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让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：图形的变换--巩固练习（提高）
撰稿：赵炜 审稿：杜少波
【巩固练习】
一、选择题
1．有下列四个说法，其中正确说法的个数是（ ）
①图形旋转时，位置保持不变的点只有旋转中心；
②图形旋转时，图形上的每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；
③图形旋转时，对应点与旋转中心的距离相等；
④图形旋转时，对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化．
A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个
2.在旋转过程中，确定一个三角形旋转的位置所需的条件是（ ）.
①三角形原来的位置；②旋转中心；③三角形的形状；④旋转角．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
3.下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为（ ）.
A B C D
4.如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（
）.
A、30° B、60° C、120° D、180°
5.如图,把矩形纸条 ABCD沿 EF，GH 同时折叠， B，C两点恰好落在 AD边的 P点处，若
， ， ，则矩形 的边 长为（ ）.
∠FPH 90 PF 8 PH 6 ABCD BC
A.20 B.22 C.24 D.30
第4题 第5题
6．如图,正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼
成如下图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）.
A．2 B．4 C．8 D．10
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二、填空题
7.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，点C落在点C的位置，则BC与BC之间
的数量关系是 ．
8.在RtABC中，∠A<∠B，CM是斜边AB上的中线，将ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰
好与AB垂直，那么∠A等于 度.
第7题 第8题
9.在Rt△ABC 中，BAC 90°，AB 3，M 为边BC上的点，连结 AM （如图所示）．如果将
△ABM 沿直线AM 翻折后，点B恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ．
10.如图，在ABC中，MN//AC，直线MN将ABC分割成面积相等的两部分，将BMN沿直线MN翻折，点B
恰好落在点E处，联结AE，若AE//CN，则AE:NC= .
第9题 第10题
11.如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC 边上，点F在AB边上，沿着EF 折痕，使点
A落在 边上的点 的位置，且 则 的长是 .
BC D ED BC, CE
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第11题 第12题
12.如图,在计算机屏幕上有一个矩形画刷ABCD，它的边AB＝l， ．把ABCD以点B为中心按顺时
针方向旋转60°，则被这个画刷着色的面积为________.
三、解答题
13. 如图（1）所示，一张三角形纸片 ， .沿斜边AB的中线CD把这线
ABC ACB 90,AC 8,BC 6
纸片剪成 和 两个三角形如图（2）所示.将纸片 沿直线 （AB）方向平移（点
AC D BC D AC D D B
1 1 2 2 1 1 2
始终在同一条直线上），当点 与点B重合时，停止平移，在平移的过程中， 与 交
A,D ,D ,B D C D BC
1 2 1 1 1 2
于点E， 与 分别交于点F，P.
AC C D ,BC
1 2 2 2
（1）当 平移到如图（3）所示的位置时，猜想图中 与 的数量关系，并证明你的猜想.
AC D D E D F
1 1 1 2
（2）设平移距离 为 ， 与 重叠部分的面积为 ，请写出 与 的函数关系式，以
D ,D x AC D BC D y y x
2 1 1 1 2 2
及自变量x的取值范围；
1
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x，使得重叠部分面积等于原ABC纸片面积的 ？若存在，请求
4
出x的值；若不存在，请说明理由.
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14.如图（1），在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A在第二象
限内，点B、点C在x轴的负半轴上，∠CAO=30°，OA=4.
（1）求点C的坐标；
（2）如图（2），将△AＢＣ绕点C旋转到△A′CB′的位置，其中A′C交直线OA于点E，A′B′分别交直线
OA、CA于点F、G，则除△A′B′C≌△AOC外，还有哪几对全等的三角形？请直接写出答案；
（3）在（2）的基础上将△A′CB′绕点C按顺时针方向继续旋转，当△COE的面积为 时，求直线
CE的函数表达式.
15.如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点
B、C不重合），过点D作直线 ＝－ ＋ 交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与 的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OABC，试探究OABC 与
1 1 1 1 1 1 1 1
矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
16．已知抛物线经过点 A(0，4)、B(1，4)、C(3，2)，与x轴正半轴交于点D．
(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
(3)在(2)的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折
得到△E′FG．设P(x，0)，△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x
的取值范围．
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【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】C．
2．【答案】A.
3．【答案】B.
4．【答案】B.
【解析】正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转60度的整数倍，就可
以与自身重合．则α最小值为60度．故选B．
5．【答案】C.
【解析】Rt△PHF中，有FH=10，则矩形ABCD的边BC长为PF+FH+HC=8+10+6=24，故选C．
6．【答案】B.
二．填空题
2BC BC
7．【答案】 .
8．【答案】30°.
9．【答案】2.
10．【答案】 :1.
2
【解析】利用翻折变换的性质得出BE⊥MN，BE⊥AC，进而利用相似三角形的判定与性质得出对应边之
间的比值与高之间关系，即可得出答案．
11.【答案】20-10 ．
3
【解析】∵AE=ED,在Rt△EDC中，∠C=60°，ED⊥BC∴ED= 3 EC,
2
∴CE+ED=（1+ 3 ）EC=5,∴CE=20-10 ．
3
2
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2
12．【答案】 3+ .
3
【解析】首先理解题干条件可知这个画刷所着色的面积=2S +S ，扇形的圆心角为60°，半径为
△ABD 扇形
2，求出扇形面积和三角形的面积即可．
三.综合题
13．【解析】(1)DE=DF．
1 2
∵CD∥CD，∴∠C=∠AFD．
1 1 2 2 1 2
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即CD=CD=BD=AD∴∠C=∠A，∴∠AFD=∠A
1 1 2 2 2 1 1 2
∴AD=DF．同理：BD=DE．
2 2 1 1
又∵AD=BD，∴AD=BD．∴DE=DF．
1 2 2 1 1 2
（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10．即AD=BD=CD=CD=5
1 2 1 1 2 2
又∵DD=x，∴DE=BD=DF=AD=5-x．∴CF=CE=x
2 1 1 1 2 2 2 1
24
在△BCD 中，C 到BD 的距离就是△ABC的AB边上的高，为 ．
2 2 2 2
5
设△BED 的BD 边上的高为h，由探究，得△BCD∽△BED，
1 1 2 2 1
h 5x
24(5x)
∴ 24 5 ．∴h= ．
25
5
1 12
S = ×BD×h= （5-x）2
△BED1 1
2 25
又∵∠C+∠C=90°，∴∠FPC=90°．
1 2 2
4 3
又∵∠C=∠B，sinB= ，cosB= ．
2
5 5
3 4 1 6
∴PC= x，PF= x，S = PC×PF= x2
2 △FC2P 2
5 5 2 25
1 12 6
而y=S -S -S = S - （5-x）2- x2
△BC2D2 △BED1 △FC2P △ABC
2 25 25
18 24
∴y=- x2+ x（0≤x≤5）．
25 5
（3）存在．
1 18 24
当y= S 时，即- x2+ x=6，
△ABC
4 25 5
5
整理得3x2-20x+25=0．解得，x= ，x=5．
1 2
3
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5 1
即当x= 或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的 ．
3 4
14．【解析】 （1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，∴OC=2，
∴C点的坐标为（-2，0）．
（2）△A′EF≌△AGF或△B′GC≌△CEO或△A′GC≌△AEC．
（3）如图1，过点E 作EM⊥OC于点M．
1 1
∵S =1 CO•EM= 3 ，
△COE1 1
2 4
∴EM= 3 ．
1
4
2k b 0
1 1
∵在Rt△EMO中，∠EOM=60°，则 ，
1 1 1 3
k b
4 1 1 4
EM 1
∴tan60°= 1 ∴OM= ，
OM 4
∴点E 的坐标为（-1 ， 3 ）．
1
4 4
设直线CE 的函数表达式为y=kx+b，
1 1 1
3
k
1 7 3 2 3
解得 ．∴y= x+ ．
2 3 7 7
b
1 7
同理，如图2所示，点E 的坐标为（1 ，- 3 ）．
2
4 4
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2k b 0
2 2
设直线CE 的函数表达式为y=kx+b，则 ，
2 2 2 1 3
k b
4 2 2 4
3
k
2 9 3 2 3
解得 ．∴y=- x- ．
2 3 9 9
b
1 9
15．【解析】 （1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
3
若直线经过点A（3，0）时，则b= ,
2
5
若直线经过点B（3，1）时，则b= ,
2
若直线经过点C（0，1）时，则b=1,
3
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤ ，如图1，
2
此时E（2b，0）
1 1
∴S= OE•CO= ×2b×1=b；
2 2
3 5
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即 ＜b＜ ，如图2
2 2
3
此时E（3，b- ），D（2b-2，1），
2
∴S=S -（S +S +S ）
矩 △OCD △OAE △DBE
1 1 5 1 3
=3-[ （2b-2）×1+ ×（5-2b）•（ -b）+ ×3（b- ）]
2 2 2 2 2
5
= b-b2；
2
（2）如图3，设OA 与CB相交于点M，OA与CB 相交于点N，则矩形OABC 与
1 1 1 1 1 1 1 1
矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
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∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，
由题意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2-a）2+12，
5
∴a= ，
4
5
∴S =NE•DH= ．
四边形DNEM
4
5
∴矩形OABC 与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 ．
1 1 1
4
16.【解析】(1)抛物线的解析式为 ，点D(4，0)．
(2)点E( ，0)．
(3)可求得直线BC的解析式为 ．
从而直线BC与x轴的交点为H(5，0)．
如图1，根据轴对称性可知S =S ，
△E ′FG △EFG
当点E′在BC上时，点F是BE的中点．
∵ FG//BC，
∴ △EFP∽△EBH．
可证 EP=PH．
∵ E(-1，0)， H(5，0)，
∴ P(2，0)．
(i) 如图2，分别过点B、C作BK⊥ED于K，CJ⊥ED于J，
则 ．
当-1＜x≤2时，
∵ PF//BC，
∴ △EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC．
∴ ，
∵ P(x，0)， E(-1，0)， H(5，0)，
∴ EP=x+1，EH=6．
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∴ ．
图2 图3
(ii) 如图3，当2＜x ≤4时， 在x轴上截取一点Q， 使得PQ=HP，
过点Q作QM//FG， 分别交EB、EC于M、N．
可证S=S ，△ENQ∽△ECH，△EMN∽△EBC．
四边形MNGF
∴ ， ．
∵ P(x，0)，E(-1，0)，H(5，0)，
∴ EH=6，PQ=PH=5－x，EP=x+1，
EQ=6－2(5－x)=2x－4．
∴ ．
同(i)可得 ，
∴ ．
综上，
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