文档内容
方法精讲-资料 4
（笔记）
主讲教师：戚七
授课时间：2024.03.16
粉笔公考·官方微信方法精讲-资料 4（笔记）
资料分析 方法精讲4
学习任务：
1.课程内容：倍数与比值、特殊增长率
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第 193～201页
4.重点内容：
（1）倍数与增长率的相互转化
（2）间隔增长率的对应公式
（3）年均增长率的比较技巧
（4）混合增长率的两个结论
07 倍数与比值
08 特殊增长率
【注意】
1.本节课是资料精讲阶段最后一节课，包含两部分内容：倍数与比值（给比
例问题做收尾）、特殊增长率（对增长类知识的补充）。
2.最后会对资料分析进行一个整体梳理。
第七节 倍数与比值
基本术语：
倍数与比值用来表示两个量的相对关系。
A是 B的n倍：n=A/B。
A比 B增长（多）r倍：r=A/B-1。
A比 B的比值：A/B。
倍数：
1.倍数用来表示两者的相对关系。
12.问法区分：
（1）现期倍数。
（2）基期倍数。
【注意】倍数与比值：本质也是比例，是 A/B的形式，分子 A、分母B的增
长率对应a和b。
1.倍数用来表示两者的相对关系。
2.倍数考法简单，只考现期和基期，不考两期；可能在问法上设陷阱，审题
一定要注意看好问法。
倍数的问法区分
①A 是B的几倍：A/B
②A 比B增长（多、高）几倍：（A-B）/B=A/B-1
倍数=增长率+1
增长倍数=增长率
③A 超过B的 N倍→A＞B*N
【注意】倍数的问法区分：
1.A 是B的几倍：A/B。
2.A 比B增长（多、高）几倍：（A-B）/B=A/B-1。本质上可理解为增长率，
注意列式形式上有“-1”；倍数=增长率+1、增长倍数=增长率。例：r=70%→是
1.7倍→增长0.7 倍。
3.A 超过B的 N倍→A＞B*N：“超过”即“＞”，不存在任何加减关系，“A
超过B的 N倍”即 A/B＞N或A＞B*N。
倍数
1.现期倍数
2.基期倍数
一、现期倍数
现期倍数
2识别：问题时间与材料时间一致+A 是B的多少倍
题型：倍数=A/B
速算：截位直除
【注意】现期倍数：
1.识别：问题时间与材料时间一致（现期时间）+A是B的多少倍。
2.题型：倍数=A/B。
3.速算：截位直除。
【例1】（2023 广东）2021年广东农林牧渔业总产值约为9 年前的多少倍？
A.1.2 B.1.4
C.1.6 D.1.8
【解析】1.材料时间为 2021 年，出现“倍”字，要区分“是几倍”或“多
几倍”，题目问“为……多少倍”→是几倍。在表格中找数据列式：8305.8/4550，
选项差距大，截两位计算：8305.8/46，结果 18开头，选择D 项。【选D】
2023 年一季度，全国社会消费品零售总额 114922亿元，同比增长 5.8%，上
年四季度为下降 2.7%。按经营单位所在地分，城镇消费品零售额 99664 亿元，
增长 5.7%；乡村消费品零售额 15258 亿元，增长 6.2%。按消费类型分，商品零
售 102786 亿元，增长 4.9%；餐饮收入 12136 亿元，增长 13.9%。基本生活类商
品销售良好，限额以上单位服装鞋帽针纺织品类、粮油食品类商品零售额分别增
长 9.0%、7.5%。升级类商品销售大幅增长，限额以上单位金银珠宝类、书报杂
志类商品零售额分别增长13.6%、13.4%，全国网上零售额32863亿元，增长8.6%，
其中，实物商品网上零售额 27835 亿元，增长 7.3%，占社会消费品零售总额的
3比重为24.2%。
【例 2】（2023 重庆事业单位）按经营单位所在地分，2023 年一季度，城
镇消费品零售额约比乡村消费品零售额多多少倍？
A.4.5 B.5.5
C.6.5 D.7.5。
【解析】2.问题时间与材料时间一致，问“比……多多少倍”→A/B-1，找
数据，由“城镇消费品零售额 99664亿元；乡村消费品零售额 15258亿元”可列
式：A/B-1=99664/15258-1=6+-1=5+，选择 B项。【选B】
二、基期倍数
基期倍数
1.识别：问题时间在材料之前+A是 B的多少倍。
2.题型：
（1）没有给增长率：按照定义计算，基期 A/基期B。
（2）给增长率：A/B*[（1+b）/（1+a）]（同基期比重、基期平均数公式）。
3.速算（同基期比重、基期平均数速算）：
（1）选项差距大：所有数字截两位直除。
（2）选项差距小：
①计算 A/B（截位直除）。
②分析（1+b）/（1+a）与1的大小关系，结合选项确定答案。
【注意】基期倍数：
1.识别：问题时间在材料之前（过去的时间）+A是B的多少倍（倍数问法）。
2.题型：
（1）没有给增长率：按照定义计算→基期 A/基期B。
（2）给增长率：A/（1+a）÷[B/（1+b）]=A/B*[（1+b）/（1+a）]（同基
期比重、基期平均数公式）。
3.速算（同基期比重、基期平均数速算）：
（1）选项差距大：所有数字截两位直除。
（2）选项差距小：
4①计算 A/B（截位直除）。
②分析（1+b）/（1+a）与1的大小关系，结合选项确定答案。
2017 年，国内旅游市场高速增长，入出境市场平稳发展，供给侧结构性改
革成效明显。国内旅游人数50.01亿人次，比上年同期增长 12.8%；入出境旅游
总人数2.7亿人次，增长 3.7%；全年实现旅游总收入5.40万亿元，增长 15.1%；
全年全国旅游业对 GDP的综合贡献为9.13 万亿元，占 GDP总量的 11.04%；旅游
直接就业 2825 万人，旅游直接和间接就业 7990 万人，占全国就业总人口的
10.28%。
【例 3】（2021 浙江）2016 年，全国国内旅游人数约为入出境旅游总人数
的多少倍？
A.17 B.19
C.21 D.23
【解析】3.问题时间在材料时间之前→基期时间，问“为……多少倍”，题
型为基期倍数问题。找数据：“国内旅游人数 50.01 亿人次，比上年同期增长
12.8%；入出境旅游总人数 2.7亿人次，增长 3.7%”，列式：50.01/2.7*（1+3.7%）
/（1+12.8%），选项差距小，截三位，50.01/2.7=19-，（1+3.7%）/（1+12.8%）
＜1，故所求=19-*1-＜19，只有A项满足，选择 A项。【选A】
2020 年全国人口共141178万人，比 2010年增长了约5.38%。从地区分布上
看，2020 年东部地区人口占 39.93%，中部地区占 25.83%，西部地区占 27.12%，
东北地区占6.98%。与2010年相比，东部地区人口所占比重上升2.15个百分点，
中部地区下降0.79 个百分点，西部地区上升 0.22个百分点，东北地区下降 1.20
个百分点。
【例 4】（2022 青海）2010年，东部地区人口是东北地区人口的：
A.约 4.6倍 B.约5.7倍
C.约 6.5倍 D.约7.3倍
【解析】4.材料给 2020年，问题问 2010年，时间不一致，问过去，基期时
间；选项出现“倍”字，问的是“……是……的”，问是几倍→A/B，A 是东部
5地区人口、B 是东北地区人口。结合材料找数，“2020 年东部地区人口占
39.93%，……，东北地区占 6.98%。与 2010 年相比，东部地区人口所占比重上
升2.15 个百分点，……，东北地区下降 1.20个百分点”，给的是占比，没有给
具体量，占比都是针对于全国人口，总体相同，部分量之比=比重之比；求基期，
高减低加，所求=2010 年 A 的占比/2010 年 B 的占比=（39.93%-2.15%）/
（6.98%+1.2%）=37.78/8.18=4+，对应 A项。【选A】
【注意】
1.相同整体中，部分量之比=部分比重之比。
2.材料没有直接给 a和b，可以回归本质：基期 A/基期B。
【注意】倍数总结：题型识别上，关键是“倍”字。
1.A 是B+倍→A/B。
2.看到“倍”问法，往前看：
（1）是→直除。
（2）比……多→-1。
（3）超过→＞。
3.现在时间→现期倍数→直接除。
4.过去时间→基期倍数→A/B*[（1+b）/（1+a）]，套不了公式，直接“基
期A/基期 B”。
65.选项差距小速算：
（1）根据选项差距，截位直除 A/B。
（2）根据（1+b）/（1+a）与1的大小关系，结合选项选择。
6.相同整体中，部分量之间的倍数=部分所占比重之间的倍数。
【注意】上节课讲了比重、平均数共同的公式，倍数的公式也是通用的，A/B
是现期比例，A/B*[（1+b）/（1+a）]是基期比例。倍数不讨论两期，不会出现
两期倍数的题型。
第八节 特殊增长率
特殊增长率
1.间隔增长率
2.年均增长率
3.混合增长率
【注意】特殊增长率：无论是一般增长率还是特殊增长率，都属于增长率。
1.题型识别：增长+%，判定为增长率问题；增长+快/慢，为增长率比较问题。
2.常规能算的叫一般增长率，特殊增长率是材料给的数据不支持用常规方法
算，由于时间特殊或数据关系特殊，会有特殊技巧。
3.常见的考法有三类：
（1）间隔增长率（☆☆）：难度不高，考频还可以，知道公式算法即可。
（2）年均增长率（☆）：考频低，了解为主。
7（3）混合增长率（☆☆☆）：考频高，技巧性强。
一、间隔增长率
1.识别：常见中间隔一年，求增长率。
2.引例：2020 年比 2019 年收入增长率为 r，2019 年比 2018 年收入增长率
1
为r，问 2020年比 2018年收入增长率是多少？
2
【注意】间隔增长率：
1.识别：常见中间隔一年，求增长率。
2.引例：2020 年比 2019 年收入增长率为 r，2019 年比 2018 年收入增长率
1
为r，问 2020年比 2018年收入增长率是多少？
2
3.推导：假设 2018年的量为M，现期=基期*（1+r），则 2019 年=M*（1+r），
2
2020 年=M*（1+r ）*（1+r），求 2020 年比 2018 年的增长率，则 2020 年为现
2 1
期、2018年为基期，已知现期、基期，r=现期/基期-1=M*（1+r ）*（1+r ）/M-1=
2 1
（1+r）*（1+r）-1=1+r+r+r*r-1=r +r+r*r。
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
4.公式记忆：两个增长率之和（r+r ）+两个增长率之积（r*r）。
1 2 1 2
5.间隔增长率一般都是三个时间、中间隔一个，不会出现隔好几个的问法；
即考试中只会隔一个时间，只要知道隔一个时间的算法即可。
间隔增长率 r=r+r+r*r 速算思路：
1 2 1 2
1.优先计算 r+r，结合选项排除。
1 2
【练习 1】（2017联考）8.5%+36%+8.5%*36%≈（ ）
A.47.6% B.40.4%
C.34.5% D.27.6%
2.若 r、r 的绝对值均小于 10%（|r *r|＜1%），结合选项 r*r 可以忽略。
1 2 1 2 1 2
【练习 2】（2019广东）8.5%+6.6%+8.5%*6.6%≈（ ）
8A.13.7% B.15.7%
C.17.9% D.19.9%
3.排除无法确定答案——计算：一个不变，另一个百化分。
【练习 3】（2015北京）14.8%+10.1%+14.8%*10.1%≈（ ）
A.低于 20% B.20%～30%之间
C.30%～40%之间 D.高于40%
【注意】间隔增长率 r=r+r+r*r 速算思路：加法简单，重点放在加法上。
1 2 1 2
1.优先计算 r+r，结合选项排除。
1 2
练习 1：8.5%+36%=44.5%，后面还需要加乘积（正数），结果比 44.5%大，
选项中仅A项满足。
2.若 r、r 的绝对值均小于 10%（0.1-*0.1-=0.01-=1-%→|r *r|＜1%），结
1 2 1 2
合选项r*r 可以忽略。
1 2
练习 2：8.5%+6.6%=15.1%，乘积是正数，结果＞15.1%，排除 A项；8.5%、
6.6%都比 10%小，乘积=1-%，结果比15.1%大一点点（不到1%），对应 B项。
3.排除无法确定答案——计算：一个不变，另一个百化分。
（1）练习 3：14.8%+10.1%=24.9%，14.8%、10.1%均比 10%大，乘积不能忽
略，14.8%*10.1%≈14.8%*（1/10）=1.48%，所求≈24.9%+1.48%＜30%，选择 B
项。
（2）只需要对其中一个百化分，另一个保留百分号形式即可，如果将 14.8%
看成1/7、10.1%看成1/10，1/7*（1/10）=1/70，还要转化成百分数，反而浪费
时间。
间隔增长率：
1.识别：常见中间隔一年，求增长率。
2.公式：r=r +r+r*r。
1 2 1 2
3.速算：
（1）先计算 r+r，结合选项排除。
1 2
（2）r、r 的绝对值均小于 10%时，|r*r|＜1%（结合选项可忽略）。
1 2 1 2
（3）计算：百化分——把其中一个增长率转化为 1/n。
9【注意】间隔增长率：
1.识别：常见中间隔一年，求增长率。
2.公式：r=r +r+r*r。
1 2 1 2
3.速算：
（1）先计算 r+r，结合选项排除。
1 2
（2）r、r 的绝对值均小于 10%时，|r*r|＜1%（结合选项可忽略）。
1 2 1 2
（3）计算：百化分——把其中一个增长率转化为 1/n。
4.间隔增长率不一定是隔一年，比如 2013 年、2015 年、2020 年，可以求
2020年对2013年的增长率。总结：只要是 3 个时间点可以从前往后写出来，给
了前与中、中与后时间的增长率，就可以用间隔增长率公式。看起来像“笑脸”，
称为“笑脸公式”，只要 3个时间点之间能连成一个笑脸，就可以利用间隔增长
率分析。
5.不需要刻意区分 r 和r，因为在列式中的计算过程是完全一样的。
1 2
6.r 、r 对应的是谁：比如 2018年、2019年、2020年，给了 2018 年、2019
1 2
年、2020 年的增长率，此时应该用 2019 年、2020年的增长率，所要的增长率是
中比前、后比中的两个增长率。
10【例 1】（2019 山东）虽然 2014～2016 年间全国医疗卫生机构床位数增长
速度持续下滑，但 2016年床位数仍然比 2014年增加了：
A.12.26% B.10.87%
C.13.21% D.9.69%
【解析】1.逗号之前“虽然 2014～2016 年间全国医疗卫生机构床位数增长
速度持续下滑”没有用，增加+%，求增长率；2016年比2014年，2016年作为现
期、2014 年作为基期。
方法一：材料已知现期（2016 年）和基期（2014 年），r=（现期-基期）/
基期=（741-660.1）/660.1≈81/660.1，转化为 81/660，首位商 1、次位商 2，
对应A项。
方法二：2016 年和2014年中间间隔了 2015年，为间隔增长率问题；用 2016
年比 2015 年的增长率 5.6%、2015 年比 2014 年的增长率 6.3%，r
间
=6.3%+5.6%+6.3%*5.6%=11.9%+1-%，结果比 11.9%略大一点点，对应 A 项。【选
A】
2022 年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业超 3.5 万家，累计完成
软件业务收入 108126 亿元，同比增长 11.2%，增速较上年同期回落 6.5 个百分
11点。
【例 2】（2024 四川）2022 年，全国软件和信息技术服务业规模以上企业
累计完成软件业务收入约比2020年增长了：
A.16% B.23%
C.29% D.31%
【解析】2.问 2022年比2020年+增长+%，题型为间隔增长率问题。先找 2022
年、2021年的同比增长率，2022 年r=11.2%，2021年r=11.2%+6.5%=17.7%，间
隔 r=11.2%+17.7%+11.2%*17.7%=28.9%+11.2%*17.7%＞28.9%，排除 A、B 项，
11.2%*17.7%≈1/9*17.7%≈2%，所求=28.9%+2%=31.9%，与 D项最接近。【选 D】
题型延伸 1：间隔倍数
识别：间隔一年，求倍数
2020年工资同比增长了10%，2019年同比增长了20%。则2020年工资是2018
年的多少倍？
两步走：
①先求出间隔增长率
②间隔倍数=间隔增长率+1
倍数=增长率 r+1
增长倍数=增长率 r
【注意】题型延伸 1：间隔倍数。
1.识别：间隔一年，求倍数。
2.例：时间上还是 2020 年比 2018 年，问“是几倍”，间隔时间+倍数，间
隔倍数问题，倍数=r+1→间隔倍数=间隔 r+1，先求出间隔增长率，间隔
r=10%+20%+10%*20%=30%+2%=32%，间隔倍数=32%+1=1.32倍。
3.倍数=增长率 r+1；增长倍数=增长率 r。
4.两步走：
（1）先求出间隔增长率。
（2）间隔倍数=间隔增长率+1。
12题型延伸 2：间隔基期量
识别：间隔一年，求基期。
2020 年工资额是 4000元，2020年工资同比增长了 10%，2019 年同比增长了
20%。则 2018年工资是多少元？
两步走：
①先求出间隔增长率。
②间隔基期=现期量/（1+间隔增长率）
基期量=现期量/（1+增长率r）
【注意】题型延伸 2：间隔基期量。
1.识别：间隔一年，求基期。
2.例：给2020 年，问2018 年，是之前的时间，2020年和 2018年中间间隔
2019 年，间隔时间，问量是多少，求间隔基期量。r =10%+20%+10%*20%=32%，
间
基期量=现期量/（1+增长率 r）→间隔基期=现期/（1+间隔 r）=4000/（1+32%）
≈3000。
3.两步走：
（1）先求出间隔增长率。
（2）间隔基期=现期量/（1+间隔增长率）。
2018年全年全市保费收入 65.4亿元，增长 0.7%。其中，寿险业务保费收入
39.5 亿元，下降 5.1%；健康和意外险业务保费收入 9.1 亿元，增长 21.6%，增
速同比增加5个百分点；财产险业务保费收入 3.4亿元，增长 25.2%；车险业务
保费收入13.3亿元，增长1.8%。全年支付各类赔款及给付21.2亿元，增长5.3%。
其中，寿险业务保费赔付 11.0亿元，增长 1.4%；健康和意外险业务保费赔付 3.0
亿元，增长68.7%；财产险业务保费赔付 0.9亿元，增长5.7%；车险业务保费赔
付6.4亿元，下降 5.0%。
【例 3】（2021 新疆兵团）2016 年全年全市健康和意外险业务保费收入约
为多少亿元？
A.7.5 B.6.9
13C.6.4 D.6.1
【解析】3.问 2016年，材料给2018 年，问过去，为间隔的基期时间；问“……
亿元”，求间隔基期量。结合材料找“全市健康和意外险业务保费收入”，已知
r=21.6%，“增加”用减法，r=21.6%-5%=16.6%，间隔r=21.6%+16.6%+21.6%*16.6%
1 2
≈38.2%+21.6%*（1/6）=38.2%+3.6%=41.8%。间隔基期=现期/（1+间隔r）=9.1/
（1+41.8%），选项差距小，截三位，原式转化为 91/142，首位商 6、次位商4，
对应C项。【选 C】
【注意】间隔类题型：
1.间隔增长率（☆）：有三个时间点，增长率可以用“笑脸”形式连起来，
求出增长率，间隔 r=r+r+r*r。
1 2 1 2
2.间隔倍数：间隔增长率+1。
3.间隔基期：现期/（1+间隔r）。
4.间隔增长量：r =1/n，现期/（n+1）。
间
5.间隔平均数增长率：算出间隔 a、间隔 b，代入公式（a-b）/（1+b）。
二、年均增长率
1.识别：年均增长最快、年均增速排序；年均增长率为……。
2.例：2020 年收入 A 元，2017 年收入为 B 元。2017 年到 2020 年每年的同
比增长率均为r。
143.公式：（1+r）N=现期量/基期量，N为现期和基期的年份差。
4.技巧：比较：N相同，直接比较“现期量/基期量”（考查较多）。
5.年均增长率与年均增长量的年份差 N完全相同。
【回顾】年均增长问题——年份差 N的确定：年份差N=现期时间-基期时间
（没有差异）。
注：五年规划和江苏省考，基期均需往前推一年
【注意】年均增长率：考频不高，技巧性较强，了解思路很重要。年均增长
量是每年增长量相同，年均增长率是每年增长率相同。
1.识别：年均增长最快、年均增速排序；年均增长率为……。
2.例：2020 年收入 A 元，2017 年收入为 B 元。2017 年到 2020 年每年的同
比增长率均为r。2018年=B*（1+r）、2019 年=B*（1+r）*（1+r）=B*（1+r）²、
2020 年=B*（1+r）³=A→A/B=（1+r）³，A 是时间靠后的数据→现期，B 是时间
靠前的数据→基期，r为年均增长率，3=增长次数=年份差。
3.公式：（1+r）N=现期量/基期量，N 为现期和基期的年份差。年均增长率
与年均增长量的年份差 N完全相同（一般情况直接减、五年规划年份差为 5）。
154.技巧：比较（考查较多）→N 相同，直接比较“现期量/基期量”。年均
增长率问题本身考查不多，一般考查比较题型，比如给 2015～2018 年，问谁的
年均增长率大，时间段一样，现期、基期一致，说明年份差 N相同，r的大小只
受到“现期/基期”倍数的影响，故年均增长率大小比较问题，只需要比较“现
期/基期”的倍数大小。
【例 1】（2022 联考）关于中国部分钓具进出口贸易状况，能从上述资料中
推出的是：
A.2017～2020 年，进口额年均同比增速钓鱼竿快于钓线轮
B.略
C.略
D.略
【解析】1.A 项：问进口额年均同比增速。定位材料找钓鱼竿和钓线轮的进
口额数据，时间为 2017～2020 年，现期为 2020 年，基期为 2017 年，年份差相
同，比较“现期/基期”，钓鱼竿：5081/2184=2+，钓线轮：7623/1903=4+，即钓
鱼竿年均增速＜钓线轮年均增速，说法错误。【不选】
16【例 2】（2022 四川上）将①同城快递、②异地快递、③国际/港澳台快递
按2016～2019年业务年均增速（以2016 年为基期）从高到低排列，以下正确的
是：
A.①②③ B.①③②
C.③①② D.③②①
【解析】2.年均增速从高到低排列，给时间段 2016～2019 年，2019年为现
期、2016年为基期，n相同，直接看“现期/基期”倍数。①同城快递：110.4/74.1=1+，
②异地快递：510.5/232.5=2+，③国际/港澳台快递：14.4/6.2=2+，①最小，排
在最后，仅D项符合。【选 D】
【注意】给增长量和现期量，也可以直接比较“增量/基期”，“现期/基期”
与“增量/基期”大小关系一致。
年均增长率
识别：年均增长最快、年均增速排序；年均增长率为……
公式：（1+r）N=现期量/基期量，N 为现期和基期的年份差。
技巧：
1.计算：先算现期量/基期量，结合选项，利用平方数居中代入（考查较少）。
2.练习：（1+r）4=现期/基期≈2.4
A.10% B.15%
C.20% D.25%
173.必背平方数：11²=121；12²=144；13²=169；14²=196；15²=225；16²=256；
17²=289；18²=324；19²=361；21²=441。
【注意】年均增长率：
1.公式：（1+r）N=现期量/基期量，N 为现期和基期的年份差。不需要硬开
N次方，有技巧。
2.技巧：计算（考查较少）→先算“现期量/基期量”，结合选项，利用平
方数居中代入。
3.练习：（1+r）4=现期/基期≈2.4。
A.10% B.15%
C.20% D.25%
（1）答：（1+r）4=现期/基期≈2.4，居中代入（找中间比较整的数代入），
观察选项，15%和 20%比较居中，但是 20%比较整，因此比较好算，先代入 C 项：
（1+20%）4=1.24=1.44²＜1.5²=2.25＜2.4，说明（1+20%）4＜（1+r）4，即 20%
＜r，20%代小了，要选比 20%大的D项。
（2）居中代入，至少可以排除两个选项，如果只排除一个，就再代一次；
比如代入20%太大，排除 C、D项，再代入 10%，合适就选，小了就选 B项，最多
代两次可以出答案。
4.必背平方数（10²～21²）：11²=121；12²=144；13²=169；14²=196；15²
=225；16²=256；17²=289；18²=324；19²=361；21²=441。
（1）11²=121：一个数*11，错位相加。
（2）12²=144、21²=441，成对记忆。
（3）13²=169、14²=196，放在一起记，3²的尾数对应9，4²的尾数对应 6。
（4）15²=225、25²=625、35²=1225、45²=2025：尾数均为“25”；2=1*2、
6=2*3、12=3*4、20=4*5→十位数字*（十位数字+1），则 95²=9025→9*10=90，
后两位为25。
（5）16²=256=28=44，联想手机内存，尾数为 6（64、128、256、1024 中只
有256尾数为 6）。
（6）17²=289（尾数为 9，7*4=28）；18²=324（尾数为 4，8*4=32）；19²
=361（尾数为 1，9*4=36）。
18（7）19²=361，联想到361°的品牌。
【例 3】（2022 广东）2016—2018 年，我国国际重要湿地面积的年均增长
率约为：
A.25% B.30%
C.35% D.40%
【解析】3.年均增长率计算问题，考虑居中代入，年份差=2018-2016=2，（1+r
）²=104.24/61.68≈1.7，居中代入 B 项，1.3²=1.69≈1.7，刚好合适，选择
年均
B项。【选B】
【注意】如果四个选项分别为 A.25%、B.35%、C.45%、D.55%，此时代入30%
或者40%，再进行排除。
年均增长率
识别：年均增长最快、年均增速排序；年均增长率为……。
公式：（1+r）N=现期量/基期量，N 为现期和基期的年份差。
技巧：
比较（考查较多）：N相同，直接比较“现期量/基期量”。
计算（考查较少）：平方数居中代入
19【注意】年均增长率：
1.识别：年均增长最快、年均增速排序；年均增长率为……。
2.公式：（1+r）N=现期量/基期量，N为现期和基期的年份差。
3.技巧：
（1）比较（考查较多）：N相同，直接比较“现期量/基期量”。
（2）计算（考查较少）：利用平方数居中代入；如果选项特别小，都在 10%
以内，随便蒙一个。
三、混合增长率
题型识别：部分 +部分 =整体，增长率关系
1 2
识别口诀：量之间是相加关系，率之间是混合关系
【常见】
①固定搭配：进口+出口=进出口、房产+地产=房地产、邮政+电信=邮电、城
镇+农村=全国
②时间累计：如：一季度+二季度=上半年
③逻辑型：A+非A=整体。如：税收收入+其他收入=总收入，规模以上+规模
以下=整体量
混合口诀：
（1）整体增速居中但不正中
（2）偏向基期量较大的
（3）计算：增速差与基期量成反比
混合口诀：整体增速居中但不正中（最小 r＜整体r＜最大 r）
【补例 1】2019 年进口增长了 10%，出口增长了 20%，则进出口可能增长了
20多少？
A.8% B.9%
C.14% D.21%
【补例 2】2019 年进出口增长了 10%，出口增长了 20%，则进口可能增长了
多少？
A.8% B.12%
C.14% D.21%
【注意】混合增长率：考频高、技巧性强，重点是识别。
1.题型识别：部分 +部分 =整体（部分相加得到整体），增长率关系。
1 2
2.识别口诀：量之间是相加关系（部分和整体之间有加法关系），率之间是
混合关系。
3.常见：
（1）固定搭配：进口+出口=进出口、房产+地产=房地产、邮政+电信=邮电、
城镇+农村=全国。
（2）时间累计：一季度+二季度=上半年。
（3）逻辑型：A+非 A=整体。如：税收收入+其他收入=总收入、规模以上+
规模以下=整体量。
（4）男生人数+女生人数=全班人数，则男生增长率和女生增长率混合得到
全班增长率。
4.混合口诀：
（1）整体增速居中但不正中。
（2）偏向基期量较大的。
（3）计算：增速差与基期量成反比。
5.混合口诀 1：整体增速居中但不正中（最小 r＜整体 r＜最大 r）。理解：
课间喝水，有100 度的开水和0度的冰水，想要得到能喝的温水，需要两杯水混
合，结果一定是 0度～100度之间。
（1）例：2019 年进口增长了 10%，出口增长了 20%，则进出口可能增长了
多少？
A.8% B.9%
21C.14% D.21%
答：进口和出口满足量之间的加法关系，此时增长率之间满足混合关系，结
果介于10%～20%之间，排除A、B、D项，直接选 C项。
（2）例：2019 年进出口增长了 10%，出口增长了 20%，则进口可能增长了
多少？
A.8% B.12%
C.14% D.21%
答：已知出口和进出口的增长率，出口20%和进口r混合，混合后整体是10%。
因为混合后居中，说明进口和出口一个大于 10%、一个小于 10%，即进口 r＜进
出口（10%）＜出口（20%），只有A项满足。
2021 年，中国跨境电商交易规模达 14.2万亿元，占我国货物进出口总额的
比例为36.3%。其中出口跨境电商交易规模 11万亿元，同比增速 13.4%；进口跨
境电商交易规模 3.2万亿元，同比增速 14.3%。2017—2022年第一季度，中国跨
境电商领域共发生 262次投资，投资总金额 654.91亿元。
【例 1】（2023 山东）2021年，我国跨境电商交易规模同比增长：
A.12.8% B.13.4%
C.13.6% D.14.3%
【解析】1.问题时间与材料时间一致，求增长率。中国跨境电商（14.2）=
出口跨境电商（11）+进口跨境电商（3.2），即混合关系。混合后居中→介于
13.4%～14.3%，只有 C项满足。【选C】
22【例 2】（2022四川下）2019年1～2月，我国包裏寄递量比去年同期：
A.下降了不到 10% B.下降了10%以上
C.上升了不到 10% D.上升了10%以上
【解析】2.问题时间 2019年1～2月，材料已知一季度（1～3月）和3月，
1～2 月=1～3 月-3 月，因为量相加时率才混合，减法转化成加法，转化为 1～2
月+3月=1～3月。主体是包裏寄递量，已知 3月为-10.8%，一季度为-12.3%，根
据混合后居中，因为-10.8%＞-12.3%，则 r ＜-12.3%，对应 B项。【选B】
1～2月
2022 年，全国居民人均可支配收入 36883 元，比上年增长（以下如无特别
说明，均为同比名义增长）5.0%。分城乡看，城镇居民人均可支配收入 49283
元，增长3.9%；农村居民人均可支配收入 20133元，增长 6.3%。2022年，全国
居民人均消费支出 24538 元，比上年增长 1.8%。分城乡看，城镇居民人均消费
支出30391 元，增长 0.3%；农村居民人均消费支出 16632元，增长 4.5%。
23【例 3】（2023 广东）2022 年，全国居民人均收支盈余比上一年：（注：
收支盈余=收入-消费支出）
A.增加了约 5% B.减少了约5%
C.增加了约 12% D.减少了约12%
【解析】3.收支盈余=收入-消费支出→收入=收支盈余+消费支出，量相加、
率混合，收入的增速 5%，消费支出的增速 1.8%，混合后居中，故收支盈余的增
速大于 5%，肯定是正的，排除 B、D项；选择比 5%大的，只有C 项满足。【选 C】
混合口诀：
（2）偏向基期量较大的（哪个部分的基期量大，整体的增速就离谁近）
注：做题时一般用现期量近似代替基期量进行判断
【补例 3】2019 年出口额1500亿元，增长了 20%进口额1000 亿元，增长了
25%。则进出口总额增长了约多少？
A.19% B.22%
C.24% D.26%
【注意】混合口诀 2：混合后居中但不正中，偏向基期量较大的（哪个部分
的基期量大，整体的增速就离谁近）。
1.例：一杯 100 度的开水和一桶 0 度的冰水混合，混合后温度非常接近 0
度。如果是一杯 100度的开水和一滴 0度的冰水混合，0度的冰水对整体影响不
大，混合后温度非常接近 100度。
2.补例 3：利用混合后居中，20%和 25%混合，结果介于 20%～25%之间，排
除 A、D 项。偏向于（基期）量大的一方，即 1500/（1+20%）和 1000/（1+25%）
比较，因为题目中很少给基期，多数给现期，如果每道题都用“现期/（1+r）”
计算基期比较慢，从真题经验出发，多数题目一般用现期代替基期量分析即可。
现期比较，1500亿＞1000亿，混合后偏向于 1500亿（出口），正中间=（20%+25%）
24/2=22.5%，结果介于 20%～22.5%之间，对应 B项。
3.注：做题时一般用现期量近似代替基期量进行判断。先计算平均值，然后
向一侧偏，最后选答案。
2018年H市完成邮电业务总量108.2亿元。其中，邮政业务总量40.8亿元，
同比增长26.5%；电信业务总量 67.4亿元，同比增长 56.7%。年末移动电话用户
达到 341 万户，其中，3G 移动电话用户达到 25.7 万户，4G 移动电话用户达到
241.4万户。全市互联网接入用户 89.9万户，其中，新增互联网用户 23.8万户。
【例 4】（2021 新疆兵团）2018 年 H 市邮电业务总量同比增速在下列哪一
个范围内？
A.23%～41% B.41%～57%
C.57%～71% D.高于71%
【解析】4.问题时间 2018 年，问同比增速，主体 H 市邮电业务总量，只给
了现期量，无法直接求。材料中给出邮政和电信，邮政+电信=邮电，考虑混合。
根据混合后居中，结果介于 26.5%～56.7%之间，排除C、D项。观察量，邮政 40.8
＜电信 67.4，混合后偏向电信（56.7%），中间值=（26.5%+56.7%）/2≈41%，
所以结果介于41%～56.7%之间，对应B 项。【选B】
【拓展】（2024 国考）2023 年3月，我国机器人设备出口金额 0.7亿美元，
较上年增长 110.3%，进口金额 2.4 亿美元，较上年增长 68.5%。2023 年 1~3 月
我国机器人设备累计出口金额 1.9亿美元，较上年增长 62.1%，累计进口金额 6.9
亿美元，较上年增长 55.1%。
2023 年一季度，我国机器人设备进出口贸易逆差比上年同期：
25A.下降了不到 30% B.下降了30%以上
C.上升了不到 30% D.上升了30%以上
【解析】拓展.上升/下降+%，求增长率。材料没有给出逆差的数据，给出口
和进口，逆差=进口-出口→进口=出口+逆差，结合材料找数据，r =62.1%，r
出口
=55.1%，混合后居中，则62.1%＞55.1%＞r ，选项均符合；再根据偏向量大
进口 逆差
的，逆差=6.9-1.9=5 亿，偏向 5 亿，即右边离得近，左边离得远，左边距离为
62%-55%=7%，右边离得近→右边离不到 7 个点，r =55%-7-%=48+%，对应 D 项。
逆差
【选D】
混合增长率方法拓展——线段法（分析过程理解即可）
1.引例 1：浓度为 13%的溶液 A 克与浓度为 23%的溶液 B 克，混合后的浓度
为17%。求 A：B。
2.线段法口诀：混合之前写两边，混合之后写中间。距离和量成反比，根据
份数具体算。
3.距离指混合前和混合后的距离（也就是比例间作差）。
4.引例 2：浓度为 X%的溶液 200 克与浓度为 23%的溶液 50 克进行混合，混
合后的浓度是15%。求X。
5.引例 3：浓度为 13%的溶液 200 克与浓度为 23%的溶液 300 克进行混合。
求混合后的浓度。
【注意】混合增长率方法拓展——线段法（分析过程理解即可）：学霸养成
课会有专项课程，非常详细地讲解了原理和和应用条件。
1.线段法口诀：混合之前写两边，混合之后写中间。距离和量成反比，根据
份数具体算。
262.距离指混合前和混合后的距离（也就是比例间作差）。
3.引例 1（混合前推混合后的比例）：混合之前写两边（13%、A写左边，23%、
B写右边），混合之后（17%）写中间。距离与量成反比：距离就是比例的差值，
17%-13%=4%，23%-17%=6%，距离之比是 4%/6%=4/6=2/3；量对应比例的分母，所
以量（溶液）之比是 3/2=A/B。拓展——根据份数具体算：假设混合后是 100g，
按照3：2分，一共 5份，其中 1份对应 20g，所以3份就是60g，2份就是40g。
4.引例 2（混合后推混合前）：混合之前写两边（x%、200 和 23%、50），
混合之后（15%）写中间。距离与量成反比：右侧距离是 8%，左侧距离未知；量
之比已知，200/50=4/1，所以距离之比为 1/4，4份对应8%，则 1份对应2%，说
明x%和 15%相差 2%，利用混合后居中，说明 15%＞x%，则x%=13%。
5.引例 3（混合前推混合后的结果）：混合之前写两边（13%、200 和 23%、
300），混合之后（r）写中间。距离与量成反比：距离未知，已知量之比，200/300=2/3，
则距离之比为 3/2，不能确定 3 份和 2 份具体对应多少，整体看：一共有 5 份，
即 13%到 23%有 5 份，总距离=23%-13%=10%，10%对应 5 份，所以 1 份对应 2%，
则2份对应 4%，3份对应6%。所求=13%+6%=19%，或者所求=23%-4%=19%。
27混合口诀：
（3）计算：增速差与基期量成反比（线段法）
增速差（距离）：部分增速与整体增速的差值
注：做题时一般用现期量近似代替基期量进行计算
补例 4：2019 年进口额10亿元，增长了 20%；出口额40亿元，增长了 10%。
则进出口总额增长了约多少？
A.17.2% B.15.3%
C.13.5% D.11.9%
【注意】混合口诀：
1.补例 4：混合前写两边（20%、10，10%、40），混合后居中，偏向量大的
一边，中间值是 15%，结果介于10%～15%之间，排除A、B项。距离与量成反比：
增速差就是距离，严谨的“量”是比例的分母，r=增长量/基期量，所以是与基
期量成反比，但多数题目可以用现期量代替，量之比为 10/40=1/4，反比就是 4/1，
整体观察，一共是 1+4=5份，对应 20%-10%=10%，1份对应2%，所求=10%+2%=12%，
与D项最接近，当选。
2.误差来源：用现期量代替基期量会产生误差，根据真题数据分析，误差不
会很大，从经验来讲，选接近的结果即可。
混合增长率
题型识别：部分 +部分 =整体，增长率关系
1 2
识别口诀：量之间是相加关系，率之间是混合关系
速算口诀
（1）整体增速居中但不正中
（2）偏向基期量较大的
28（3）计算：增速差与基期量成反比。
注：
（1）做题时一般用现期量近似代替基期量。
（2）增速差：部分增速与整体增速的差值。
【注意】混合增长率：
1.题型识别：部分 +部分 =整体，增长率关系。
1 2
2.识别口诀：量之间是相加关系，率之间是混合关系。
3.速算口诀：能分析优先分析，利用前两条，能排除优先排除，能不动笔尽
量不动笔，不能排除再计算。
（1）整体增速居中但不正中。
（2）偏向基期量较大的。
（3）计算：增速差与基期量成反比。
4.注：
（1）做题时一般用现期量近似代替基期量。
（2）增速差：部分增速与整体增速的差值。
【注意】增长率问法小结：增长率考法很多，很丰富。
1.识别：增长/下降+%；增长/下降+快慢。
2.公式：r=增长量/基期量。
3.有三个时间，可以出现笑脸，考查间隔增长率，公式：r=r+r+r*r。
1 2 1 2
4.好多个年份，每年增长率都是 r，考查年均增长率（或者直接问年均增长
29率），公式：（1+r）N=现期/基期。
5.量之间满足①+②=③，此时率考虑混合，方法：混合后居中，偏向量大的
一方，增速差与基期量成反比（能分析先分析，最后再计算）。
6.出现平均/每/单位+增长/下降+%，考查平均数的增长率，公式：r=（a-b）
/（1+b）。
【练 1】（2019 广东）2018 年，我国全社会用电量 68449 亿千瓦时，同比
增长 8.5%，增幅同比提高 1.9 个百分点。具体来看，第一产业用电量 728 亿千
瓦时，同比增长 9.8%；第二产业用电量 47235 亿千瓦时，同比增长 7.2%；第三
产业用电量 10801 亿千瓦时，同比增长 12.7%；城乡居民生活用电量 9685 亿千
瓦时，同比增长 10.4%。
2018 年，我国全社会用电量较 2016 年增加了约：
A.13.7% B.15.7%
C.17.9% D.19.9%
【解析】练 1.2018 年和 2016 年中间间隔一年，问增加+%，求间隔增长率。
已知“2018 年，我国全社会用电量 68449 亿千瓦时，同比增长 8.5%，增幅同比
提高1.9 个百分点”，r =8.5%，r =8.5%-1.9%=6.6%，r =8.5%+6.6%+8.5%*6.6%。
1 2 间
两个数都不到 10%，乘积（不到 1%）可以忽略不计，r ≈15.1%+1-%，结果略大
间
于15.1%，对应B 项。【选B】
30【练 2】（2017 山东）合并计算 2016 年 1 季度营业收入最高的两个产业，
其营业收入总体增速最接近以下哪个数字？
A.4.4 B.5.1
C.5.7 D.6.4
【解析】练 2.“合并计算”就是相加，问“总体增速”。最高的两个产业
是工艺美术品和文化用品，量相加，率混合，考虑混合问题。混合后居中，结果
介于4.4%～6.3%之间，排除 A、D 项。看偏向，文化用品 6422＞工艺美术品 3272，
中间值=（4.4%+6.3%）/2=5.35%，偏向文化用品（6.3%），结果介于 5.35%～6.3%
之间，对应C项。【选 C】
【注意】
1.资料公式总结：很多人公式不熟，不知道什么时候用哪个公式（不会审题），
所以从审题开始梳理。
（1）审题：先看时间+问题，判断基础题型，比如是现期还是基期，增长量
还是增长率。
（2）再看主题词，有两类情况：①一个词：对应一个量，比如产量、面积；
②两个词：有连接，比如占、均、倍，考查比例问题。
31（3）现期量：
①量的两种表达形式：基期+增长量，基期*（1+r）。
②比例：A/B。
（4）基期量：
①量的两种表达形式：现期-增长量，现期/（1+r）。
②比例：A/B*（1+b）/（1+a）。
（5）增长量：
①量的两种表达形式：现期-基期；如果已知现期量和增长率，百化分，
|r|=1/n，现期/（n±1）。
②比例：A/B*（a-b）/（1+a）。
（6）r：
①量：增长量/基期量。
②比例——平均数增长率：（a-b）/（1+b）。
2.复习建议（最后再唠叨几句）：
（1）课程至少再看一遍（听一遍肯定不够），重点看不懂的地方，查缺补
漏，不留死角。
（2）把每天上课的知识点、思维导图，手写整理成笔记，截图不属于自己，
一定要手写强化记忆。建议格式：①题型特征；②公式/方法；③速算技巧。
（3）整理笔记后，每天做题。要求：前 30 天每天 10～15 道单题：按照单
个知识点刷题，速度不是问题，以做对为目标，目标正确率90%以上；30天后每
天 2～3 篇资料：限定时间，目标平均 7 分钟一篇，开始比较慢，逐渐提速，考
试中建议三篇资料 18～25分钟，正确率 80%以上。
（4）请你坚持到考前，资料分析一定会有质的提高。
3.寄语：曾经的“基期”都随它而去，未来的“现期”有无限可能。心态稳、
肯坚持，每天保持“持续增长”，多刷题，多总结，成绩提高才能“大大则大”。
不随波逐流做“平均数”，“混合平均”才会偏向你。最后，祝每位同学在公考
路上都能成为“比重”的分子！
4.作业：
（1）梳理公式、整理笔记，及时回顾。
32（2）今年的岸上，你们一个都不许少。
【答案汇总】
第七节：倍数与比值 1-4：DBAA
第八节：特殊增长率：间隔增长率 1-3：ADC；年均增长率 1-3：不选/DB；
混合增长率1-4：CBCB
33遇见不一样的自己
Be your better self
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