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方法精讲-资料 4
（笔记）
主讲教师：邓健
授课时间：2024.06.01
粉笔公考·官方微信方法精讲-资料 4（笔记）
【注意】回顾上节课的课后作业：
1.比重：部分在总体中所占的比率；平均数：后除以前。
2.现期比重公式：A/B；现期平均数公式：A/B。
3.基期比重公式：A/B*[（1+b）/（1+a）]；基期平均数公式：A/B*[（1+b）
/（1+a）]。若选项差距大，就上下截两位约分化简；若选项差距小，先算左边
A/B，再看右边（1+b）/（1+a）与1的大小关系，利用范围结合选项做题。
4.两期比重题型识别：有两个时间（有时会用“同比”表示），问题中有“占
比/比重”；两期平均题型识别：有两个时间，问题中有“平均每”。
5.两期比重判升降：a＞b，比重上升；a＜b，比重下降；a=b，比重不变。
6.两期平均数判升降：a＞b，平均数上升；a＜b，平均数下降；a=b，平均
数不变。
7.两期比重差值题型识别：比重+上升/下降+百分点；方法及公式：
（1）通过a、b，判升降。
（2）定大小：＜|a-b|。
（3）公式：A/B*[（a-b）/（1+a）]。
8.平均数增长率题型识别：平均数增长/下降+%；公式：r=（a-b）/（1+b）。
倍数
关键字：倍
题型：一、现期倍数（多）
二、基期倍数（少）
【注意】倍数：整体难度不高，分为两类（现期倍数、基期倍数）。
现期倍数
➢题型识别：求现在，A是B的多少倍
➢计算公式：A/B
➢速算技巧：截位直除
1【注意】现期倍数：只要是一步除法，都用A/B的形式表示，求倍数就是做
除法，再根据选项差距计算。
【例1】（2023广东）2021年广东农林牧渔业总产值约为9年前的多少倍？
A.1.2 B.1.4
C.1.6 D.1.8
【解析】1.根据题意，9 年前为 2021 年-9=2012年，所求=2021 年/2012 年
=8305.8/4550.3，观察选项差距，次位差 2＞首位 1，说明选项差距大，一步除
法，分母截两位，原式看作8305/46=18开头，对应D项。【选D】
2022年12月，我国20～29岁、30～39岁、40～49岁网民占比分别为14.2%、
19.6%和16.7%；50岁及以上网民群体占比由2021年12月的26.8%提升至30.8%，
互联网进一步向中老年群体渗透。
【例2】（2024联考）截至 2022 年12月，我国 20岁以上网民人数是 20 岁
以下网民人数的：
A.不到3倍 B.3～4倍之间
C.4～5倍之间 D.5倍以上
【解析】2.问20岁以上/20岁以下，两个主体之间求倍数，根据常识可知，
20岁以上+20岁以下=所有人，类似于A+非A=总体，已知其中一个占比，就可以
推出另一个的占比，比如男生占比为 70%，则女生占比为 30%。回到本题，题干
2给出的各年龄段占比之和对应20岁以上的占比，即14.2%+19.6%+16.7%+30.8%，
凑整加和约为80%，则20岁以下的占比为1-80%=20%，所求倍数=80%/20%=4倍。
无法确定答案，说明需要更严谨的计算，整数部分14%+19%+16%+30%=79%，小数
部分 0.2%+0.6%+0.7%+0.8%=2+%，故20 岁以上的占比=79%+2+%=81+%，则 20 岁以
下占比为18+%，所求=81+%/18+%＞4倍，对应C项。【选C】
【注意】总量相同，可以用占比代替具体数据算倍数。
【例3】（2024联考）2013～2022年，全国亿元以上食品饮料市场成交额超
过烟酒市场3倍以上的年份有：
A.6个 B.7个
C.8个 D.9个
【解析】3.“超过”即“大于”，比如我的成绩超过你的，我的成绩＞你的
成绩。要求食品饮料市场＞烟酒市场*3，对应各年份找数据，753＞74*3，满足；
399＞76*3=200+，满足；359＞73*4=200+，满足；343＞110*3，满足；309＜105*3=315，
3不满足；275＜107*3=300+，不满足；208＜105*3=300+，不满足；208＞49*3=100+，
满足；230＞50*3=150，满足；228＞45*3=100+，满足。综上，满足的有 7 个，
对应B项。【选B】
概念辨析
①A是B的几倍：A/B
②A比B多（高）几倍：（A-B）/B=A/B-1
③A超过B的几倍：超过就是大于
【注意】概念辨析：
1.A是B的几倍：A/B。
2.A比B多（高）几倍：完整的表述应该是“A比B多的部分是B的几倍”，
A比B多的部分为A-B，减完之后再除以B，因此为（A-B）/B=A/B-1。
3.A 超过 B 的几倍：超过就是大于。“超过”就是字面意思，比如你跑步超
过某人，就是在他前面，比他跑得多。A 超过 B 的 3 倍，就是 A＞B*3，可以是
3.1倍、3.5倍、6倍、10倍、100倍等。
4.举例：
（1）问法一：小邓的收入为100万，小马的收入为20万，问小邓的收入是
小马的多少倍？
答：所求=100/20=5倍。
（2）问法二：小邓的收入为100万，小马的收入为20万，问小邓比小马多
（高）几倍？
答：所求=（100-20）/20=4倍，或者100/20-1=4倍。
（3）问法三：小马的收入为40万，小邓的收入超过小马收入的4倍，问小
邓的收入？
答：超过就是大于，小邓＞小马*4=40*4=160万，只能得到小邓的范围。有
的同学认为超过就要“+1倍”，这样是不对的，可以理解成：你的考试分数超过
60分，不能说明你的得分是70分，“超过”只能说明你的分数大于60分，可能
是65分、100分，并没有明确的倍数关系。
42023年一季度，全国社会消费品零售总额114922亿元，同比增长5.8%，上
年四季度为下降 2.7%。按经营单位所在地分，城镇消费品零售额 99664 亿元，
增长5.7%；乡村消费品零售额15258亿元，增长6.2%……
【例4】（2023事业单位）按经营单位所在地分，2023年一季度，城镇消费
品零售额约比乡村消费品零售额多多少倍？
A.4.5 B.5.5
C.6.5 D.7.5
【解析】4.问题时间2023 年一季度，找数据，城镇消费品零售额 99664 亿
元，乡村消费品零售额 15258亿元，注意问的是“多多少倍”（这是倍数问题的
经典陷阱），所求=99664/15258-1=6+-1=5+倍，对应B项。【选B】
【注意】
1.A比B多（高）几倍：（A-B）/B=A/B-1。
2.资料分析的计算逻辑：找数据列出式子先看选项，看出来答案就直接选；
看不出来再考虑截位操作，选项差距大→截两位，选项差距小→截三位。
从输入地看，2020年在东部地区就业的农民工15132万人，比上年减少568
万人，下降 3.6%，占农民工总量的 53%……在西部地区就业农民工 6279万人，
比上年增加106万人，增长1.7%，占农民工总量的22.0%。在东北地区就业农民
工853万人，比上年减少42万人，下降4.7%，占农民工总量的3.0%。
【拓展】（2021广东）2020年，在西部地区就业农民工约比在东北地区就业
农民工多多少倍？
A.9.3 B.8.3
C.7.4 D.6.4
【解析】拓展.问题时间2020年，问西部地区比东北地区多多少倍。
方法一：西部地区就业农民工 6279万人，东北地区就业农民工 853万人，
所求=6279/853-1=7+-1=6+倍，对应D项。
方法二：题干给了占比，且都是占农民工总量的比重，利用比重计算更友好，
西部地区就业农民工占农民工总量的22.0%，东北地区就业农民工占农民工总量
5的3.0%，所求=22%/3%-1=7+-1=6+倍，对应D项。【选D】
【注意】
1.总量相同，可以用占比代替具体数据算倍数。
2.一般没有“少几倍”的说法。
基期倍数
➢识别：求去年，A是B的几倍
➢公式：A/B*[（1+b）/（1+a）]
A：分子的现期量 B：分母的现期量
a：分子的增长率 b：分母的增长率
（多步除法）速算：
选项差距大：上下截两位，约分计算
选项差距小：先算A/B，再看（1+b）/（1+a）与1的关系，结合选项
例：2023年，老邓体重为A，增速为a；小邓体重为B，增速为b，问2022
年老邓体重是小邓的多少倍？
【注意】基期倍数：
1.识别：求去年，A是B的几倍。
2.公式：A/B*[（1+b）/（1+a）]。不管是基期比重、基期平均、基期倍数，
只要是基期比例都是用这个公式，A、B永远都是问题中分子、分母对应的数据。
A：分子的现期量 B：分母的现期量
a：分子的增长率 b：分母的增长率
3.例：2023年，老邓体重为A，增速为a；小邓体重为B，增速为b，问2022
年老邓体重是小邓的多少倍？
答：推导过程：老邓/小邓=[A/（1+a）]÷[B/（1+b）]=[A/（1+a）]*[（1+b）
/B]=A/B*[（1+b）/（1+a）]。
4.（多步除法）速算：
（1）选项差距大：上下截两位，约分计算。
（2）选项差距小：先算A/B，再看（1+b）/（1+a）与1的关系，结合选项。
62023年第14周，H市哨点医院共报告流感样病例总数为5187例，比上周增
加4.49%，比去年同期减少
56.16%，其中国家级哨点医院455例，比上周减少6.57%，比去年同期减少
55.04%。城区哨点医院1899例，比上周减少19.40%，比去年同期减少55.46%；
郊区、县（市）哨点医院3288例，比上周增加26.07%，比去年同期减少56.55%。
本周全市哨点医院 ILI%为5.98%，比上周低 0.07个百分点，其中国家级哨点医
院ILI%为2.12%，比上周高 0.23个百分点。城区哨点医院 ILI%为 4.45%，比上
周低 0.56 个百分点；郊区、县（市）哨点医院 ILI%为 7.46%，比上周高 0.01
个百分点。
【例5】（2024浙江）2023年第13周，H市郊区、县（市）哨点医院报告流
感样病例约是城区的多少倍？
A.1.7 B.1.5
C.1.3 D.1.1
【解析】5.材料时间2023年第 14 周，问题时间第 13周为基期时间，问倍
数，判定为基期倍数问题。通过括号快速定位，分子为郊区、县（市）哨点医院，
对应 A=3288例，a=26.07%，分母为城区，对应 B=1899例，b=-19.40%，将数据
代入公式，A/B*[（1+b）/（1+a）]=3288/1899*[（1-19.4%）/（1+26.07%）]。
式子比较复杂，观察选项差距，首位相同，次位差 2＞首位1，说明选项差距比
较大，多步除法，上下均截两位，原式看作（33/19）*（80/13），能约分就约分，
不能约分就微调，将19看作20，（33/19）*（80/13）≈（33/20）*（80/13）=
（33*4）/13=132/13=1+开头（多一点点），对应D项。【选D】
【注意】3288/1899≈1.7算出来是现期倍数，会错选A项。
特殊增长率
➢间隔增长率（常考，简单套路）
➢年均增长率（常考比较，计算几乎不考）
➢混合增长率（必考重点，技巧性强）
7【注意】特殊增长率：分为三个考点，每个题型都有特殊的解法。
1.间隔增长率：常考，简单套路。
2.年均增长率：常考比较，属于送分题，计算几乎不考。
3.混合增长率：必考重点，属于重难点，技巧性强，学会之后很简单，大部
分不用算。
一、间隔增长率
识别：2020年比2018年增长+%（隔一年，求增长率）
已知：2020年收入同比增长率为r，2019年同比增长率为r，求：2020年
1 2
与2018年相比的增长率是多少？
现期=基期*（1+r）
2020年=2019年*（1+r）=2018年*（1+r）*（1+r）
1 1 2
r=（现期- 基期）/基期=（2020年-2018年）/2018年
r =r+r+r*r
间隔 1 2 1 2
r：今年的增长率
1
r：去年的增长率
2
【注意】间隔增长率
1.识别：2020年比2018年增长+%（隔一年，求增长率）。如果给出2020年
为100元，2018年为50元，则r=（现期- 基期）/基期=（100-50）/50=100%，
但材料一般不会给2018年的数据，只给出2020年，就需要利用增长率把这两个
时间点联系起来。
2.已知：2020年收入同比增长率为r，2019年同比增长率为r，求：2020
1 2
年与2018年相比的增长率是多少？
答：先通过 r 、r 把 2018 年和 2020 年衔接起来，基本公式：现期=基期*
1 2
（1+r），则 2020 年=2019 年*（1+r ）=2018 年*（1+r ）*（1+r ）；代回基本公
1 1 2
式，r=（现期- 基期）/基期=（2020 年-2018 年）/2018 年，则有：[2018 年*
8（1+r）*（1+r）-2018年]/2018年，约掉2018年，原式化简为1+r+r+r*r-1，
1 2 1 2 1 2
推导出r =r+r+r*r。
间隔 1 2 1 2
3.方便记忆：称作“笑脸公式”，上面r、r 是“眼睛”，2020年对于2019
1 2
年增长率为 r，2019 年对于 2018 年增长率为r ，则r =r+r+r*r，r：今年
1 2 间隔 1 2 1 2 1
的增长率，r：去年的增长率。
2
4.有同学会疑问间隔两年、三年呢？
答：隔很多年就不是间隔增长率，而是后面讲到的年均增长率。
➢速算技巧 r=r+r+r*r
1 2 1 2
1、先计算r+r，结合选项
1 2
【练习1】8.5%+36%+8.5%*36%≈（ ）
A.47.6% B.40.4%
C.34.5% D.27.6%
2、若r、r 的绝对值均小于10%（r*r＜1%），结合选项乘积可忽略
1 2 1 2
【练习2】5.6%+6.3%+5.6%*6.3%≈（ ）
A.12.26% B.10.87%
C.13.21% D.9.69%
3、结合选项不能排除：百化分
【练习3】11.6%+25.4%+11.6%*25.4%≈（ ）
A.38.8% B.39.9%
C.37.7% D.36.6%
【注意】速算技巧：r=r+r+r*r，做题要学会利用选项。
1 2 1 2
1.先计算r+r，结合选项。
1 2
练习1.8.5%+36%+8.5%*36%≈（ ）
A.47.6% B.40.4%
9C.34.5% D.27.6%
答：先算 8.5%+36%=44.5%，加法是核心部分，后面是两个百分数相乘，越
乘越小，对结果的影响不大，算完加和先看选项能否锁定答案，大于44.5%的有
且只有A项。
2.若r、r 的绝对值均小于10%（r*r＜1%），结合选项乘积可忽略。
1 2 1 2
练习2.5.6%+6.3%+5.6%*6.3%≈（ ）
A.12.26% B.10.87%
C.13.21% D.9.69%
答：先算 5.6%+6.3%=11.9%，排除 B、D 项；如果两个增长率都是 10%，
10%*10%=1%（比较小），若两个增长率都小于 10%，则乘积一定远小于 1%，此时
乘积可以忽略，选一个比11.9%大一点的即可，对应A项。
3.结合选项不能排除：百化分。
练习3.11.6%+25.4%+11.6%*25.4%≈（ ）
A.38.8% B.39.9%
C.37.7% D.36.6%
（1）答：先算11.6%+25.4%=37%，两个百分数都比10%大，乘积不能忽略，
可以利用百化分计算，把 25.4%近似看作 1/4，11.6%*25.4%≈11.6%*1/4≈3%，
则37%+3%=40%，对应B项。
（2）注意：并不是看到百化分就“+1”，百化分就是单纯的把百分数化成分
数，比如50%=1/2；如果题目求增长量，才需要“n+1”，增长量=现期/（n+1）。
（3）拓展练习：63%*14.3%≈63%*1/7=9%。
一、间隔增长率
➢识别：中间隔一年，求增长率
➢公式：r=r+r+r*r（和+积）
1 2 1 2
➢计算：①先算加法，结合选项排除
②再算乘法：若r、r 均小于10%，则乘积小于1%，一般可忽略
1 2
有超过10%，可百化分快速计算
【注意】间隔增长率：
101.识别：中间隔一年，求增长率。很多同学只是沉溺于记公式、技巧，忽略
了题型识别，学习要掌握窍门，什么样的题目应该对应什么样的考点，才能有后
续的解题。
2.公式：r=r+r+r*r （和+积），r 、r 分别为今年、去年的增长率，如果
1 2 1 2 1 2
把r、r 的顺序记反了也没关系，因为加法和乘法互换位置不影响结果。
1 2
3.计算：
（1）先算加法（加法是核心），结合选项排除。
（2）再算乘法：若 r、r 均小于 10%，则乘积小于 1%，一般可忽略；有超
1 2
过10%，可百化分快速计算。
【例 1】（2019 安徽选调）相对于 2016 年 3 月，2018 年 3 月的全国社会消
费品零售总额增长：
A.10.1% B.10.9%
C.22.1% D.20.7%
【解析】1.2018年3月与2016年3月中间隔了一年，增长+%，求增长率，
间隔增长率问题，分别对应2018年增长率r=10.1%，2017年增长率r=10.9%，
1 2
r =r+r+r*r=10.1%+10.9%+乘积（乘积不要着急抄，浪费时间，先看一眼选项）
间 1 2 1 2
=21%+乘积＞21%，只有C项满足。【选C】
【注意】
111.要想清楚时间的对应关系，老师给出的结论与2016年无关，r 对应2018
1
年，r 对应2017年。
2
2.有同学认为，求比2016年……，需要找2016年的增长率。
答：间隔增长率与 2016 年的增长率无关，如果题目给 2016 年、2018 年具
体的量，可以直接利用公式做；但本题给的是同比增长率，r=10.1%指的是2018
1
年比2017年的增长情况，r=10.9%指的是2017年比2016年的增长率，利用r、
2 1
r 做题就是找到2018年与2016年的关系。
2
2022 年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业超 3.5 万家，累计完成
软件业务收入 108126 亿元，同比增长 11.2%，增速较上年同期回落 6.5 个百分
点。
【例2】（2024四川）2022年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业累
计完成软件业务收入约比2020年增长了：
A.16% B.23%
C.29% D.31%
【解析】2.问 2022 年比 2020 年，中间隔一年求增长率，r 为 2022 年增长
1
率，r 为 2021 年增长率，找数据，“同比增长 11.2%”→r=11.2%，没有直接给
2 1
出r，“增速较上年同期回落6.5个百分点”，高减低加，r=11.2%+6.5%=17.7%。
2 2
r=r+r+r*r=11.2%+17.7%+乘积（先不要抄）=28.9%+乘积，有同学会错选 C项，
1 2 1 2
两个百分数均大于 10%，则 11.2%*17.7%＞1%，28.9%+1+%＞29.9%，锁定 D 项。
或者百化分，11.2%≈1/9，11.2%*17.7%≈1/9*18%=2%，28.9%+2%=30.9%≈31%，
对应D项。【选D】
2018年，我国全社会用电量 68449 亿千瓦时，同比增长 8.5%，增幅同比提
高 1.9 个百分点。具体来看，第一产业用电量 728 亿千瓦时，同比增长 9.8%；
第二产业用电量 47235 亿千瓦时，同比增长 7.2%；第三产业用电量 10801 亿千
瓦时，同比增长12.7%；城乡居民生活用电量9685亿千瓦时，同比增长10.4%。
【拓展】（2019广东）2018年，我国全社会用电量较2016年增加了约（ ）。
A.13.7% B.15.7%
12C.17.9% D.19.9%
【解析】拓展.2018年比2016年间隔一年，求增长率，间隔增长率问题。“同
比增长8.5%”，即2018年增速r=8.5%，“增幅同比提高1.9个百分点”，高减低
1
加，r=8.5%-1.9%=6.6%，r=r+r+r*r=8.5%+6.6%+乘积（r、r 均小于10%，乘
2 1 2 1 2 1 2
积可以忽略）≈15.1%，结果比 15.1%只大一点点，大的超不过 1%，对应 B 项。
【选B】
题型延伸①：间隔倍数
特征：隔一年，求倍数
2020年工资同比增长了25%，2019年同比增长了20%，则2020年工资是2018
年的多少倍？
两步走：
①先求出间隔增长率
②间隔倍数=间隔增长率+1
【注意】题型延伸——间隔倍数：
1.特征：隔一年，求倍数。
2.两步走：
（1）先求出间隔增长率。
（2）倍数=r+1（例如同比增长率为37%，则今年是去年的1.37倍）→间隔
倍数=间隔增长率+1。
3.例：2020 年工资同比增长了 25%，2019年同比增长了 20%，则 2020年工
资是2018年的多少倍？
答：r =25%+20%+25%*20%=45%+25%*（1/5）=50%，间隔倍数=50%+1=1.5倍。
间
题型延伸②：间隔基期量
特征：隔一年，求基期
2020年工资额是400元，同比增长了10%，2019年同比增长了20%，则2018
年的工资是多少元？
两步走：
13①先求出间隔增长率
②间隔基期=现期量/（1+间隔增长率）
【注意】题型延伸——间隔基期量：
1.特征：隔一年，求基期。例如已知现期2018年6月的值，问法1→求2017
年6月的值→求去年（同比关系）→现期/（1+r ）；问法 2→求 2018年5 月
同比
的值→求上个月（环比关系）→现期/（1+r ）；问法3→求2016年 6月的值
环比
→求前年（间隔）→现期/（1+r ）；注意时间的对应关系。
间隔
2.例：2020年工资额是400元，同比增长了10%，2019年同比增长了20%，
则2018年的工资是多少元？
答：给2020年、求2018年，求基期，间隔一年，求间隔基期量。若求2019
年→400/（1+10%），但本题求的是2018年，r =r+r+r*r=10%+20%+10%*20%=32%，
间 1 2 1 2
间隔基期=现期/（1+r ）=400/（1+32%）=400/1.32≈300。
间
3.计算方法：两步走。
（1）先求出间隔增长率。
（2）间隔基期=现期量/（1+间隔增长率）。
2018年全年H市保费收入65.4亿元，同比增长0.7%。其中，寿险业务保费
收入39.5亿元，下降5.1%；健康和意外险业务保费收入9.1亿元，增长21.6%，
增速同比增加5个百分点；财产险业务保费收入3.4亿元，增长25.2%；车险业
务保费收入 13.3 亿元，增长 1.8%。全年支付各类赔款及给付 21.2 亿元，增长
5.3%。其中，寿险业务保费赔付11.0亿元，增长1.4%；健康和意外险业务保费
赔付3.0亿元，增长68.7%；财产险业务保费赔付0.9亿元，增长5.7%；车险业
务保费赔付6.4亿元，下降5.0%。
【例 3】（2021 新疆兵团）2016 年全年 H 市健康和意外险业务保费收入约
为多少亿元？
A.7.5 B.6.9
C.6.4 D.6.1
【解析】3.给2018年，求2016年的值，中间间隔一年，求间隔基期量；先
求出r ，间隔基期=现期/（1+r ）。主体为“健康和意外险业务保费收入”，
间 间
14根据“健康和意外险业务保费收入9.1亿元，增长21.6%，增速同比增加5个百
分 点 ” 可 知 ， r=21.6% ， 高 减 低 加 → r=21.6%-5%=16.6% ， r
1 2 间
=21.6%+16.6%+21.6%*16.6%≈21.6%+16.6%+21.6%*（1/6）=38.2%+3.6%=41.8%；
间隔基期=现期/（1+r ）≈9.1/（1+41.8%），选项差距小，截三位，原式转化
间
为91/142。
方法一：正常计算。首位商6、次位商4，结果64开头，对应C项。
方法二：百化分。14.3%≈1/7，则142可以看成1/7，转化为9.1÷（1/7）
=9.1*7→有效数字637，四舍五入取前两位→64，对应C项。【选C】
【注意】
1.可以先“现期/（1+21.6%）”算出2017年的量，再“2017年的量/（1+16.6%）”
算出2016年的量，但计算两次除法比较麻烦。
2.以材料的时间2018年为现期。
3.所有乘法除法只要有特殊数字，都可以用百化分，甚至没有百分数也可以
用百化分，本质是数字之间的转化，只考虑有效数字，不用考虑小数点。
二、年均增长率
例：2015年存款100万，每年利率都是10%（复利），18年有多少钱？
年均增长率——比较大小
识别：年均增长最快、年均增速排序
公式：（1+r）n=现期量/基期量（n为现期和基期的年份差）
技巧：n相同，直接比较“现期/基期”
注：n的确定和年均增长量相同
【注意】年均增长率：
151.例：2015年存款100万，每年利率都是10%（复利），2018年有多少钱？
答：与“复利”相对的是“单利”→假设本金为100万、一年的利率为10%，
则每年的利息都是10万，2年总利息是 20万，5年总利息是50万；“复利”→
利滚利，2015 年为 100 万，2016 年=100*（1+10%），2017 年=100*（1+10%）*
（1+10%）=100*（1+10%）²，2018年=100*（1+10%）*（1+10%）*（1+10%）=100*
（1+10%）³；2018 年是现期、2015 年是基期，现期=基期*（1+r ）³→现期/
年均
基期=（1+r ）³→（1+r ）n=现期量/基期量，n是现期和基期的年份之差。
年均 年均
2.年均增长率——比较大小（主要考查）：
（1）识别：年均增长最快/最慢、年均增速排序。
（2）公式：（1+r）n=现期量/基期量（n为现期和基期的年份差）。
（3）技巧：n相同，直接比较“现期/基期”（送分题）。
（4）注：n（常规给哪两年就用哪两年；五年规划→基期前推一年，年份差
n一定为5）的确定和年均增长量相同。
（5）例：小邓在2016年有100万、2024年有800万，小马在2016年有1000
亿、2024年有3000亿。问：2016～2024年，小邓和小马谁年均增长得更快？
答：小邓→800万/100 万→8倍，小马：3000 亿/1000亿→3 倍；问题时间
都是2016～2024年，“现期/基期”倍数越大，年均增长更快，小邓整体增长更
快，则小邓平均每年增长更快。感兴趣的同学可以课后算一下，保持r 不变，
年均
哪一年小邓超过小马。
16【例 1】（2021 联考）2009～2019 年，城镇私营单位平均工资年均增长率
最高的是：
A.科学研究、技术服务和地质勘查业
B.信息传输、计算机服务和软件业
C.金融业
D.建筑业
【解析】1.问题时间为2009～2019 年；问“年均增长率最高”，年均增长
率比较问题。给的就是平均工资，不涉及平均数，主体为“城镇私营单位”。现
期为2019 年，基期为 2009 年，n相同，直接比较“现期/基期”，找“2019年
/2009年”最大的。科学研究、技术服务和地质勘查业：67642/26187=2+；信息
传输、计算机服务和软件业：85301/28166=3+；金融业：76107/30452=2+；建筑
17业：54167/19867=2+。综上，仅信息传输、计算机服务和软件业倍数超过3倍，
其年均增长率最大，对应B项。【选B】
【注意】利用常识选题：科研行业可能不了解，可能工资待遇不是特别高；
信息传输、计算机服务和软件业属于互联网相关（例如进大厂→阿里巴巴、字节
跳动、网易、华为，大厂程序员工资高），这10年是互联网的10年，增长是最
快的。若不了解这些行业、角度，可以慢慢养成这样的意识，遇到了解的行业可
能对做题有帮助。
【例2】（2022北京）将①金属耐磨材料、②陶瓷耐磨材料和③树脂耐磨材
料按2014～2020年消费量年均增速（以2014年为基础）从高到低排列，以下正
确的是：
A.①②③ B.③②①
C.②③① D.①③②
【解析】2.以2014年为基础→2014年是基期，2020年是现期。“年均增速
从高到低排列”→年均增长率比较，比较“现期/基期”。①金属耐磨材料：
416/359=1+；②陶瓷耐磨材料：24/30=0.8；③树脂耐磨材料：48/50=0.9+。综上，
从高到低排列为①③②，对应D项。【选D】
【注意】
1.一整篇材料有5道题，做题时从材料中筛选需要的数据。
2.很多同学认为：陶瓷耐磨材料、树脂耐磨材料是下降的→年均增长率为负，
从高到低排列为①②③，会错选 A项。“现期/基期”倍数越大→r 越大，无论
18是上升、还是下降，必然成立。例如基期为 100，现期为 80→“现期/基期”的
倍数为0.8、r为-20%，现期为90→“现期/基期”的倍数为0.9、r为-10%，发
现0.8倍＜0.9倍、-20%＜-10%。
年均增长率计算（考得非常少）
识别：年均增长率为……
公式：（1+r）n=现期量/基期量（n为现期和基期的年份差）
方法：居中代入
【注意】年均增长率计算（考得非常少→国考从未考过，联考上一次考是
2019年，了解居中代入足够应对考试）：例如3年、5年需要开3次方、5次方，
大家可能会 =2、 =3，但资料分析没有整数，例如对 、 开不出来，
3次方更开不4出来，高9 考不让开根号，公务员考试更不会如3.此3 考查1.。77
1.识别：年均增长率为……。
2.公式：（1+r）n=现期量/基期量（n为现期和基期的年份差）。
3.方法：居中代入简单估算，看等式左右两端是否相等，相等就是对的，不
相等就是错的。
【拓展】（2019河南）根据资料，下列关于我国2000～2017年相关信息说
法正确的是：
19B.2014年至2017年人工智能领域专利授权量年均增速为120%
【解析】拓展.B项：问题时间为2014年～2017年，年均增速计算问题，代
入公式：（1+r ）n=现期/基期→（1+r ）³=17477/3753=4+，代入r =120%=1.2，
年均 年均 年均
（1+1.2）³=2.2³＞2³=8＞4+，说明不成立，描述错误。【不选】
【例 3】（2024 广东）2019～2021 年，全国县域农业农村信息化建设县均
社会资本投入的年均增长率约为：
A.10% B.21%
C.32% D.43%
【解析】3.问题时间为2019～2021 年，主体为“全国县域农业农村信息化
建设县均社会资本投入”，代入公式：（1+r ）n=现期/基期→（1+r）²≈3588/2054，
年均
选项差距大，截2位→3588/21→1.7，结合选项居中代入（代入介于选项正中间、
最好算、比较整的数），假设r =30%（B、C项的中间），1.3²=1.69，比1.7
年均
略小一点点，则真实r 比30%略大一点点，对应C项。【选C】
年均
【注意】
1.不建议两个增长率相加再除以2或总增长率/2，有时误差比较大，容易出
错，且没有居中代入好算。例如本题标准增长率是75%左右，75%/2≈37%，与答
案32%差很远，误差很大。
202.20以内常见平方数、10以内立方数可以不背，会背是好事，因为考频很
低，出现了现场算一下即可，但百化分一定要背。
3.居中代入→例如57%和43%→挑50%代入。
三、混合增长率
题型识别：
①求增长率，无法直接计算
②主体之间有和差关系
例：已知前三季度增长率，四季度增长率，求全年增长率。
例如：
①固定搭配：进口+出口=进出口、城镇+农村=全国、邮政+电信=邮电
②时间累计型：1至11月+12月=全年、一季度+二季度=上半年
③逻辑型：A+非A=全部（税收收入+其他收入=总收入）
判断口诀：
（1）混合后总体居中（最小r＜总体r＜最大r）
补例1：2019 年进口增长了 10%，出口增长了 20%，则进出口可能增长了多
少？
A.8% B.9%
C.14% D.21%
补例2：2019 年进出口增长了 10%，出口增长了 20%，则进口可能增长了多
少？
A.8% B.12%
C.14% D.21%
【注意】混合增长率（必考、考频高）：重点、难点。
1.题型识别：
（1）求增长率，无法直接计算。
（2）主体之间有和差关系。
21（3）例如已知前三季度增长率，四季度增长率，求全年增长率，不知道全
年今年、去年的量、增长量，无法直接计算，不要想直接算的角度，考虑材料所
给数据有无和差关系→前三季度+四季度=全年，考查混合增长率。
2.常见和差关系：
（1）固定搭配：进口+出口=进出口、城镇+农村=全国、邮政+电信=邮电、
研究生=博士研究生+硕士研究生（2016年山东考查过）。甚至材料涉及进出口、
城乡、邮政、电信基本必考混合增长率。
（2）时间累计型（考查最多，所有材料都有可能把时间作为区分）：1 至
11月+12月=全年、一季度+二季度=上半年、前三季度+四季度=全年。
（3）逻辑型：A+非A=全部（税收收入+其他收入=总收入）、20岁以上+20
岁以下=总体、限额以上+限额以下=总体、实物+非实物=总体、男生+女生=总体。
3.判断口诀：混合后总体居中（最小r＜总体r＜最大r）。
（1）例如男生行测平均分为 70 分，女生行测平均分为 80分，则全班整体
平均分在70～80分之间（是加权平均的过程，不是简单的加和→70+80）。再如
男生平均身高为1.9米，女生平均身高为1.7米，则全班所有人的平均身高介于
1.7～1.9米之间。
（2）补例：
①2019年进口增长了10%，出口增长了20%，则进出口可能增长了多少？
A.8% B.9%
C.14% D.21%
答：混合后总体居中，10%＜r ＜20%，仅C项满足。
进出口
②2019年进出口增长了10%，出口增长了20%，则进口可能增长了多少？
A.8% B.12%
C.14% D.21%
答：混合后总体居中，r ＜r （10%）＜20%，仅A项满足。
进口 进出口
2021年，中国跨境电商交易规模达14.2万亿元，占我国货物进出口总额的
比例为36.3%。其中出口跨境电商交易规模11万亿元，同比增速13.4%；进口跨
境电商交易规模3.2万亿元，同比增速14.3%。2017—2022年第一季度，中国跨
22境电商领域共发生262次投资，投资总金额654.91亿元。
【例1】（2023山东）2021年，我国跨境电商交易规模同比增长：
A.12.8% B.13.4%
C.13.6% D.14.3%
【解析】1.“2021年，中国跨境电商交易规模达14.2万亿元”，有现期值
14.2 万亿，没有基期量，也没有增长量，没有办法算同比增速，“其中出口跨
境电商交易规模 11 万亿元，同比增速 13.4%；进口跨境电商交易规模 3.2 万亿
元，同比增速14.3%”，出现“其中”，就是总分结构，后面分了两个部分，一
个部分是出口，一个部分是进口，跨境就是和中国之外的地方做交易，跨境其实
就是进出口的事情，求进出口总体的增速，混合后总体居中，在 13.4%～14.3%
之间，只有C项满足。【选C】
2020年江苏省……全省网上零售额10602亿元，增长10.0%。其中，实物商
品网上零售额增长13.9%，增速比上年快5.2个百分点，占社会消费品零售总额
37086亿元的比重为24.9%，提高2.7个百分点。
【例2】（2022江苏）能够从上述资料中推出的是：
A.略
B.2020年江苏非实物商品网上零售额增速高于13.9%
C.略
D.略
【解析】2.综合分析，只看B项即可。
B项：出现“非”，一定是矛盾关系，求增速，一定考查混合增长率。想到
总体居中，找数据，出现非实物，就有实物，不是拿数比大小然后去排列，永远
把总体摆在中间，全省增长率 10%一定在中间，实物增长率13.9%在右边，非实
物增长率在左边，非实物增长率＜10%＜13.9%，说法错误，不选。【不选】
2022年1月末，我国人民币存款余额236.07万亿元，同比增长9.2%，增速
分别比上月末和上年同期低0.1个和1.2个百分点，1月份人民币存款增加3.83
万亿元，同比多增2627亿元，其中，住户存款增加5.41万亿元，非金融企业存
23款减少1.4万亿元，财政性存款增加5849亿元。1月末，外币存款余额1.02万
亿美元，同比增长9%。1月份外币存款增加272亿美元，同比少增228亿美元。
【拓展】（2022联考）2022年1月末，我国本外币存款余额同比增速在以下
哪个范围内？
A.低于5% B.5%～10%之间
C.10%～19%之间 D.高于19%
【解析】拓展.本题有些另类，没有任何计算量，用了一个比较新颖的词，
本外币，本外币=本币+外币，求本外币的同比增速。本币是人民币，“2022年1
月末，我国人民币存款余额 236.07 万亿元，同比增长9.2%”，增长率是 9.2%；
外币是所有的外汇储备，“1月末，外币存款余额1.02万亿美元，同比增长9%”，
增长率是9%。本外币存款余额同比增速9%～9.2%之间，选择B项。【选B】
②偏向基数较大的（材料无基期，做题时用现期近似代替基期）
例：100gA溶液浓度5%，100gB溶液浓度10%，混合之后浓度？
A.6% B.7.5%
C.9%
例：100gA溶液浓度5%，400gB溶液浓度10%，混合之后浓度？
A.6% B.7.5%
C.9%
例：出口400万同比增速5%，进口100万同比增速10%，混合之后增速约？
A.6% B.7.5%
C.9%
【注意】偏向基数较大的（材料无基期，做题时用现期近似代替基期）。比
如男生平均分80分，女生平均分70分，总平均分在70～80分之间，更靠近70
还是80看人数。如果男生人数和女生人数一样多，则平均分是75分。如果男生
人数多，想象一个天平，天平会向男生倾斜，会更靠近80分，在75～80分之间。
如果女生人数多，天平会向女生倾斜，则在 70～75分之间。资料分析的材料一
般都不给基期量，给现期量，混合增长率一般是用来比一下大小，所以一般用现
期近似代替基期即可。
241.例1：100gA溶液浓度5%，100gB溶液浓度10%，混合之后浓度？
A.6% B.7.5%
C.9%
答：等量混合，取中点，选择B项。
2.例2：100gA溶液浓度5%，400gB溶液浓度10%，混合之后浓度？
A.6% B.7.5%
C.9%
答：B 溶液的量更多，混合后会从 7.5%更靠近 B溶液的 10%，在 7.5%～10%
之间，选择C项。
3.例：出口400万同比增速5%，进口100万同比增速10%，混合之后增速约？
A.6% B.7.5%
C.9%
答：混合后中点是7.5%，偏向量大的，靠近400万的5%，在5%～7.5%之间，
选择A项。
2018年H市完成邮电业务总量108.2亿元。其中，邮政业务总量40.8亿元，
同比增长26.5%；电信业务总量67.4亿元，同比增长56.7%。年末移动电话用户
达到 341 万户，其中，3G 移动电话用户达到 25.7 万户，4G 移动电话用户达到
241.4万户。全市互联网接入用户89.9万户，其中，新增互联网用户23.8万户。
【例3】（2021新疆兵团）2018年H市邮电业务总量同比增速在下列哪一个
范围内？
A.23%～41% B.41%～57%
C.57%～71% D.高于71%
【解析】3.问题时间与材料时间一致，是现期。“2018 年 H 市完成邮电业
务总量108.2亿元”，后面出现“其中”，有总分结构，邮电业务总量分为邮政
业务和电信业务，而且 40.8+67.4=108.2，是混合增长率，故总体增长率在
26.5%～56.7%之间，但是 A、B 项都和这个区间都有一段交叉，26.5%对应40亿
元，56.7%对应67亿元，靠近大的67亿元这边，中点是（26.5%+56.7%）/2=41.6%，
偏向右边，在41.6%～56.7%之间，在B项内，选择B项。【选B】
2526【例 4】（2024 四川）2021 年 1～2 月，限额以下单位餐饮收入同比约增长
了：
A.67% B.71%
C.76% D.83%
【解析】4.餐饮收入有前缀，是限额以下，限额以下单位餐饮收入+限额以
上单位餐饮收入=总的单位餐饮收入，总的单位餐饮收入增长率 68.9%在中间，
限额以上单位餐饮收入增长率61.8%在左边，剩下的限额以下单位餐饮收入增长
率在右边，比 68.9%大，B、C、D 项都满足比 68.9%大。看偏向，限额以上单位
餐饮收入是1459亿，餐饮收入是7085亿，有和差关系，则限额以下单位餐饮收
入是5000+，靠近右边限额以下单位餐饮收入，离右边更近，用左边衡量，左边
距离是 68.9%-61.8%=7.1%，右边距离＜7.1%，限额以下单位餐饮收入增长率会
小于68.9%+7.1%=76%，选择B项。【选B】
27【注意】还可以代入，已经排除了A项，代入D项83%，左边距离是7.1%，
右边距离是14.1%，左边还更近，右边量大，应该右边更近，所以D项不对，排
除。代入 C 项，左边和右边距离都是 7.1%，说明左右两边一样重，右边量大，
应该右边更近，所以C项是不对的，排除，选择B项。
2020年，东部地区互联网业务收入11227亿元，同比增长14.8%，增速较上
年同期回落9个百分点。中部地区互联网业务收入448.1亿元，同比增长3.4%，
增速较上年同期回落 53.1个百分点。西部地区互联网业务收入 497.2 亿元，同
比增长6.9%，增速较上年同期回落15.2个百分点。东北地区互联网业务收入47.1
亿元，同比增长9.1%。
2020 年，互联网业务累计收入居前 5 名的广东（增长 5.2%）、北京（增长
21.5%）、上海（增长 20.9%）、浙江（增长 24.4%）和江苏（增长 8.0%）共完成
互联网业务收入10706亿元，同比增长15.1%，增速超过全国平均水平2.6个百
分点，占全国（扣除跨地区企业）比重达87.6%，占比较上年同期提高0.8个百
分点。
【例5】（2021联考）2020年，东部地区除广东、北京、上海、浙江和江苏
之外的省市互联网业务收入约比2019年：
A.增长9% B.增长19%
28C.减少9% D.减少19%
【解析】5.除什么之外也是矛盾关系，5 省市+除它们之外的=东部，“2020
年，东部地区互联网业务收入11227亿元，同比增长14.8%……2020年，互联网
业务累计收入居前 5 名的广东（增长 5.2%）、北京（增长 21.5%）、上海（增长
20.9%）、浙江（增长24.4%）和江苏（增长8.0%）共完成互联网业务收入10706
亿元，同比增长 15.1%”，混合增长率，总体居中，除它们之外的增长率＜14.8%
＜15.1%，做题还有一个常识角度，正常国家经济是稳中有升的，除了某些夕阳
产业可能下降，其他大部分都是增长的，所以 90%概率是增长的，A项大概率正
确。C、D 项为什么不对，可以通过精准计算明确排除。线段法，画一条线段，
14.8%写中间，前 5 名 15.1%写右边，剩下的写左边，量写下面，右边是 10706
亿，左边是东部-前 5 名≈11200-10700≈500，量之比是 500：10700≈1：20，
距离之比是 20：1，右边是 15.1%-14.8%=0.3%，20 份是 20*0.3%=6%，故？
=14.8%-6%=8.8%，最接近A项。【选A】
知识点强化——线段法（用于混合增长率的精确计算）
解题逻辑：
混合增长率的题目先用口诀“混合之后总体居中，偏向量大的”来解决（90%
以上）；
如果无法锁定唯一答案才需要用线段法计算
【注意】知识点强化——线段法（用于混合增长率的精确计算）。解题逻辑：
混合增长率的题目先用口诀“混合之后总体居中，偏向量大的”来解决（90%以
上）。如果无法锁定唯一答案才需要用线段法计算。
29线段法的运用口诀：
1.部分在两边，总体在中间；
2.距离和量成反比。
例：溶液 A克，浓度 a%；溶液 B 克，浓度 b%。混合后的溶液浓度为 x%（a
＜x＜b）
3分钟证明原理，感兴趣就听，不感兴趣就记操作
练习 1.A 溶液 100 克，浓度 10%；B 溶液 100 克，浓度 30%。混合后的溶液
浓度为多少？
练习 2.A 溶液 100 克，浓度 10%；B 溶液 200 克，浓度 40%。混合后的溶液
浓度为多少？
练习 3：全年消费 4000 元，同比增长 5%，上半年消费 1000 元，同比增长
2%，下半年消费3000元，问下半年消费同比增长率为多少？
【注意】线段法的运用口诀：
1.部分在两边，总体在中间；
2.距离和量成反比。
（1）例：溶液 A 克，浓度 a%；溶液 B 克，浓度 b%。混合后的溶液浓度为
x%（a＜x＜b）。
（2）原理（3分钟证明原理，感兴趣就听，不感兴趣就记操作）：（A*a%+B*b%）
/（A+B）=x%，A*a%+B*b%=A*x%+B*x%，合并同类项，B*b%-B*x%=A*x%-A*a%，去
掉百分号，B（b-x）=A*（x-a），（b-x）/（x-a）=A/B。如下图，画一条线段，
左边两个点的距离是x-a，右边两个点的距离是b-x，下面是A：B，距离和量成
反比。
303.练习：
（1）练习1.A溶液100克，浓度10%；B溶液100克，浓度30%。混合后的
溶液浓度为多少？
答：等量混合，混合后是20%，（10%+30%）/2=20%。画线段，把部分写两边，
小的在左边，大的在右边。左边是A溶液100g，浓度是10%；右边是B溶液100g，
浓度是30%。量之比是1：1，距离和量成反比，距离之比也是1：1，混完后中
点距离左边右边都是1份，混合后相当于在正中点，即20%。
（2）练习2.A溶液100克，浓度10%；B溶液200克，浓度40%。混合后的
溶液浓度为多少？
答：画线段，把部分写两边，小的在左边，大的在右边。左边是A溶液100g，
浓度是 10%；右边是B 溶液 200g，浓度 40%。量之比 A：B=1：2，距离之比写上
面是2：1，说明左边长度：右边长度=2：1，10%到40%的总长度是30%，左边是
20%长度，右边是10%长度，混合后是30%。
31（3）练习 3：全年消费 4000元，同比增长 5%，上半年消费 1000 元，同比
增长2%，下半年消费3000元，问下半年消费同比增长率为多少？
答：画线段，部分写两边，左边增长率是2%，右边增长率不知道，用“？”
表示，总体增长率在中间，5%。量标下面，2%对应1000元，？对应3000元，量
之比是1：3，距离之比是3：1，左边距离是5%-2%=3%正好对应3份，右边增加
1份对应1%，5%+1%=6%。
2019年，A地区社会消费品零售总额为6582亿元，同比增长6.7%……
2019 年 1～11 月，A 地区社会消费品零售总额为 5925 亿元，同比增长
6.3%……
【拓展】（2021 山东）2019 年 12 月，A 地区社会消费品零售总额同比增速
约为？
A.3% B.6%
32C.10% D.15%
【解析】拓展.给了 2019 年、2019 年 1～11 月，求 2019 年 12 月，混合增
长率，1～11月+12月=全年，混合后增长率即1～12月增长率6.7%居中，排除A、
B项，C、D项都大于6.7%，距离和量成反比，1～11月的零售总额约为5900亿，
12月的零售总额约为6582-5925=600+亿，5900：600+≈10：1，距离和量成反比，
距离之比是1：10，左边1份对应0.4%，则右边10份对应4%，所求为6.7%+4%=10.7%，
最接近C项。【选C】
【注意】线段法的运用口诀：
1.部分在两边，总体在中间；
2.距离和量成反比。
33【注意】截位直除时不要把截几位记错。
【注意】老师放的表格，竖着的是考点还有考情，横着有3列，识别、公式、
技巧，三者缺一不可，重点的地方都标了颜色。
【注意】增长率最核心的是比较的技巧。增长量最核心的是百化分，百化分
一定要把握住。
34【注意】平均数的增长量没有讲，联考 2020年考过一次，考频非常低，所
以课堂上没有讲，但是不难，A/B-A/B*[（1+b）/（1+a）]，化简后和两期比重
差的公式一样，但是不能用两期比重差的结论，因为平均数的增长量是具体值，
不是百分数，不会小于增速之差。
【注意】
1.年均增长率的计算考查非常少，上次考到是四五年前。
2.复习建议（最后再唠叨几句）。
（1）课程至少再看一遍，重点看不懂的地方，查缺补漏，不留死角。看到
能条理清晰的默写题型识别、公式、技巧为止。
（2）把每天上课的知识点、思维导图，手写整理成笔记。要求：根据我给
35的模板内容调整成自己的内容。
（3）找数与速算的练习：微信小程序搜“粉笔快练”，小程序是免费的，
没有广告和链接，纯福利。有4个模块，下面两部分是帮助做言语理解，上面两
部分提供给资料分析的，速算点进去是右边的界面，里面有很多内容，只练首位
计算和百化分与分数即可。
（4）基础扎实后，每天做 3～4 篇资料分析。不建议一天“50 篇”，细水
长流即可，反复巩固。4 篇 25 分钟就是普通人的水平，如果数学很强，可以定
到20分钟以内。注意：前期以正确率为主，准确率达到80%左右后掐时间。
（5）上课人数一直减少，很多人坚持不住。请你坚持，资料分析一定会提
高。
【答案汇总】
倍数1-5：DCBBD
特殊增长率：间隔增长率1-3：CDC；年均增长率1-3：BDC；混合增长率1-5：
C不选BAA
36遇见不一样的自己
Be your better self
37
