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江苏省 2023—2024 学年高三上学期期末迎考卷
数 学
注意事项:
1. 本试卷共150分,考试用时120分钟.
2. 答题前,考生务必将班级、姓名、学号填写在密封线内.
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1. 已知集合A={20,24},B={20,23},则A∪B中合数的个数为 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2π √3
2. 已知复数z=cos - i(i为虚数单位),则复数z3= ( )
3 2
A. 1 B. -1 C. i D. -i
3. 已知函数f(x)=cos(x+φ)( π π),则“y=f(x)为奇函数”是“φ=π”的 ( )
- ≤φ≤
2 2 2
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 平面上的三个力F ,F ,F 作用于同一点,且处于平衡状态.已知F =(1,0),|F |=2,<F ,F >=120°,则|F |=
1 2 3 1 2 1 2 3
( )
1
A. B. 1 C. √3 D. 2
2
5. 已知(
x3+
a) 6(a>0)的展开式中仅有第5项的系数最大,则实数a的取值范围是 ( )
x
A. (4 5) B. (4 5) C. [4 5] D. (2 5)
, , , ,
3 2 3 3 3 3 3 3
(第6题)
学科网（北京）股份有限公司6. 如图,函数f(x)=2tan( π)(ω>0)的部分图象与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,且△ABC的
ωx+
4
π
面积为 ,则ω的值为 ( )
2
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
7. 设数列{a }满足2a =a +a (n≥2且n∈N*),S 是数列{a }的前n项和,且5S -7S =35,a =1,则数列
n n n+1 n-1 n n 7 5 1
{n(n+1)}的前2
024项和为 ( )
4S S
n n+1
2024 2025 506 2023
A. B. C. D.
2025 2026 1013 4050
8. 已知函数f(x)={ 2x+3,x≤0, 则函数g(x)=(f(x))2-f(f(x))的所有零点之和为 ( )
(x-2)2,x>0,
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全
部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
1
9. 已知某地区秋季的昼夜温差X~N(μ,σ2),且P(X>9)= ,该地区某班级秋季每天感冒的人数y关于昼夜
2
温差x(单位:℃)的经验回归方程为´y=b´x+1,秋季某天该班级感冒的学生有9人,其中有4位男生,5位女
生,则下列结论正确的是(参考数据:y=19,x=μ)( )
2 1
A. 若P(X>11)= ,则P(7<X<9)=
5 10
5
B. 从这9人中随机抽取2人,其中至少有一位女生的概率为
6
4
C. 从这9人中随机抽取2人,其中男生人数ξ的期望为
9
D. 昼夜温差每提高1 ℃,该班级感冒的学生大约增加2人
10. 已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex,则下列结论正确的是 ( )
A. 若函数f(x)无极值点,则f(x)没有零点
B. 若函数f(x)无零点,则f(x)没有极值点
C. 若函数f(x)恰有一个零点,则f(x)可能恰有一个极值点
D. 若函数f(x)有两个零点,则f(x)一定有两个极值点
11. 已知点A,B均在拋物线C:y2=x上,点P(0,3),则 ( )
1
A. 直线PA的斜率可能为
10
学科网（北京）股份有限公司B. 线段PA长度的最小值为√5
C. 若P,A,B三点共线,则存在唯一的点B,使得点A为线段PB的中点
D. 若P,A,B三点共线,则存在两个不同的点B,使得点A为线段PB的中点
12. 如图,四棱锥P-ABCD的底面是梯形,BC∥AD,AB=BC=CD=1,AD=2,PA=PD=√2,平面PAD⊥平面
ABCD,O,E分别为线段AD,PA的中点,点Q是底面ABCD内(包括边界)的一个动点,则下列结论正确的
是 ( )
(第12题)
A. AC⊥BP
√3π
B. 三棱锥B-AOE外接球的体积为
4
3
C. 异面直线PC与OE所成角的余弦值为
4
D. 若直线PQ与平面ABCD所成的角为60°,则点Q的轨迹长度为√3π
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 若圆C与直线3x-4y-12=0相切,且与圆x2-2x+y2=0相切于点A(2,0),写出一个符合要求的圆C的标
准方程: .
14. 计算:4sin 40°-tan 40°= .
15. 与圆台的上、下底面及侧面都相切的球,称为圆台的内切球.若圆台的上、下底面半径分别为r , r ,
1 2
且2r +r =2√2,则它的内切球的体积的最大值为 .
1 2
1 n
16. 反比例函数y= 的图象是双曲线(其渐近线分别为x轴和y轴),同样的,“对勾函数”y=mx+
x x
√3 √3
(m>0,n>0)的图象也是双曲线.设m= ,n= ,则此“对勾函数”所对应的双曲线的焦距为 .
3 4
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=2,2a=bccos C+c.
(1) 求角B的大小;
π
(2) 若⃗BD=⃗DC,|⃗AB|≠|⃗AC|,∠CAD= ,求△ABC的面积.
6
学科网（北京）股份有限公司18. (本小题满分12分)抽屉里装有5双型号相同的手套,其中2双是非一次性手套,3双是一次性手套,
每次使用手套时,从抽屉中随机取出1双(2只都为一次性手套或都为非一次性手套),若取出的是一次
性手套,则使用后直接丢弃,若取出的是非一次性手套,则使用后经过清洗再次放入抽屉中.
(1) 求在第2次取出的是非一次性手套的条件下,第1次取出的是一次性手套的概率;
(2) 记取了3次后,取出的一次性手套的双数为X,求X的分布列及数学期望.
19. (本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A B C 中,M,N分别为棱AA ,BB 的中点,
1 1 1 1 1
AC⊥AB,AB=4,AC=3,AA =6.
1
(第19题)
(1) 求证:CM⊥平面C MN;
1
(2) 求二面角C-C N-M的正弦值.
1
lnx
20. (本小题满分12分)已知函数f(x)=ex- .
a
(1) 当a=1时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
2+lna
(2) 若0<a<1,求证:f(x)≥ .
a
学科网（北京）股份有限公司21. (本小题满分12分)已知数列{a }满足a =1,且对任意正整数m,n都有a =a +a +2mn.
n 1 m+n n m
(1) 求数列{a }的通项公式;
n
(2) 求数列{(-1)na }的前n项和S ,若存在正整数k,使得2S +S =0,求k的值;
n n k k+1
(3) 设b =1ln( 1 1 ),T 是数列{b }的前n项和,求证:T < n .
n 1+ + n n n
2 a a n+1
n n+1
22. (本小题满分12分)已知椭圆E:x2+y2=1(a>b>0),点C(0,-1)和点D( 8 3)均在椭圆E上.
- ,-
a2 b2 5 5
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 设P是椭圆上一点(异于C,D),直线PC,PD与x轴分别交于M,N两点.证明:在x轴上存在两点A,B,
使得⃗MB·⃗NA是定值,并求此定值.
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