中考总复习：图形的变换--知识讲解（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_45中考总复习：图形的变换（基础）

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中考总复习：图形的变换--知识讲解（基础）
撰稿：赵炜 审稿：杜少波
【考纲要求】
1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两
次轴对称后的图形；
3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.
4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；
5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、平移变换
1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平
移，平移不改变图形的形状和大小．
【要点诠释】
（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的
变换；
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形
平移的依据；
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而
不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相
同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的
线段平行且相等，对应角相等．
【要点诠释】
（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；
（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又
可作为平移作图的依据．
考点二、轴对称变换
1．轴对称与轴对称图形
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条
直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.
轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图
形.
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2．轴对称变换的性质
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
3．轴对称作图步骤
①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
考点三、旋转变换
1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角
叫做旋转角.
２．旋转变换的性质
图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应
点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程
中，图形的形状、大小都没有发生变化.
３．旋转作图步骤
①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.
②分析所作图形，找出构成图形的关键点.
③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应
点.
④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点.
４．中心对称与中心对称图形
中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称
或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．
中心对称图形：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中
心对称图形.
5．中心对称作图步骤
① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.
② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
【要点诠释】
图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求；
②分析设计图案所给定的基本图案；
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；
④对图案进行修饰，完成图案.
【典型例题】
类型一、平移变换
1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，
得到图2，则阴影部分的周长为____________.
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【思路点拨】
根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线
段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．
【答案与解析】
∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，
∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；
【总结升华】
此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，
OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】如图，将边长为 的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方
2
形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
1 1
A. 2 B. C.1 D.
2 4
【答案】B.
ABC AB  AC, ABC
2．如图（1），已知 的面积为3，且 现将 沿CA方向平移CA长度得到
EFA .
（1）求ABC所扫过的图形面积；
（2）试判断，AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若 求AC的长.
BEC 15,
B F
E
C A（）
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【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S =S =S ，从而便可得到四边形CEFB
△EFA △BAF △ABC
的面积；
（2）由已知可证得平行四边形EFBA为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF与BE的位置关系
为垂直；
（3）作BD⊥AC于D，结合三角形的面积求解．
【答案与解析】（1）由平移的性质得
AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC
∴四边形AFBC为平行四边形
S =S =S =3
△EFA △BAF △ABC
∴四边形EFBC的面积为9；
（2）BE⊥AF
证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形
∴BF∥AC，且BF=AC
又∵AE=CA
∴BF∥AE且BF=AE
∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC
∴AB=AE
∴平行四边形EFBA为菱形
∴BE⊥AF；
（3）如上图，作BD⊥AC于D
∵∠BEC=15°，AE=AB
∴∠EBA=∠BEC=15°
∴∠BAC=2∠BEC=30°
∴在Rt△BAD中，AB=2BD
设BD=x，则AC=AB=2x
1 1
∵S =3，且S = AC•BD= •2x•x=x2
△ABC △ABC
2 2
∴x2=3
∵x为正数
∴x=
3
∴AC=2 ．
3
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计
算能力．
类型二、轴对称变换
3．生活中，有人喜欢把传送的便条折成某些形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)：
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如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为2 6 cm，宽为xcm，分别回答下列问题：
(1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围．
(2)如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴
对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)．
【思路点拨】可以实际动手折一折，看一看.
【答案与解析】
【总结升华】本题考查学生的动手操作能力，难点是得到纸条除去两端使用的纸条的长度．
举一反三：
【变式】用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）
所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝ 度.
A
B E
D
C
图（1）
图 （2）
【答案】∵∠ABC=(52)180o =108°，△ABC是等腰三角形，
5
∴∠BAC=∠BCA=36度．
4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a<b）．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ．（P在
BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，
使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM所在直线重合（如图3），折痕为MN．
（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．
（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，M N间的距离有何变
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化？请说明理由．
（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形
MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？
（1） （2） （3） （4）
【思路点拨】（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么
可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行．
（2）作出两直线间的距离．∵PM长相等，∠NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距
离不变．
（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解．
【答案与解析】
（1）PQ∥MN．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC．
∴∠AMP=∠MPC．
1
由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ= ∠MPC，
2
1
∠NMP=∠AMN= ∠AMP，
2
∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．
（2）两折痕PQ，MN间的距离不变．
过P作PH⊥MN，则PH=PM•sin∠PMH，
∵∠QPC的角度不变，
∴∠C′PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．
又∵AD∥BC，
∴所有的PM都是相等的．
又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．
（3）当∠QPC=45°时，
四边形PCQC′是正方形，
四边形C′QDM是矩形．
∵C′Q=CQ，C′Q+QD=a，
∴矩形C′QDM的周长为2a．
同理可得矩形BPA′N的周长为2a，∴两个四边形的周长都为2a，与b无关．
【总结升华】翻折前后对应角相等，对应边相等，应注意使用相应的三角函数，平行线的判断，特殊四边形
的判定．
类型三、旋转变换
【高清课堂 图形的变换 例4】
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5．已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：
（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；
（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三
角形?
【思路点拨】因为△ABC是等边三角形，所以可以运用旋转将△BCO转至△ACD.
【答案与解析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD.
∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠BCO=∠ACD (∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°)
∵ BC=AC，OC=CD
∴ △BCO≌△ACD (SAS)
∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC
又∵OC=OD
∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形
∵ ∠AOB=110°, ∠BOC=135°
∴ ∠AOC=115°
∴ ∠AOD=115°-60°=55°
∵ ∠ADC=135°
∴ ∠ADO=135°-60°=75°
∴ ∠OAD=180°-55°-75°=50°
∴ 以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.
（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC
=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)
=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360°
∴∠AOD+∠ADO=130°
∴∠OAD=50°
当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°;
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当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°.
【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨
论思想．
6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接
EF．将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△EOF(如图2)．
1 1
(1)探究AE 与BF 的数量关系，并给予证明；
1 1
(2)当＝30°时，求证：△AOE 为直角三角形．
1
【思路点拨】(1)要证AE＝BF，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；
1 1
(2)要证△AOE 为直角三角形，就要考虑证∠EAO＝90°.
1 1
【答案与解析】(1)AE＝BF，证明如下：
1 1
∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF .
∵△EOF 是△EOF绕点O逆时针旋转角得到，∴OE＝OF.
1 1 1 1
∵ ∠AOB＝∠EOF＝900， ∴ ∠EOA＝900－∠FOA＝∠FOB.
1 1 1
OE＝OF
1 1
在△EOA和△FOB中， ，∴△EOA≌△FOB（SAS）.
1 1 EOA＝FOB 1 1
1 1


OA＝OB
∴ AE＝BF.
1 1
(2)取OE 中点G，连接AG.
1
∵∠AOD＝900，＝30° ，
∴ ∠EOA＝900－＝60°.
1
∵OE＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠EOA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.
1 1
∴ AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA＝30°.
1 1 1
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∴ ∠EAO＝90°.
1
∴△AOE 为直角三角形.
1
【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定.
举一反三：
【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).
(1)求∠APB的度数；
(2)求正方形ABCD的面积.
【答案】(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.
则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.
于是PB=QB=2a， .
在△PQC中，∵ ， .
∴ .
∴ .
∵ △PBQ是等腰直角三角形，
∴ ∠BPQ=∠BQP=45°.
故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.
(2)∵ ∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，
∴ 三点A、P、Q在同一直线上.
在Rt△AQC中， .
∴ 正方形ABCD的面积 .
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