文档内容
2024 年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷数学
温馨提示：
1．本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题
卡上的“注意事项”．
3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡
的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）
1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫
做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可
重合．
2. 央视新闻 年 月 日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超 度，为我
国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据 用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
1【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法： （ ， 为正整数），先确定 的值，
再根据小数点移动的数位确定 的值即可解答，根据科学记数法确定 和 的值是解题的关键．
【详解】解： ，
故选： ．
3. 将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得 ，根据 即可
求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得：
∴
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项，幂的乘方．根据同底数幂的除法法则，
2完全平方公式，合并同类项，幂的乘方的运算法则，可得答案．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项符合题意．
故选：D．
5. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（ ）
A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50
B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查
C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性
D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差 ， ，则发挥稳定的是甲
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查、判断事件发生的可能性、根据方差判断稳定性，根据全面调查
与抽样调查的定义、方差的意义逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，
说法正确，本选项不符合题意；
B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意；
C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题
意；
D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差 ， ，则发挥稳定的是乙，故原说
法错误，符合题意；
故选：D．
6. 解不等式组 时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在
数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
所以，不等式组的解集为： ，
在数轴上表示为：
故选：C．
7. 如图，是正 边形纸片的一部分，其中 是正 边形两条边的一部分，若 所在的直线相交形
成的锐角为 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和 除以外角度数即可求解，
掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，直线 相交于点 ，则 ，
∵正多边形的每个内角相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
4∴ ，
∴ ，
故选： ．
8. 某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样
调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（ ）
视
4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上
力
人
39 41 33 40 47
数
A. 120 B. 200 C. 6960 D. 9600
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是统计表，用样本估计总体，求出不低于4.8的人数所占的百分比是解决此题的关键．
求出不低于4.8的人数所占的百分比再乘16000即可求出结论．
【详解】解： ，
∴视力不低于4.8的人数是9600，
故选：D．
9. 等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得 ，
5，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，进而即可求出三角形的周长，
掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：由方程 得， ， ，
∵ ，
∴等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，
∴这个三角形的周长为 ，
故选： ．
10. 如图， 是 的直径， 是 的弦，半径 ，连接 ，交 于点 E，
，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得
，利用圆周角定理求得 ，再利用三角形的外角性质即可求
解．
【详解】解：∵半径 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
6∴ ，
∴ ，
故选：B．
11. 用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型
钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型
钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意设用A型钢板x块，用B型钢板y块，再利用
现需要58块C型钢板、40块D型钢板分别得出方程组即可．
【详解】解：设用A型钢板x块，用B型钢板y块，
由题意得： ，
故选：C．
12. 如图， 中， ， ．将 绕点A顺时针旋转得到 ，点 与
点B是对应点，点 与点C是对应点．若点 恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过
的路径长是 ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④
【答案】A
【解析】
7【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角
形内角和定理．根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
由旋转的性质得 ， ， ，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转的性质得 ，
∴ ，
①点B在旋转过程中经过的路径长是 ；①说法正确；
②∵ ，∴ ；②说法正确；
③∵ ，
∴ ，
∴ ；③说法正确；
④∵ ， ，
∴ ，
∴ ．④说法正确；
8综上，①②③④都是正确的，
故选：A．
13. 如图，数轴上点A，M，B分别表示数 ，若 ，则下列运算结果一定是正数的是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到 ， 且 是
解题的关键．
数轴上点A，M，B分别表示数 ，则 、 ，由
可得原点在A、M之间，由它们的位置可得 ， ， 且 ，再根据整式的
加减乘法运算的计算法则逐项判断即可．
【详解】解：数轴上点A，M，B分别表示数 ,
∴ 、 ，
∵ ，
∴原点在A，M之间，由它们的位置可得 ， 且 ，
∴ ， ， ，
故运算结果一定是正数的是 ．
故选：A．
14. 如图，正方形 的顶点 ， 在抛物线 上，点 在 轴上．若 两点的横坐标
分别为 （ ），下列结论正确的是（ ）
9A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟
练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接 、 交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点
作 于点 ，先证明 ．可得 ， ．点 、 的横坐
标分别为 、 ，可得 ， ． ， ， ，设
， 则 ， ， ， ， ，
．再由 ， 进而可以求解判断即可．
【详解】解：如图，连接 、 交于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 于点
，
10四边形 是正方形，
、 互相平分， ， ，
， ，
．
， ，
．
， ．
点 、 的横坐标分别为 、 ，
， ．
， ， ，
设 ，则 ， ，
， ， ， ．
又 ， ，
， ．
．
．
．
点 、 在 轴的同侧，且点 在点 的右侧，
．
．
故选：B．
二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）
1115. 请写出一个比 小的整数_____________
【答案】1（或2）
【解析】
【详解】试题分析：先估算出 在哪两个整数之间，即可得到结果．
，
满足条件的数为小于或等于2的整数均可.
考点：本题考查的是无理数的估算
点评：解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法．
16. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式 ，再利用平方差公式分解因式．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了综合利用提公因式法和公式法分解因式，正确掌握因式分解 的方法：提公因式法和公
式法（平方差公式和完全平方公式）是解题的关键．
17. 综合实践课上，航模小组用无人机测量古树 的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面
上，且 米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为 ，古树底部A的俯角
为 ，则古树 AB 的高度约为________米（结果精确到 0.1 米；参考数据： ，
， ）．
12【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作 ，由题意知： 米，
， ，推出 是等腰直角三角形，在 中，利用正切函数求出
的值，根据 计算求解可得 的值．
【详解】解：如图，过点D作 ，交 的延长线于点M，
∴四边形 是矩形，
∴ 米，
∵ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 米，
在 中， （米），
∴ （米），
13∴古树 的高度约为 米．
故答案为： ．
18. 编号为A，B，C，D，E 的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如
下表：
收割机编号 A，B B，C C，D D，E A，E
所需时间（小时） 23 19 20 22 18
则收割最快的一台收割机编号是________．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查推理能力．利用同时启动其中的两台收割机，收割面积相同的田地所需时间分析对比，
能求出结果．
【详解】解：同时启动A，B两台收割机，所需的时间为23小时，
同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时，
得到C比A快；
同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时，
的
同时启动C，D两台收割机，所需 时间为20小时，
得到B比D快；
同时启动A、B两台收割机，所需的时间为23小时，
同时启动A，E两台收割机，所需的时间为18小时，
得到E比B快；
同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时，
同时启动D，E两台收割机，所需的时间为22小时，
得到C比E快．
综上，收割最快的一台收割机编号是C．
故答案为：C．
三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过
程或演算步骤．共8题，满分96分）
.
19 （ ）计算： ；
14（ ）已知 ，求代数式 的值．
【答案】（ ） ；（ ） ．
【解析】
【分析】（ ）利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别运算，再合并即可
求解；
（ ）由 得 ，化简代数式可得 ，代入计
算即可求解；
本题考查了实数的混合运算，代数式化简求值，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（ ）原式
，
；
（ ）∵ ，
∴ ，
∴
，
，
，
，
．
20. 如图，在 中，D是 中点．
15（1）求作： 的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若l交 于点E，连接 并延长至点F，使 ，连接 ．补全图形，并证明四边
形 是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．
（1）利用尺规作图作出线段 的垂直平分线l即可；
（2）由 D，E 分别为 ， 的中点，根据中位线的性质，得到 ， ，结合
，得到 ，即可证明结论成立．
【小问1详解】
解：直线l如图所示，
；
【小问2详解】
证明：补全图形，如图，
16由（1）作图知，E为 的中点，
∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四边形 是平行四边形．
21. 某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的
成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：
收 集 数 7 7 7 8
77 76 84 91 78 79
据 8 2 5 5
7 7 9 7
82 76 91 76 75 85
8 9 1 4
9 7 7 8
75 80 75 87 76 77
1 7 5 5
整理、描述数据
7 8
成绩/分 72 74 75 76 78 79 80 82 84 87 91
7 5
人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4
分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：
平均数 众数 中位数
1780 c 78
解决问题
（1）表格中的 ______； ______； ______；
（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩
目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；
（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状
图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．
【答案】（1）5；2；75
（2）78；80 （3）A，B两名队员恰好同时被选中的概率为 ．
【解析】
【分析】本题主要考查画树状图或列表法求随机事件的概率，统计表，众数和中位数的意义．
（1）根据统计表直接写出a和b的值，根据众数的意义可求解c的值；
（2）根据中位数和平均数的意义即可求解；
（3）画树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式即可求解．
【小问1详解】
解：根据收集的数据知 ； ；
出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则 ；
故答案为：5；2；75；
【小问2详解】
解：∵由统计图可知中位数为78分，
∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，
如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，
可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．
故答案为：78；80；
【小问3详解】
解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，
18共有 种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有 种，
∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为 ，
答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为 ．
22. 一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每
天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时
间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15
天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【答案】（1）甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
（2）15天的工期，两队最多能修复公路 千米．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．
（1）设甲队平均每天修复公路 千米，则乙队平均每天修复公路 千米，根据“甲队单独修复60千
米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可；
（2）设甲队的工作时间为 天，则乙队的工作时间为 天，15天的工期，两队能修复公路 千米，
求得 关于 的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得 的范围，利用
一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：设甲队平均每天修复公路 千米，则乙队平均每天修复公路 千米，
由题意得 ，
19解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；
【
小问2详解】
解：设甲队的工作时间为 天，则乙队的工作时间为 天，15天的工期，两队能修复公路 千米，
由题意得 ，
，
解得 ，
∵ ，
∴ 随 的增加而减少，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，
答：15天的工期，两队最多能修复公路 千米．
23. 在平面直角坐标系中，对于点 ，给出如下定义：当点 ，满足 时，
称点 是点 的等和点．
（1）已知点 ，在 ， ， 中，是点 等和点的有_____；
（2）若点 的等和点 在直线 上，求 的值；
（3）已知，双曲线 和直线 ，满足 的 取值范围是 或 ．若点
在双曲线 上，点 的等和点 在直线 上，求点 的坐标．
【答案】（1） 和 ；
20（2） ；
（3） 或 ．
【解析】
【分析】（ ）根据等和点的定义判断即可求解；
（ ）设点 的横坐标为 ，根据等和点的定义得点 的纵坐标为 ，即可得点 的
坐标为 ，把点 的坐标代入 即可求解；
（ ）由题意可得， ，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点 ，如图，
由 时 的取值范围是 或 ，可得点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，即得
，得到反比例函数解析式为 ，设 ，点 的横坐标为 ，根据等和点的定义得
，代入 得 ，解方程得 ， ，据此即可求解；
本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和
点的定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：由 ， 得， ，
∴点 是点 的等和点；
由 ， 得， ， ，
∵ ，
∴ 不是点 的等和点；
由 ， 得， ，
21∴ 是点 的等和点；
故答案为： 和 ；
【小问2详解】
解：设点 的横坐标为 ，
∵点 是点 的等和点，
∴点 的纵坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：由题意可得， ，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点 ，如图，由
时 的取值范围是 或 ，可得点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
把 代入 得， ，
∴ ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
设 ，点 的横坐标为 ，
22∵点 是点 的等和点，
∴点 的纵坐标为 ，
∴ ，
∵点 在直线 上，
∴ ，
整理得， ，
去分母得， ，
解得 ， ，
经检验， 是原方程的解，
∴点 的坐标为 或 ．
2324. 如图， 中， ， ， 经过B，C两点，与斜边 交于点E，连接 并
延长交 于点M，交 于点D，过点E作 ，交 于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，延长 ，交 于点 ，连接 根据直径所对的圆周角是直角求出
24，得 ， ，由 可得 ，从而可证
明 是 的切线；
（2）由 得 ，即 ，证明 ，得 ，
由 得 ，故可得 ，由勾股定理求出 ，得 ，由勾
股 定 理 求 出 ， ， 根 据 求 出 ， 进 一 步 求 出
【小问1详解】
证明：连接 ，延长 ，交 于点 ，连接 如图，
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵ 是 的直径，
∴
∴
25∴
∴
∵
∴ 即
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在等腰直角三角形 中， ,
26∴ ，
解得， ，
∴ ，
∴
在 中，
∴ ，
又 ，
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定
理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键．
25. 如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是
该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所
在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把
水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设
计了以下三个问题，请你解决．
27（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为 米，点C到点B的水平距离为
3米，则水滑道 所在抛物线的解析式为______；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离 米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离
不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线 恰好与抛物线 关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线 的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道
距地面4米的点M处竖直支撑的钢架 ，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架 ．现在需要在
水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与 平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固
定在钢架 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】（1）
（2）①此人腾空后的最大高度是 米，解析式为 ；②此人腾空飞出后的落点D在
安全范围内，理由见解析
（3）这条钢架的长度为 米
28【解析】
【分析】（1）根据题意得到水滑道 所在抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，设水滑道
所在抛物线的解析式为 ，将 代入，计算求出a的值即可；
（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为 ，由抛物线的顶点为
，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线 的解析式为：
令 ，求出 的值，即点 的坐标，即可得出结论；
（3）根据题意可得 点的纵坐标为4，令 中 ，求出符合实际的x值，得到点M
的坐标，求出 所在直线的解析式为 ，设这条钢架为 ，与 交于点G，与地面交于
H，根据这条钢架与 平行，设该钢架所在直线的解析式为 ，由该钢架与水滑道有唯一公
共点，联立 ，根据方程组有唯一解，求出 ，即该钢架所在直线的解析式为
，点H与点O重合，根据 ， ， ，利用勾股定理即可
求解．
29【小问1详解】
解：根据题意得到水滑道 所在抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，
设水滑道 所在抛物线的解析式为 ，
将 代入，得： ，即 ，
，
水滑道 所在抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：① 人腾空后的路径形成的抛物线 恰好与抛物线 关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为 ，
人腾空后的路径形成的抛物线 的顶点坐标与抛物线 的顶点坐标 关于点 成中
心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线 的顶点坐标为 ，即 ，
∴此人腾空后的最大高度是 米，人腾空后的路径形成的抛物线 的解析式为： ；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线 的解析式为： ，
令 ，则 ，即
30或 （舍去，不符合题意），
点 ，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
【小问3详解】
解：根据题意可得 点的纵坐标为4，
令 ，即 ，
（舍去，不符合题意）或 ，
，
设 所在直线的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，
所在直线的解析式为 ，
如图，设这条钢架为 ，与 交于点G，与地面交于H，
这条钢架与 平行，
31设该钢架 所在直线的解析式为 ，
联立 ，即 ，
整理得： ，
该钢架 与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为 ，
点H与点O重合，
， ， ，
，
这条钢架的长度为 米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函
数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
26. 数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图 1，在 中，
，点D是 上的一个动点，过点D作 于点E，延长 交 延长线于点F．
32请你解决下面各组提出的问题：
（1）求证： ；
（2）探究 与 的关系；
某小组探究发现，当 时， ；当 时， ．
请你继续探究：
①当 时，直接写出 的值；
②当 时，猜想 的值（用含m，n的式子表示），并证明；
（3）拓展应用：在图1中，过点F作 ，垂足为点P，连接 ，得到图2，当点D运动到使
时，若 ，直接写出 的值（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）① ② ，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）等边对等角，得到 ，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到 ，
即可得出结论；
（2）①根据给定的信息，得到 是 的2倍，即可得出结果；
②猜想 ，作 于点 ，证明 ，得到 ，三线合一得到
，即可得出结论；
33（3）过点 作 ，角平分线的性质，得到 ，推出 ，等角的余角相等，得
到 ，进而得到 ，得到 ，根据 ，即可
得出结果．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①当 时， ；当 时， ，
∴总结规律得： 是 的2倍，
∴当 时， ；
②当 时，猜想 ，
证明：作 于点 ，
34∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知 ，又 ，
∴ ，即 ，
∴ ；
【小问3详解】
，理由如下：
过点 作 ，
∵ ， ，
35∴ ，
由（2）知，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形
36等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键．
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