江苏省 2023-2024 学年高三上学期期末迎考卷
数学参考答案与评分标准
1. C 解析:因为A={20,24},B={20,23},所以A∪B={20,23,24},则A∪B中的合数为20和24.
2. A 解析:z=cos2π-√3i=-1-√3i,z3=( 1 √3 ) 3 =-1-3√3i+9+3√3i=1.
- - i
3 2 2 2 2 2 8 8 8 8
π π π
3. C 解析:若y=f(x)为奇函数,则f(x)满足f(-x)=-f(x),所以cos(-x+φ)=-cos(x+φ),则有cos xcos φ=0,则cos φ=0.因为- ≤φ≤ ,所以φ=± ,
2 2 2
π
所以“y=f(x)为奇函数”是“φ= ”的必要不充分条件.
2
4. C 解析:由题意得F
1
+F
2
+F
3
=0,所以-F
3
=F
1
+F
2
,两边平方得
|F |
2=
|F |
2+2F
1
·F
2
+
|F |
2,即
|F |
2=1+2×1×2×(
-
1)+4=3,所以
|F |
=
3 1 2 3 2 3
√3.
{C4a4>C3a3,
4 5
5. A 解析:第r+1项的系数为Crar,由题意得 6 6 解得 <a< .
6 C4a4>C5a5, 3 2
6 6
π π 1 π π
6. B 解析:由题知|AB|=T= ,由f(0)=2tan =2,得y =2,所以S = ×2× = ,所以ω=2.
ω 4
C △ABC
2 ω 2
n(n-1)
7. C 解析:由题意得2a
n+1
=a
n
+a
n+2
,n∈N*,所以a
n+1
-a
n
=a
n+2
-a
n+1
,n∈N*,则数列{a
n
}为等差数列,设公差为d.因为S
n
=na
1
+ d,所以
2
S n =a 1 +n-1 d, S n+1 - S n =d(常数),则{S n }也为等差数列.因为5S 7 -7S 5 =35,所以 S 7 - S 5 =1,则数列{S n }的公差为 1,所以 S n = S 1 +
n 2 n+1 n 2 n 7 5 n 2 n 1
(n-1)×1=1+n-1=n+1,所以 n(n+1)= 1 = 1 - 1 ,所以 2024n(n+1)=2024 ( 1 1 )=1- 1 =
∑ ∑ -
2 2 2 4S n S n+1 (n+1)(n+2) n+1 n+2 n=1 4S n S n+1 n=1 n+1 n+2 2 2026
506
.
1013
8. D 解析:因为g(x)=(f(x))2-f(f(x)),所以令t=f(x),则g(x)=t2-f(t),令g(x)=0,可得t2=f(t).当t>0时,由t2=f(x),可得t2=(t-2)2,即-4t+4=0,解得
t=1;当t≤0时,由t2=f(t),可得t2=2t+3,即t2-2t-3=0,解得t=-1或t=3(舍去).所以t=±1,即f(x)=±1.当x>0时,令(x-2)2=1或(x-2)2=-1(舍去),解得
x=1或x=3;当x≤0时,令2x+3=±1,解得x=-1或x=-2.所以函数g(x)=(f(x))2-f(f(x))的零点之和为1+3-1-2=1.
1 2 1 1
C2
9. ABD 解析:对于A,因为P(X>9)= ,所以μ=9,所以P(X<7)=P(X>11)= ,所以P(7<X<9)= -P(X<7)= ,故A正确;对于B,P=1- 4=
2 5 2 10 C2
9
5 nM 8
,故B正确;对于C,ξ服从超几何分布,且N=9,M=4,n=2,所以E(ξ)= = ,故C错误;对于D,因为y=19,x=9,所以19=9b´+1,得b´=2,故
6 N 9
D正确.
10. AD 解析:令f(x)=0,得(x2+ax+b)ex=0,即x2+ax+b=0.Δ=a2-4b.当Δ>0时,f(x)有两个零点;当Δ=0时,f(x)有一个零点;当Δ<0时,f(x)无
1 1 1 1
零点.又f'(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex.令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+a+b=0.Δ=(a+2)2-4(a+b)=a2-4b+4.当Δ>0时,f'(x)有两个变号零点,即f(x)有两个
2 2
极值点;当Δ≤0时,f'(x)没有变号零点,即f(x)没有极值点.对于A,因为f(x)没有极值点,所以Δ=a2-4b+4≤0,即a2-4b≤-4,故Δ<0,所以f(x)没
2 2 1
有零点,故A正确;对于B,若f(x)没有零点,则Δ=a2-4b<0,此时Δ=a2-4b+4<4,当Δ>0时,f(x)有两个极值点,故B错误;对于C,若f(x)恰有
1 2 2
一个零点,则Δ=a2-4b=0,此时Δ=a2-4b+4>0,故f(x)有两个极值点,故C错误;对于D,若f(x)有两个零点,则Δ=a2-4b>0,此时Δ=a2-
1 2 1 2
4b+4>0,故f(x)一定有两个极值点,故D正确.
学科网（北京）股份有限公司11. BD 解析:设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),则x 1 = y2,x 2 = y2.对于A,假设直线PA的斜率为 1 ,则k AP = y 1 -3 = 1 ⇒ y2-10y 1 +30=0,由于Δ=100-
1 2 10 y2 10 1
1
1
120<0,则该方程无解,所以直线PA的斜率不可能为
10
,故A错误;对于B,|PA|=√y
1
4+(3- y
1
)2,记y=y
1
4+(3-y
1
)2,则y'=4y
1
3-2(3-y
1
),记
y3 y2 y4
g(y 1 )=4 1-2(3-y 1 ),则g'(y 1 )=12 1+2>0,y'=g(y 1 )单调递增.由于y' y 1 =1=0,因此,当y 1 >1时,y'>0,y= 1+(3-y 1 )2单调递增,当y 1 <1时,y'<0,y=
y4+ (3- y )2单调递减,故当y 1 =1时,y= y4+(3-y 1 )2取最小值5,因此|PA|= √y4+(3- y )2的最小值为 √5 ,故B正确;对于C,若
1 1 1 1 1
P,A,B三点共线,A为线段PB的中点,则0+x
2
=2x
1
,3+y
2
=2y
1
,所以x
2
=2x
1
,y
2
=2y
1
-3.又
y2
=x
1
,
y2
=x
2
,所以
(2y -3)2
=x
2
=2x
1
=2
y2
,即2
y2
1 2 1 1 1
-12y
1
+9=0,Δ=144-4×2×9=72>0,故2
y2
-12y
1
+9=0有两个不相等的实数根,所以满足条件的点B不唯一,故C错误,D正确.
1
12. AC 解析:易证四边形ABCO为菱形,所以BO⊥AC,如图,连接PO,因为PA=PD=√2,O为AD中点,所以PO⊥AD.因为平面PAD⊥平
面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.因为AC⊂平面ABCD,所以PO⊥AC.又PO,OB⊂平面
POB,PO∩OB=O,所以AC⊥平面POB.又BP⊂平面POB,所以AC⊥BP,故A正确.易证△AOE为等腰直角三角形,△AOB为等边三角形,且
√3
平面PAD⊥平面ABCD,所以三棱锥B-AOE外接球的球心为等边三角形AOB的中心,所以三棱锥B-AOE外接球的半径为 ,所以三
3
棱锥B-AOE外接球的体积为V=4π×(√3) 3 =4√3π,故B错误.因为PD∥OE,所以∠CPD为异面直线PC与OE所成的角(或其补角).
3 3 27
2+2-1 3
因为PO=√PD2-OD2=1,所以PC=√PO2+OC2=√2.在△PCD中,由余弦定理,得cos∠CPD= = ,故C正确.因为
2×√2×√2 4
√3
PO⊥平面ABCD,连接OQ,PQ,若直线PQ与平面ABCD所成的角为60°.则∠PQO=60°.因为PO=1,所以OQ= ,故点Q的轨迹是以O
3
√3 √3π
为圆心, 为半径的半圆,所以点Q的轨迹长度为 ,故D错误.
3 3
(第12题)
(第13题)
13. (x+1)2+y2=9 或 (x- 11 ) 2 +y2= 9 解析:由题知两圆心连线过点A(2,0),圆x2-2x+y2=0,即(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径为1,故圆
4 16
C的圆心C在x轴上.
|3(2-r)-12|
①若两圆内切,则C(2-r,0),故d= =r,解得r=3,则圆C的标准方程为(x+1)2+y2=9;
5
②若两圆外切,则C(2+r,0),故d=|3(2+r)-12|=r,解得r=3,则圆C的标准方程为( 11) 2 +y2= 9 .
x-
5 4 4 16
学科网（北京）股份有限公司sin40°
14. √3 解析:4sin 40°-tan 40°=4sin 40°- =
cos40°
4sin40°cos40°-sin40° 2sin80°-sin40°
= =
cos40° cos40°
2cos10°-sin40° 2cos(40°-30°)-sin40°
= =
cos40° cos40°
2cos40°cos30°+2sin40°sin30°-sin40°
=√3.
cos40°
4π
15. 解析:如图,画出截面图.易得O
1
B=BE=r
1
,O
2
C=CE=r
2
,所以BC=r
1
+r
2
.记内切球的半径为R,则O
1
O
2
=2R.过B作BG⊥DC,垂足为
3
G,则CG=r
2
-r
1
,BG=O
1
O
2
=2R,所以
(r +r
)2=4R2+
(r -r
)2⇒4R2=4r
1
r
2
≤2(2r
1
+r
2
) 2 =4⇒R≤1,所以它的内切球的体积的最大值为
1 2 2 1 2
4 4π
πR3= .
3 3
(第15题)
√3 √3 √3 b √3
16. 2√2 解析:由题可得双曲线为y= x+ ,所以渐近线为x=0及y= x,渐近线夹角为60°,则 = ,所以焦点所在的直线方
3 4x 3 a 3
{ y=√3x,
程为y= x.由
√3 √3 √3
y= x+ ,
3 4x
{ x=
√6
, { x=-
√6
,
得
x=√3x+√3,解得 4
或
4
√3
3 4x 3√2 3√2
y= y=- .
4 4
此时a= √ (√6) 2
+
(3√2) 2 = √6 ,则b= √2 ,所以c= √a2+b2=
√2
,则焦距为2
√2
.
4 4 2 2
a2+b2-c2
17. 解答:(1) 因为2a=bccos C+c,c=2,所以a=bcos C+1,所以由余弦定理得a=b +1,所以2a2=a2+b2-c2+2a,所以a2+c2-b2=ac,所
2ab
a2+c2-b2 1 π
以cos B= = .又B∈(0,π),所以B= . (5分)
2ac 2 3
π π
(2) 设∠DCA=α,则∠ADB=α+ ,∠BAD= -α.
6 2
BD AD DC
AD BD AD
在△ABD中,由正弦定理有 (π )= ,即 = π .在△ACD中,由正弦定理有 π = .因为BD=DC,所以
sin -α sinB cosα sin sin sinα
2 3 6
π cosα
sin π π √3 ( π) π 2π
6 = π ,即sin αcos α=sin sin ,所以sin 2α= .因为α∈ 0, ,所以2α= 或2α= ,
sin 6 3 2 2 3 3
sinα 3
学科网（北京）股份有限公司π π
所以α= 或α= (舍去). (8分)
6 3
π π 1
当α= 时,A= ,AC=2√3,△ABC的面积为 ×2×2√3=2√3. (10分)
6 2 2
(第17题)
3 1 2 2 23
18. 解答:(1) 设“第1次取出的是一次性手套”为事件A,“第2次取出的是非一次性手套”为事件B,则P(B)= × + × =
5 2 5 5 50
3 1 3
,P(AB)=P(A)P(B|A)= × = ,所以在第2次取出的是非一次性手套的前提下,第1次取出的是一次性手套的概率为P(A|B)=
5 2 10
P(AB) 15
= . (5分)
P(B) 23
(2) 记取出的一次性手套的双数为X,则X=0,1,2,3,
P(X=0)=(2) 3 =0.064,P(X=1)=3×(1) 2 +2×3×1+(2) 2 ×3=0.366,P(X=3)=3×2×1=0.1,则P(X=2)=1-0.064-0.366-0.1=0.47,
5 5 2 5 5 2 5 5 5 4 3
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.366 0.47 0.1
数学期望E(X)=0.366+2×0.47+3×0.1=1.606.(12分)
19. 解答:(1) 因为AC⊥AB,且平面ABC⊥平面ACC
1
A
1
,平面ABC∩平面ACC
1
A
1
=AC,所以AB⊥平面ACC
1
A
1
.又CM⊂平面ACC
1
A
1
,所以
AB⊥CM.因为M,N分别为AA
1
,BB
1
的中点,所以MN∥AB,所以MN⊥CM.因为AM=A
1
M=3,AC=A
1
C
1
=3,所以CM=C
1
M=√9+9=3√2,所以
CM2+C
1
M2=18+18=36=C
C2
,所以CM⊥C
1
M.又因为MN,C
1
M⊂平面C
1
MN,MN∩C
1
M=M,所以CM⊥平面C
1
MN. (5分)
1
(2) 因为AA 1⊥平面ABC,AB⊥AC,所以以A为原点,分别以
⃗AB
,
⃗AC
,
⃗A A
的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直
1
角坐标系,所以C(0,3,0),C(0,3,6),M(0,0,3),N(4,0,3),所以 =(0,0,6), =(4,-3,-3), =(0,-3,3).设平面CCN的法向量为
1 ⃗CC ⃗C N ⃗CM 1
1 1
{n·⃗CC =0, { 6z=0,
n=(x,y,z),则 1 即 令x=3,则n=(3,4,0).由(1)知CM⊥平面C
1
MN,故可取平面C
1
MN的一个法向量
n·⃗C N=0, 4x-3y-3z=0,
1
m=(0,-1,1),因为cos<m,n>= m·n =- 2√2 ,故二面角C-CN-M的正弦值为 √ (-2√2) 2 = √17 . (12分)
1 1-
|m||n| 5 5 5
(第19题)
1
20. 解答:(1) 当a=1时,f(x)=ex-ln x⇒f'(x)=ex- (x>0),所以切线斜率k=f'(1)=e-1.又f(1)=e,所以f(x)在点A(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)
x
(x-1),即y=(e-1)x+1.(5分)
学科网（北京）股份有限公司(2) f(x)=ex-lnx⇒f'(x)=ex- 1 =1(
xex-
1)(x>0),易知y=xex在(0,+∞)上单调递增,且y∈(0,+∞),又0<a<1⇒1>1,所以存在唯一
a ax x a a
1 1
x 0∈(0,+∞),使得x
0
ex 0-
a
=0,即ex 0=
ax
⇔ln x
0
=-x
0
-ln a.当0<x<x
0
时,f'(x)<0,f(x)为减函数,当x>x
0
时,f'(x)>0,f(x)为增函数,所以
0
f(x) min =f(x 0 )= ex 0 - ln a x 0= a 1 x + x a 0+ ln a a = 1 a ( x 0 + x 1 +lna )≥ 1 a ( 2 √ x 0 × x 1 +lna )= 2+ a lna ,当且仅当x 0 = x 1 ,即x 0 =1时等号
0 0 0 0
2+lna
成立.所以当0<a<1时,f(x)≥ .(12分)
a
21. 解答:(1) 由对任意正整数m,n都有a =a+a +2mn,令m=1,可得a =a+1+2n,所以a -a=2n+1.
m+n n m n+1 n n+1 n
当n≥2时,a=a+(a-a)+(a-a)+…+(a-a )=1+3+5+…+2n-1=n2;
n 1 2 1 3 2 n n-1
当n=1时,a=1,符合上式,所以a=n2. (4分)
1 n
(2) 由(1) 得a=n2,当n为偶数时,
n
S=(-12+22)+(-32+42)+…+ =
n [-(n-1)2+n2]
n
(3+2n-1) n(n+1)
3+7+11+…+(2n-1)=2 = ;
2
2
n(n-1) -n2-n
当n为奇数时,n-1为偶数,S=S +(-1)na=S -a= -n2= .
n n-1 n n-1 n 2 2
{
n2+n
,n为偶数,
2
综上所述,S=
n
-n2-n
,n为奇数.
2
(k+1) 2+k+1
若k为偶数,则k+1为奇数,由2S+S =0,即k2+k- =0,整理得k2-k-2=0,解得k=-1(舍去)或k=2;
k k+1
2
(k+1) 2+k+1
若k为奇数,则k+1为偶数,由2S+S =0,即-k2-k+ =0,整理得k2-k-2=0,解得k=-1或k=2,均不合题意,舍去.
k k+1
2
综上,所求k的值为2. (8分)
(3) 由b n =1ln( 1+ 1 + 1 )=ln√ 1+ 1 + 1
2 a
n
a
n+1
n2 (n+1)2
=ln√n2(n+1)2+n2+(n+1)2
n2(n+1)2
=ln√n2(n+1)2+n2+n2+2n+1
n2(n+1)2
=ln√n2(n+1)2+2n(n+1)+1
n2(n+1)2
=lnn(n+1)+1=ln[
1+
1 ]=ln(
1+
1
-
1 ).
n(n+1) n(n+1) n n+1
学科网（北京）股份有限公司结合当x>0时,ln (x+1)<x,有b
n
=ln(
1+
1
-
1 )<1- 1 ,所以T
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
<(1
-
1)+(1
-
1)+(1
-
1)+…+
n n+1 n n+1 1 2 2 3 3 4
(1
-
1 )=1- 1 = n .故T
n
< n . (12分)
n n+1 n+1 n+1 n+1
1
{ =1,
22. 解答:(1) 将点C,D代入椭圆方程有
b2
解得
{a2=4,
所以椭圆E的方程为
x2
+y2=1. (4分)
64 9 b2=1, 4
+ =1,
25a2 25b2
(2) 设P(x,y),A(m,0),B(n,0).
0 0
3
y +
3 0 5( 8)
直线PD:y+ = x+ ,
5 8 5
x +
0 5
3 8
x - y
5 0 5 0 y +1
令y=0,得x = .直线PC:y= 0 x-1,
N
3 x
y + 0
0 5
x
令y=0,得x M = 0 .
y +1
0
3 8
( x - y )
⃗MB · ⃗NA = n- x 0 m- 5 0 5 0
y +1 3
0 y +
0 5
(n y +n-x )(5m y +8 y +3m-3x )
= 0 0 0 0 0 .
5 y2+8 y +3
0 0
令5my+8y+3m=-3ny-3n,
0 0 0
则5m+8=-3n,3m=-3n,得n=4,m=-4,
-3[(4 y +4) 2-x2]
则⃗MB · ⃗NA = 0 0
5 y2+8 y +3
0 0
-3[(4 y +4) 2-(4-4 y2)] -12(5y2+8 y +3)
= 0 0 = 0 0
5 y2+8 y +3 5 y2+8 y +3
0 0 0 0
=-12.
故存在A(-4,0)和B(4,0),使得⃗MB·⃗NA是定值,且定值为-12. (12分)
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