，则EF的长为 ．
16．（2025•大东区校级二模）如图，已知∠ABC＝60°，以点B为圆心，2cm长为半径画弧，交BA于点
D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；以点D为圆心，BE长为半径画弧，
交DA于点G；以点G为圆心，EF长为半径画弧，交前面的弧于点H；过点H画射线DH；分别以
1
E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点M；画射线BM，交DH于点
2
N；以点N为圆心，BN长为半径画弧，交BC于点P，则^BP的长为 cm．
17．（2025•太平区二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，按如下步骤作图：
1
①分别以点A，C为圆心，以大于 AC的长为半径在 AC两边作弧，交于两点 M，N；②作直线
2
第6页（共47页）MN，分别交AB，AC于点D，O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．则四边形ADCE的
周长为 ．
18．（2025•新宾县校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠DCB，以点D为圆
心、CD的长为半径作弧，与AB交于点E，连接DE；以点D为圆心、适当长为半径作弧，分别与
1
DE，DC交于点M，N；再分别以点M，N为圆心、大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠EDC的内部
2
交于点P，作射线DP，交BC于点F．若DF∥AB，CF＝2，DE＝4，则BE与AE的长度的比值为
．
19．（2025•银州区模拟）如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BC，BA于点M，N，分别
1
以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF；已知
2
∠A＝90°，AB＝AC，且CE⊥BF于点E．若CE＝4，则线段BD长为 ．
20．（2025•天津模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，
点B在网格线上．
第7页（共47页）（Ⅰ）线段AC的长等于 ；
（Ⅱ）以AB为直径作半圆，在∠ABC的角平分线上有一点P，BC上有一点Q，使CP+PQ的值最小．
请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求
证明） ．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•湖北模拟）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD的延长线于点M，N（不
写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上连接AN，求证：△AMN是等腰三角形．
22．（2025•湖里区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，点E为BD上一点．
（1）在边BC的下方求作一点F，使得EF∥CD且EF＝CD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AE、BF、CF．若∠ABE+∠BFC＝180°，求证：四边形ABFE是菱形．
23．（2025•分宜县模拟）追本溯源
（1）如图1，用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分
别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？
性质应用
（2）如图2，点Q在射线OP上，且在点P的右侧，OP＝2PQ，过点Q作QC⊥OA于点C，若△OCQ
第8页（共47页）的面积为27，则△OMP的面积为 ．
24．（2025•余江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC＝BC，AE是△ABC的中线，
请使用无刻度的直尺分别按下列要求画图．
（1）在图1中，过点E画出CD的平行线EF；
（2）在图2中，画出△ABC的高CH．
25．（2025•宿城区校级一模）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对
的角之间的大小关系怎样呢？
已知：如图，在△ABC中，AB＞AC
求证：∠C＞∠B．
（1）尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE．（不写作法，保留
作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：∠C＞∠B．
第9页（共47页）2026年中考数学常考考点专题之尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B B B B B B D C B B C
题号 12 13
答案 B B
一．选择题（共13小题）
1．（2025•金凤区校级模拟）如图，以点O为圆心，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使得OA＝OB，
1
然后分别以点A，B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点 P．如果点P的坐标为（3a，
2
a+4），则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；一次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】作图题；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】由作图可知点P在∠AOP的角平分线上，即点P在直线y＝x上，即得3a＝a+4，解之即可求
解，掌握直线y＝x上点的坐标特征是解题的关键．
【解答】解：由作图可知点P在直线y＝x上，
∴3a＝a+4，
解得a＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的作法，坐标与图形，一次函数的几何应用，熟练掌握以上知识点是关
键．
2．（2025•义乌市校级模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠ ＝（ ）
α
第10页（共47页）A．28° B．56° C．68° D．34°
【考点】作图—复杂作图．
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【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】如图，先利用矩形的性质和平行线的性质得到∠DAC＝68°，再利用基本作图得到AE平分
∠DAC，则∠EAC＝34°，利用基本作图得到EH垂直平分AC，则∠AHE＝90°，然后利用互余计算出
∠AEH，最后根据对顶角相等得到∠ 的度数．
【解答】解：如图， α
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°，
由作法得AE平分∠DAC，
1 1
∴∠EAC= ∠DAC= ×68°＝34°，
2 2
由作法得EH垂直平分AC，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH＝90°﹣34°＝56°，
∴∠ ＝∠AEH＝56°．
故选α：B．
第11页（共47页）【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角
等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查
了线段垂直平分线的性质．
3．（2025•西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点
M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点 P（点P与点A在直线l的两
侧）；作直线 AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：
①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；
1
⑤cos∠MPN= ．其中正确结论的个数是（ ）
2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形
的判定与性质．
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【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】由作图可知AM＝AN，MN＝PM＝PN，判断出AP垂直平分线段MN，再根据菱形，等边三角
形的判定，解直角三角形的知识一一判断即可．
【解答】解：由作图可知AM＝AN，MN＝PM＝PN，
∴PA垂直平分线段MN，故②正确，
第12页（共47页）∴PA平分MPN，故③正确，
无法判断△AMN，四边形AMPN是菱形，故①④错误．
∵PM＝PN，AP⊥MN，
∴MO＝ON，
OM 1
∴cos∠MPN= = ，故⑤正确．
PM 2
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定
与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
4．（2025•肥东县校级三模）如图，在△ABC中，∠CAB＝2∠B，利用尺规以点A为圆心，以任意长为半
1
径画弧分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在
2
∠BAC内交于点P，作射线AP交BC于点D．若AC＝AD＝8，则CD的长是（ ）
A．-4+2√5 B．-4+4√5 C．4-√5 D．4
【考点】作图—基本作图；相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．
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【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】B
【分析】由题意知，AD平分∠CAB，结合已知可证明△CAD∽△CBA，由相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：由作图知，AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD；
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，
∴BD＝AD，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
CA CD
∴ = ，
CB CA
第13页（共47页）∵CB＝CD+BD＝CD+AD＝CD+8，
8 CD
∴ = ，
CD+8 8
解得CD=-4+4√5或CD=-4-4√5（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，作角平分线，解决本题的关键是得到△CAD∽△CBA．
5．（2025•当雄县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，
1
分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，
2
作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线 B．S ：S ＝1：√3
△CBD △ABD
1
C．AD＝BD D．CD= BD
2
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
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【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；计算出∠ABD＝30°＝∠A，则可对B选项进行判断；利
1
用∠CBD= ∠ABC＝30°得到BD＝2CD，则可对D选项进行判断；由于AD＝2CD，则可根据三角形面
2
积公式对C选项进行判断．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以C选项的结论正确；
1
∵∠CBD= ∠ABC＝30°，
2
第14页（共47页）∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S ＝2S ，所以C选项的结论错误．
△ABD △CBD
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于
已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
6．（2025•武城县二模）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点
E，若BF＝16，AB＝10，则AE的长为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质．
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【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】B
【分析】首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，利用勾股定理计算出
AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连接EF，设AE与BF交于点O，如图，
由条件可知∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
第15页（共47页）∴AB＝EB，
∵由作图可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝8，OA＝OE，
由勾股定理得：OA=√AB2-OB2=√102-82=6，
∴AE＝2OA＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌
握平行四边形的性质，证明四边形ABEF为菱形是解决问题的关键．
7．（2025•望城区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．以点B为圆心，适当长为半径
1
画弧，分别交BA，BC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于
2
点P，作射线BP交AC于点D．则下列说法中不正确的是（ ）
A．BP是∠ABC的平分线 B．AD＝BD
1 S 1
C．CD= BD D． △CBD =
2 S 3
△ABD
【考点】作图—基本作图．
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【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】利用基本作图可对A选项进行判断；由于∠ABD＝∠CBD＝30°，所以∠ABD＝∠A，则根据
第16页（共47页）等腰三角形的判定方法可对B选项进行判断；根据含30度角的直角三角形三边的关系可对C选项进行
1 1 S 1
判断；由于CD== BD= AD，则根据三角形面积公式得到 △CBD = ，则可对D选项进行判断．
2 2 S 2
△ABD
【解答】解：由作法得BP平分∠ABC，所以A选项不符合题意；
∵∠C＝90°，∠A＝30°．
1 1
∴∠ABD＝∠CBD= ∠ABC= ×60°＝30°，
2 2
∵∠ABD＝∠A，
∴DA＝DB，所以B选项不符合题意；
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，
1
∴CD= BD，所以C选项不符合题意；
2
1
∴CD= AD，
2
S CD 1
∴ △CBD = = ，所以D选项符合题意．
S AD 2
△ABD
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了含30度角
的直角三角形三边的关系．
8．（2025•门头沟区二模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程：
已知：如图1，直线BC及直线BC外一点P．
求作：直线PE，使得PE∥BC．
作法：如图2，①在直线BC上取一点A，连接PA．
②作∠PAC的平分线AD．
③以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AD于点E．
④作直线PE．
∴直线PE就是所求作的直线．
第17页（共47页）上述的方法是通过判定∠PEA＝∠EAC得到PE∥BC的，其中判定PE∥BC的依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，同位角相等
C．内错角相等，两直线平行
D．两直线平行，内错角相等
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定与性质．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；应用意识．
【答案】C
【分析】结合平行线的判定可得答案．
【解答】解：∵AD为∠PAC的平分线，
∴∠PAE＝∠CAE．
∵由作图过程可得，PE＝PA，
∴∠PEA＝∠PAE，
∴∠PEA＝∠CAE，
∴PE∥BC，
∴判定PE∥BC的依据是内错角相等，两直线平行．
故选：C．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
9．（2025•二道区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC．按下列要求作图：
①以点B为圆心，小于线段AC的长为半径画弧，交线段BC于点N，交AB于点M；
②以点A为圆心，线段BN长为半径画弧，交AC于点Q；
③以点Q为圆心，MN长为半径画弧，交②中的弧于点P，作射线AP交线段BC于点D．则∠BAC和
∠ADC的关系是（ ）
A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC＝∠ADC C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定
【考点】作图—复杂作图．
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【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】B
第18页（共47页）【分析】利用三角形的外角的性质判断即可．
【解答】解：由作图可知∠B＝∠DAC，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠BAC＝∠BAD+∠DAC，
∴∠BAC＝∠ADC．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2025•邯郸模拟）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点
E．若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；平行四边形的性质．
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【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据作图过程证明△FAO≌△BAO，可得∠AOF＝∠AOB＝90°，FO＝BO＝4，根据勾股定理得
AO＝3，再根据平行四边形的性质得AD∥BC，从而∠DAG＝∠AEB，再根据等腰三角形的性质即可求
得AO＝EO＝3，进而得AE的长．
【解答】解：如图，
∵∠BAD的平分线AG交BC于点E，
∴∠FAE＝∠BAE，
由作图可知：AF＝AB，AO＝AO，
在△FAO和△BAO中，
第19页（共47页）{
AO=AO
∠FAO=∠BAO，
AF=AB
∴△FAO≌△BAO（SAS），
∴∠AOF＝∠AOB＝90°，FO＝BO＝4，
∵AB＝5，
∴AO＝3，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠AEB，∠FAE＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AO＝EO＝3，
∴AE＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、角平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握
角平分线的性质．
11．（2025•古塔区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，
1
分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，
2
作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC＝16，AB＝20，当DE长度最小时，△BDE的面积是
（ ）
16 32
A．6 B． C． D．24
3 3
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
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【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】如图，过点D作DH⊥AB于点H．想办法求出DH，BH可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于点H．
第20页（共47页）∵∠C＝90°，AC＝16，AB＝20，
∴BC=√AB2-AC2=√202-162=12，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
设DC＝DH＝x，
1 1 1
∵S = •AC•BC= •AC•DC+ •AB•DH，
△ABC 2 2 2
1 1 1
∴ ×16×12= ×16×x+ ×20×x，
2 2 2
16
∴x= ，
3
16
∴CD＝DH= ，
3
16 20
∴BD＝12- = ，
3 3
√ 20 16
∴BH= ( ) 2-( ) 2=4，
3 3
1 16 32
根据垂线段最短可知当点E与点H重合时，DE的值最小，此时△DEB的面积= × ×4= ．
2 3 3
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．
12．（2025•汇川区四模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，以A为圆心，适当长为半径画
1
弧，分别交AB，AD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点
2
G，连接AG并延长交CD于点M，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交CD于点N．则MN的长为（
）
第21页（共47页）1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平
行四边形的性质．
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【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】证明AD＝DM＝3，求出CN，CN可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，CD∥AB，
∴∠AMD＝∠MAB，
∵AM平分∠DAB，
∴∠DAM＝∠MAB＝∠DMA，
∴AD＝DM＝3，
∴CM＝CD＝DM＝5﹣3＝2，
∵CN＝CB＝3，
∴MN＝CN﹣CM＝3﹣2＝1．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，
解题的关键是掌握相关知识解决问题．
13．（2025•阜阳三模）如图，直线m∥n，把一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点
1
A在m上，点B在n上，AC与n相交于点D，以A，B为圆心，大于 AB为半径画弧，两弧相交于点
2
P，Q，作直线PQ交直线m于点E，连接BE．若∠1＝ ，则∠CBD＝（ ）
α
第22页（共47页）1 1
A．90°﹣ B．45°- α C．2 ﹣135° D． α-30°
2 2
α α
【考点】作图—基本作图；平行线的性质；线段垂直平分线的性质．
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【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，结合角平分线的定义进行求解即可．
【解答】解：由题意知，PQ是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
1 1
∴∠EAB=∠EBA= ∠1= α，
2 2
1
由条件可知∠EAB=∠ABD= α，
2
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
1
∴∠CBD＝45°- α，
2
故选：B．
【点评】本题主要考查尺规作图、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
3
14．（2025•平房区三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan∠BAC= ，以点B为圆心，任意长为半
4
1
径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径，在MN下方
2
1
画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为 ．
2
【考点】作图—基本作图；解直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
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【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
1
【答案】 ．
2
第23页（共47页）【分析】由作图知，BP是∠ABC的角平分线，得到∠CBP＝∠PBA，求得tan∠PBA＝tan∠CBP，设BC
＝3x，AC＝4x，根据勾股定理得到AB=√BC2+AC2=5x，设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E，
3
得到CD＝DE，根据三角形面积公式得到CD= x，根据三角函数的定义即可得到结论．
2
【解答】解：由作图知，BP是∠ABC的角平分线，
∴∠CBP＝∠PBA，
∴tan∠PBA＝tan∠CBP，
3
∵∠C＝90°，tan∠BAC= ，
4
BC 3
∴ = ，
AC 4
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴AB=√BC2+AC2=5x，
设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E，
∴CD＝DE，
1 1 1
∴S = AC•BC= BC•CD+ AB•DE，
△ABC 2 2 2
∴3x•4x＝（3x+5x）•CD，
3
∴CD= x，
2
3
x
∴tan∠PBA＝tan∠CBP CD 2 1，
= = =
BC 3x 2
1
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，解直角三角形，
熟练掌握各知识点是解题的关键．
第24页（共47页）15．（2025•南岗区校级三模）已知：如图，菱形 ABCD的边长为12，∠BAD＝120°，点E为AB的中点，
连接CE，以点E为圆心任意长为半径画弧，交EC、EA于点G、H，分别以G、H为圆心大于线段GH
一半长为半径画弧，两弧交于点P，射线EP交CD于点F，则EF的长为 6√6 ．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
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【专题】作图题；几何直观．
【答案】6√6．
【分析】如图，连接AC．证明△ECF是等腰直角三角形，求出EC可得结论．
【解答】解：如图，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
1
∴AB＝BC＝CD＝AD＝12，∠BAC＝∠DAC= ∠BAD＝60°，
2
∴△ABC是等边三角形，
∵AE＝EB，
∴CE⊥AB，
∴EC=√3BE＝6√3，
∵EF平分∠AEC，
∴∠CEF＝45°，
∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴EF=√2EC＝6√6．
故答案为：6√6．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定
和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
第25页（共47页）16．（2025•大东区校级二模）如图，已知∠ABC＝60°，以点B为圆心，2cm长为半径画弧，交BA于点
D；以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；以点D为圆心，BE长为半径画弧，
交DA于点G；以点G为圆心，EF长为半径画弧，交前面的弧于点H；过点H画射线DH；分别以
1
E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点M；画射线BM，交DH于点
2
4√3
N；以点N为圆心，BN长为半径画弧，交BC于点P，则^BP的长为 π cm．
3
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；弧长的计算．
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【专题】尺规作图；几何直观．
4√3
【答案】 π．
3
【分析】过点N作NQ⊥AB于点Q，连接PN，由作图过程可知，DB＝2cm，∠ADN＝∠ABC＝60°，
1
BN为∠ABC的平分线，可得DN∥BC，∠ABN＝∠CBN= ∠ABC=30°，进而可得DB＝DN＝2cm．
2
√3
在Rt△DNQ中，可得 NQ＝DN•sin60°=2× =√3（cm），在 Rt△DNQ中，可得 BN＝2NQ=2√3
2
cm．根据BN＝NP，可得∠NBP＝∠NPB＝30°，则∠BNP＝120°，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：过点N作NQ⊥AB于点Q，连接PN，
由作图过程可知，DB＝2cm，∠ADN＝∠ABC＝60°，BN为∠ABC的平分线，
1
∴DN∥BC，∠ABN＝∠CBN= ∠ABC=30°，
2
第26页（共47页）∴∠DNB＝∠CBN，
∴∠ABN＝∠DNB，
∴DB＝DN＝2cm．
在Rt△DNQ中，∠QDN＝60°，DN＝2cm，
√3
∴NQ＝DN•sin60°=2× =√3（cm），
2
在Rt△DNQ中，∠QBN＝30°，NQ=√3cm，
∴BN＝2NQ=2√3cm．
∵BN＝NP，
∴∠NBP＝∠NPB＝30°，
∴∠BNP＝120°，
120π×2√3 4√3
∴^BP的长为 = π（cm）．
180 3
4√3
故答案为： π．
3
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、弧长的计算，解题的关键是理解题意，灵活运
用所学知识解决问题．
17．（2025•太平区二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，按如下步骤作图：
1
①分别以点A，C为圆心，以大于 AC的长为半径在 AC两边作弧，交于两点 M，N；②作直线
2
MN，分别交AB，AC于点D，O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．则四边形ADCE的
周长为 1 0 ．
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．
【答案】10．
【分析】由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，可得OA＝OC，AD＝CD，AE＝CE，
∠AOD＝90°．结合勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，可得OD∥BC，则点D为AB的中点，可得
第27页（共47页）1 5 5
AD= AB= ．证明△AOD≌△COE，可得AD＝CE，则AD＝CD＝AE＝CE= ，进而可得答案．
2 2 2
【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AD＝CD，AE＝CE，∠AOD＝90°．
∵AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AOD＝∠ACB，
∴OD∥BC，
∴点D为AB的中点，
1 5
∴AD= AB= ．
2 2
∵CE∥AB，
∴∠DAO＝∠ECO，∠ADO＝∠CEO，
∵OA＝OC，
∴△AOD≌△COE（AAS），
∴AD＝CE，
5
∴AD＝CD＝AE＝CE= ，
2
5
∴四边形ADCE的周长为4× =10．
2
故答案为：10．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定、线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理，解
题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2025•新宾县校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠DCB，以点D为圆
心、CD的长为半径作弧，与AB交于点E，连接DE；以点D为圆心、适当长为半径作弧，分别与
1
DE，DC交于点M，N；再分别以点M，N为圆心、大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠EDC的内部
2
1
交于点P，作射线DP，交BC于点F．若DF∥AB，CF＝2，DE＝4，则BE与AE的长度的比值为
3
．
第28页（共47页）【考点】作图—基本作图；平行线的性质；角平分线的性质．
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【专题】作图题；几何直观；推理能力．
1
【答案】 ．
3
【分析】连接CE交DF于G点，如图，设GF＝x，利用基本作图得到DE＝DC＝4，DF平分∠EDC，
则根据等腰三角形的性质得到EG＝CG，CE⊥DF，再证明△CGF∽△CEB，根据相似三角形的性质得到
BE＝2x，接着证明四边形ABFD为平行四边形和等线段代换得到DF＝AB＝CD＝DE＝4，所以DG＝4
﹣a，然后双勾股得到42﹣（4﹣a）2＝22﹣a2，解方程求出a，则可得到BE和AE的长，从而得到它们
的比值．
【解答】解：连接CE交DF于G点，如图，设GF＝x，
由作法得DE＝DC＝4，DF平分∠EDC，
∴DF垂直平分CE，
∴EG＝CG，CE⊥DF，
∵GF∥BE，
∴△CGF∽△CEB，
GF CG 1
∴ = = ，
BE CE 2
∴BE＝2x，
∵AB∥DF，AD∥BC，
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴DF＝AB＝CD＝DE＝4，
∴DG＝DF﹣GF＝4﹣a，
在Rt△CDG中，CG2＝CD2﹣DG2＝42﹣（4﹣a）2，
在Rt△CFG中，CG2＝CF2﹣FG2＝22﹣a2，
∴42﹣（4﹣a）2＝22﹣a2，
1
解得a= ，
2
第29页（共47页）∴BE＝2a＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
BE 1
∴ = ．
AE 3
1
故答案为： ．
3
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握5种基本作图和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
也考查了勾股定理．
19．（2025•银州区模拟）如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BC，BA于点M，N，分别
1
以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF；已知
2
∠A＝90°，AB＝AC，且CE⊥BF于点E．若CE＝4，则线段BD长为 8 ．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；
垂径定理．
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【专题】作图题；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】8．
【分析】延长 CE 交 BA 的延长线于点 G，由作图可知，BF 为∠ABC 的角平分线，据此可证
△BEC≌△BEG（ASA），得到CE＝GE＝4，即得CG＝8，再证明△ABD≌△ACG（ASA），得到BD＝
CG＝8，即可求解．
【解答】解：延长CE交BA的延长线于点G，
第30页（共47页）∵以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BC，BA于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于
1
MN的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部相交于点F，画射线BF，
2
∴BF为∠ABC的角平分线，
∴∠CBE＝∠GBE，
∵CE⊥BF，
∴∠BEC＝∠BEG＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEG（ASA），
∴CE＝GE＝4，
∴CG＝4+4＝8，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAG＝90°，
∵∠ABD+∠G＝90°，∠ACG+∠G＝90°，
∴∠ABD＝∠ACG，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴BD＝CG＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线
是解题的关键．
20．（2025•天津模拟）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，
点B在网格线上．
（Ⅰ）线段AC的长等于 √13 ；
（Ⅱ）以AB为直径作半圆，在∠ABC的角平分线上有一点P，BC上有一点Q，使CP+PQ的值最小．
第31页（共47页）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求
证明） 取 AC 与格线的交点 D ， AB 与格线交点 O ，连接 OD 并延长交半圆于点 E ，连接 BE ，取 AC
与半圆的交点 F ， BC 与半圆的交点 G ，连接 BF 和 AG 相交于点 H ，连接 CH 并延长与 BE 相交于点
P ，点 P 即为所求 ．
【考点】作图—复杂作图；轴对称﹣最短路线问题；垂线段最短；勾股定理；圆周角定理．
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【专题】作图题；几何直观．
【答案】（Ⅰ）√13；
（Ⅱ）见解析，取AC与格线的交点D，AB与格线交点O，连接OD并延长交半圆于点E，连接BE，
取AC与半圆的交点F，BC与半圆的交点G，连接BF和AG相交于点H，连接CH并延长与BE相交于
点P，点P即为所求．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解；
（Ⅱ）取AC与格线的交点D，AB与格线交点O，连接OD并延长交半圆于点E，连接BE，取AC与
半圆的交点F，BC与半圆的交点G，连接BF和AG相交于点H，连接CH并延长与BE相交于点P，
点P即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AC=√22+32=√13；
故答案为：√13
（Ⅱ）如图，点P即为所求．取AC与格线的交点D，AB与格线交点O，连接OD并延长交半圆于点
E，连接BE，取AC与半圆的交点F，BC与半圆的交点G，连接BF和AG相交于点H，连接CH并延
长与BE相交于点P，点P即为所求．
故答案为：
第32页（共47页）【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，圆周角定理，轴对称最短问题，垂线段最短等知识，
解题的关键是学会利用轴对称，垂线段最短解决最值问题．
三．解答题（共5小题）
21．（2025•湖北模拟）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD的延长线于点M，N（不
写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的基础上连接AN，求证：△AMN是等腰三角形．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；
矩形的性质．
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【专题】作图题；证明题；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）如图，对角线AC的垂直平分线MN即为所求；
（2）如图，设AC与MN交于点O，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AN＝CN，AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AMO＝∠CNO，
第33页（共47页）在△AOM和△CON中，
{∠AMO=∠CNO
∠AOM=∠CON，
AO=CO
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AN＝CN
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形．
【分析】（1）直接根据题意作图即可；
（2）设AC与MN交于点O，由MN是AC的垂直平分线得到AN＝CN，AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝
90°，由四边形 ABCD 是矩形证明∠AMO＝∠CNO，进而证明△AOM≌△CON（AAS），进而可证
△AMN是等腰三角形．
【解答】（1）解：如图，对角线AC的垂直平分线，分别交AB，CD的延长线于点M，N，MN即为所
求；
（2）证明：如图，设AC与MN交于点O，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AN＝CN，AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AMO＝∠CNO，
在△AOM和△CON中，
第34页（共47页）{∠AMO=∠CNO
∠AOM=∠CON，
AO=CO
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AN＝CN
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形．
【点评】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三
角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．
22．（2025•湖里区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，点E为BD上一点．
（1）在边BC的下方求作一点F，使得EF∥CD且EF＝CD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接AE、BF、CF．若∠ABE+∠BFC＝180°，求证：四边形ABFE是菱形．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．
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【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】（1）在DB的下方作∠BEF＝∠BDC，且EF＝CD，连接CF即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∵EF＝CD，EF∥CD，
第35页（共47页）∴AB＝EF，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE＝BE＝F，AE∥BF，
∴∠EAD＝∠FBC，
∴△EAD≌△FBC（SAS），
∴∠AED＝∠BFC，
∵∠ABE+∠BFC＝180°，
∴∠ABE+∠AED＝180°，
∵∠AEB+∠AED＝180°，∠AEB+∠AED＝180°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴四边形ABFE是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解
题的关键是掌握相关知识解决问题．
23．（2025•分宜县模拟）追本溯源
（1）如图1，用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分
别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？
性质应用
（2）如图2，点Q在射线OP上，且在点P的右侧，OP＝2PQ，过点Q作QC⊥OA于点C，若△OCQ
的面积为27，则△OMP的面积为 1 2 ．
【考点】作图—应用与设计作图；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的
性质．
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【专题】图形的全等；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）12．
【分析】（1）利用HL证明Rt△OMP≌Rt△ONP，再利用全等的性质即可证明；
第36页（共47页）（2）证明出△MOP∽△OCQ，利用面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】1）证明：由题意知：∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴△OMP，△ONP都为直角三角形，
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
{OM=ON
，
OP=OP
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP平分∠AOB；
（2）解：∵QC⊥OA于点C，
∴QC∥PM，
∴∠MOP＝∠OCQ，∠MOP＝∠COQ，
∴△MOP∽△OCQ，
OP OP 2PQ 2
∴ = = = ，
OQ OP+PQ 3PQ 3
S 2 2 S 2 2
∵ △OMP=( ) ，即 △OMP=( ) ，
S 3 27 3
△OCQ
解得：S ＝12，
△OMP
故答案为：12．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相
似的判定及性质，解题的关键是掌握相应的判定定理．
24．（2025•余江区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC＝BC，AE是△ABC的中线，
请使用无刻度的直尺分别按下列要求画图．
（1）在图1中，过点E画出CD的平行线EF；
（2）在图2中，画出△ABC的高CH．
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
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【专题】作图题；几何直观．
【答案】见试题解答内容
第37页（共47页）【分析】（1）根据平行四边形的性质在图1中，过点E画出CD的平行线EF即可；
（2）根据平行四边形的性质在图2中，画出△ABC的高CH即可．
【解答】解：（1）图1中EF即为所求；
（2）图1中CH即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质．
25．（2025•宿城区校级一模）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对
的角之间的大小关系怎样呢？
已知：如图，在△ABC中，AB＞AC
求证：∠C＞∠B．
（1）尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE．（不写作法，保留
作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：∠C＞∠B．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质．
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【专题】推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据作角平分线的步骤作图即可；
（2）利用SAS判定出△EAD≌△CAD，再根据性质求解即可．
【解答】（1）解：如图，AD，DE即为所求．
第38页（共47页）（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD．
在△EAD和△CAD中，
{
AE=AC
∠EAD=∠CAD，
AD=AD
∴△EAD≌△CAD（SAS）．
∴∠C＝∠AED．
∵∠AED＞∠B，
∴∠C＞∠B．
【点评】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定及性质，解题的关键是理解等边所对的角相等．
第39页（共47页）考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到
y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当
的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问
题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．一次函数图象上点的坐标特征
b
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（- ，0）；与
k
y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
3．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与
直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两
个中去选择．
4．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，
两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，
两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内
角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
第40页（共47页）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数
量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
7．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
8．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，
有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，
∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
9．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
第41页（共47页）的距离相等．
10．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中
线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
11．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的
重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中
线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起
解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的
思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
12．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的
性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角的
直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
13．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
第42页（共47页）三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
14．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c2-b2，b=√c2-a2及c=√a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
15．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方
的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件
来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方
和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
16．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的
所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜
边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂
直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=√2+1，所以r：R＝1：√2+1．
17．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
第43页（共47页）②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
18．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
1
②菱形面积= ab．（a、b是两条对角线的长度）
2
19．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
20．菱形的判定与性质
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边
形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形
的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但
它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平
第44页（共47页）行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．
21．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
22．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
23．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
24．弧长的计算
第45页（共47页）（1）圆周长公式：C＝2 R
nπRπ
（2）弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
180
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π ，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等
弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
25．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
26．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图
逐步操作．
27．作图—应用与设计作图
应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．
首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
28．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来
确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况
第46页（共47页）要作点关于某直线的对称点．
29．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行
线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形
相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件
方可．
30．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
∠A的对边 a ∠A的邻边 b ∠A的对边 a
sinA= = ，cosA= = ，tanA= = ．
斜边 c 斜边 c ∠A的邻边 b
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/11 9:42:49；用户：组卷1；邮箱：zyb001@xyh.com；学号：41418964
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