中考总复习：图形的变换--知识讲解（提高）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_46中考总复习：图形的变换（提高）

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：图形的变换--知识讲解（提高） 撰稿：赵炜 审稿：杜少波 【考纲要求】 1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质； 2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两 次轴对称后的图形； 3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质. 4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）； 5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平 移，平移不改变图形的形状和大小． 【要点诠释】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的 变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形 平移的依据； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而 不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据． 2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相 同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的 线段平行且相等，对应角相等． 【要点诠释】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又 可作为平移作图的依据． 考点二、轴对称变换 1．轴对称与轴对称图形 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条 直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图 形. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 2．轴对称变换的性质 ①关于直线对称的两个图形是全等图形. ②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线. ③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. ④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 3．轴对称作图步骤 ①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点． ②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. ４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕 所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分. 【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有 相似三角形，常用勾股定理. 考点三、旋转变换 1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角 叫做旋转角. ２．旋转变换的性质 图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应 点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程 中，图形的形状、大小都没有发生变化. ３．旋转作图步骤 ①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. ②分析所作图形，找出构成图形的关键点. ③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应 点. ④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 【要点诠释】 １．图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 2．平移、旋转和轴对称之间的联系 一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当 于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍. 【典型例题】 类型一、平移变换 1. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′． （1）证明△A′AD′≌△CC′B； （2）若∠ACB=30°，试问当点C′在线段AC上的什么位置时，四边形ABC′D′是菱形，并请说明理由． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 【思路点拨】 （1）根据已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B； （2）由已知可推出四边形ABC′D′是平行四边形，只要再证明一组邻边相等即可确定四边形ABC′D′是 1 1 菱形，由已知可得到BC′= AC，AB= AC，从而得到AB=BC′，所以四边形ABC′D′是菱形． 2 2 【答案与解析】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到， ∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC． ∴∠D′A′C′=∠BCA． ∴△A′AD′≌△CC′B． （2）解：当点C′是线段AC的中点时，四边形ABC′D′是菱形． 理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到， ∴C′D′=CD=AB． 由（1）知AD′=C′B． ∴四边形ABC′D′是平行四边形． 在Rt△ABC中，点C′是线段AC的中点， 1 ∴BC′= AC． 2 而∠ACB=30°， 1 ∴AB= AC． 2 ∴AB=BC′． ∴四边形ABC′D′是菱形． 【总结升华】本题考查了平移的性质特点以及全等的判定和菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确掌 握，考查学生综合运用数学的能力． 2．操作与探究： 1 （1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以 ，再把所得数对应的点向右平移1个单位， 3 得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点 A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示 的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合， 则点E表示的数是__________． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 （2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、 纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到 正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个 点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标． 【思路点拨】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为 a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解； （2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的 坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可． 【答案与解析】 1 （1）点A′：-3× +1=-1+1=0， 3 1 设点B表示的数为a，则 a+1=2，解得a=3， 3 1 3 设点E表示的数为b，则 b+1=b，解得b= ； 3 2 3 故答案为：0；3； . 2  1 a  2 -3am1    1 （2）根据题意得， ，解得 ， 3am2 m 2   0 an2   n2   设点F的坐标为（x，y）， ∵对应点F′与点F重合， 1 1 1 ∴ x+ =x， y+2=y，解得x=1，y=4，所以，点F的坐标为（1，4）． 2 2 2 【总结升华】耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键． 举一反三： 【变式】如图，若将边长为2cm的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC 翻折成等腰直角三角形后，再 抽出一个等腰直角三角形沿 移动，若重叠部分 的面积是 ，则移动的距离 等于 AC A'PC 1cm2 AA' . 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 【答案】根据题意得：AB∥A′B′，BC∥B′C′， ∴∠A′PC=∠B=90°， ∵∠A=∠CA′P=∠ACP=45°， ∴△A′PC是等腰直角三角形， ∵△A′PC的面积是1cm2， 1 ∴S = A′P•PC=1（cm2）， △A′PC 2 ∴A′P=PC= cm， 2 ∴A′C=2cm， 由于原等腰直角三角形的斜边是2 cm， 2 所以平移的距离是：2 -2（cm）． 2 类型二、轴对称变换 3．已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合. 2 (1)如果折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，AF  ，求DE的长； 3 (2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切， 求折痕FG的长． 【思路点拨】本题涉及到的知识点有翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；直线与圆的位置关系． 【答案与解析】 2 （1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF= ，∠D=90°． 3 2 1 根据轴对称的性质，得EF=AF= ．∴DF=AD-AF= ． 3 3 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 在Rt△DEF中，DE= 2 1 3 ． ( )2 ( )2  3 3 3 （2）设AE与FG交于O，取AD的中点M，连结并延长MO，交BC于N． 由轴对称的性质得AO=EO． ∴MN∥DE，MO=DE． ∵∠D=90°，AD∥BC， ∴四边形MNCD是矩形，MN=CD=AB=2．设DE=x，则ON=2-x． ∵△AED的外接圆与BC相切， ∴ON是△AED的外接圆的半径． ∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x． 在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2， 15 ∴12+x2=（4-x）2，解得x= 8 ． 15 1 17 ∴DE= 8 ，OE=2-2 x=16．由轴对称的性质得AE⊥FG． ∴∠FOE=∠D=90°． 又∵∠OEF=∠DEA， ∴△FEO∽△AED， FO OE  ∴ AD DE ． 17 15 17 ∴把OE=16，DE= 8 ，AD=2代入解得FO=30． 易证△FEO≌△GAO， 17 17 ∴FO=GO，∴FG=2FO=15，即折痕FG的长是15． 【总结升华】本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和 利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、 方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性． 举一反三： 【变式】如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的边上中点，将C点折至MN上， 落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ． （1）求MP的长； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 1 （2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于 . 3 【答案】（1）解：连接BP、PC，由折法知点P是点C关于折痕BQ的对称点． ∴BQ垂直平分PC，BC=BP． 又∵M、N分别为AD、BC边上的中点，且四边形ABCD是正方形， ∴BP=PC． ∴BC=BP=PC． ∴△PBC是等边三角形． 1 1 1 ∵PN⊥BC于N，BN=NC= BC= ，∠BPN= ×∠BPC=30°， 2 2 2 ∴PN= 3 ，MP=MN-PN=2 3 ． 2 2 （2）证明：由折法知PQ=QC，∠PBQ=∠QBC=30°． 在Rt△BCQ中，QC=BC•tan30°=1× 3 = 3 ， 3 3 ∴PQ= 3 ． 3 1 ∴以PQ为边的正方形的面积为 ． 3 4.已知：矩形纸片ABCD中，AB=26厘米，BC 18.5厘米，点E在AD上，且AE 6厘米，点P是 AB边上一动点，按如下操作： 步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN （如图（1）所示）； 步骤二，过点P作 交 所在的直线于点Q，连结QE（如图（2）所示）； PT  AB, MN （1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“＞”、“=”、“＜”号 ） 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 （2）如图（3）所示，将矩形纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P在A点时， 与 交于点 点的坐标是（ ， ）； PT MN Q , Q , 1 1 ②当 厘米时， 与 交于点 ， 点的坐标是（ ， ）； PA 6 PT MN Q Q 2 2 ③当 厘米时，在图（3）中画出 ， （不要求写画法）并求出 与 的交点 的坐 PA 12 MN PT MN PT Q 3 标； （3）点P在在运动过程中， 与 形成一系列的交点 ， …观察，猜想：众多的交点形成的图 PT MN Q , Q Q 1 2 3 象是什么？并直接写出该图象的函数表达式. y C D C M C 18 D B 12 Q E 6 （P）E Q 2 x A N P B O（A） 1 N 6 12 18 24B （1） （ 2） （3） 【思路点拨】（1）根据折叠的特点可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE． （2）过点E作EG⊥QP，垂足为G，则四边形APGE是矩形．设QG=x，则QE=QP=x+6．利用Rt△QEG中的勾 3 3 3 3 3 股定理可知x=9，QP=15．即Q（12，15）． 3 3 （3）根据上述的点的轨迹可猜测这些点形成的图象是一段抛物线，利用待定系数法可解得函数关系式：y= 1 x2+3（0≤x≤26）． 12 【答案与解析】 （1）由折叠的特点可知△NQE≌△NQP，所以PQ=QE． （2）①（0，3）；②（6，6）． ③画图，如图所示． 过点E作EG⊥QP，垂足为G，则四边形APGE是矩形． 3 ∴GP=6，EG=12． 设QG=x，则QE=QP=x+6． 3 3 3 在Rt△QEG中，∵EQ2=EG2+QG2 3 3 3 ∴x=9． ∴QP=15． 3 ∴Q（12，15） 3 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 （3）这些点形成的图象是一段抛物线． 1 函数关系式：y= x2+3（0≤x≤26）． 12 【总结升华】本题是一道几何与函数综合题，它以“问题情境--建立模型--解释、应用与拓展”的模式，通 过动点P在AB上的移动构造探究性问题，让学生在“操作、观察、猜想、建模、验证”活动过程中，提高动 手能力，培养探究精神，发展创新思维． 类型三、旋转变换 5．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜 边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF 绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q． （1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时AP•CQ的值为__________． 将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，则 AP•CQ的值是否会改变？（填“会”或“不会”）此时AP•CQ的值为__________．（不必说明理由） （2）在（1）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2、图3供解题用） （3）在（1）的条件下，PQ能否与AC平行？若能，求出y的值；若不能，试说明理由． 【思路点拨】（1）根据等腰直角三角形的性质可知∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，故可得出 △APD∽△CDQ，故可得出结论； （2）由于三角板DEF的旋转角度不能确定，故应分0°＜α≤45°与45°＜α＜90°时两种情况进行讨 论，即可求出MG及MQ的值，进而可得出结论； （3）在图（2）的情况下，根据PQ∥AC时，BP=BQ，即可求出x的值，进而得出结论． 【答案与解析】 （1）8，不会，8； ∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 ∴△APD∽△CDQ． ∴AP：CD=AD：CQ． ∴即AP×CQ=AD×CD， ∵AB=BC=4， ∴斜边中点为O， ∴AP=PD=2， ∴AP×CQ=2×4=8； 将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α． ∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°， ∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a， ∠CDQ=90°-a， ∴∠APD=∠CDQ． ∴△APD∽△CDQ． AP CD ∴ ，  AD CQ 1 ∴AP•CQ=AD•CD=AD2=（ AC）2=8． 2 （2）当0°＜α≤45°时，如图2，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N， ∵O是斜边的中点， ∴DM=DN=2， 8 ∵CQ=x，则AP= ， x 1 8 8 1 ∴S = • •2= ，S = x×2=x， △APD △DQC 2 x x 2 8 ∴y=8- -x（2≤x＜4）， x 当45°＜α＜90°时，如图3，过点D作DG⊥BC于G，DG=2 8 ∵CQ=x，AP= ， x 8 ∴BP= -4, x 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第10页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 BP BM ∵  ， DG MG 8 4 2x 即 x 2MG ，MG= ,  4x 2 MG ∴MQ= 2x +（2-x）= x2 4x8 , 4x 4x ∴y= x2 4x8 （0＜x＜2）； 4x （3）在图（2）的情况下， ∵PQ∥AC时，BP=BQ， ∴AP=QC, 8 ∴x= ，解得x=2 2 ， x 8 ∴当x=2 时，y=8- -2 =8-4 ． 2 2 2 2 2 【总结升华】本题考查的是相似三角形的判定与性质及图形旋转的性质，三角形的面积公式，根据题意作 出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 6 . 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l上，OA边与直线l重合，然后将 1 1 三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O 处，点B运动到了点B 处；小慧 1 1 又将三角形纸片AOB 绕点B 按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A 处，点O 运动到了点O 处 1 1 1 1 1 2 （即顶点O经过上述两次旋转到达O 处）． 2 小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即 和 OO 1 ，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l围成的图形面积等于 OO 1 1 2 扇形AOO 的面积、△AOB 的面积和扇形BOO 的面积之和． 1 1 1 1 1 2 小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l上，OA边与直线l重合， 2 2 然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O 处（即点B处），点C运动 1 到了点C 处，点B运动到了点B 处；小慧又将正方形纸片AOCB 绕顶点B 按顺时针方向旋转90°，……， 1 1 1 1 1 1 按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题： 问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运 动过程中所形成的图形与直线l围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶 2 点O经过的路程； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第11页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是_______________? 请你解答上述两个问题． 【思路点拨】求出正方形OABC翻转时点O的轨迹弧长, 再求面积即可.要理解的是第4n次旋转，顶点O 没有移动. 【答案与解析】 解：问题①：如图，正方形纸片经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段圆弧 ， OO , OO , O O 1 1 2 2 3 901 90 2  2 所以顶点O在此运动过程中经过的路程为 2 1 .   180 180 2    2 顶点 O在此运动过程中所形成的图形与直线l 围成图形的面积为9012 90 2 . 2 2 2111 360 360 901 90 2 3 2 正方形纸片经过5次旋转，顶点O运动经过的路程为： 3   .   180 180 2 2   问题②：∵ 正方形纸片每经过4次旋转，顶点O运动 901 90 2  2 经过的路程均为： 2 1 .   180 180 2   又 4120 2 20  1 2  ，而 是正方形纸片第4 n +1次旋转，顶点O运动经过的路程.   2  2  2 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第12页 共14页让更多的孩子得到更好的教育 4120 2 ∴正方形纸片OABC按上述方法经过81次旋转，顶点O经过的路程是 . 2 【总结升华】本题涉及到分类归纳，图形的翻转，扇形弧长和面积. 举一反三： 【变式】 如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一 边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一 个顶点与Q重合即停止滚动． (1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图； (2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S． N P C D B Q A(M) 【答案】(1) 点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图如图： 1  (2) 弧AA 与AD，AD围成图形的面积为： 圆的面积（半径为1）= ； 1 1 4 4 弧AA 与AD，DN，AN围成图形的面积为： 1 2 1 2 1  圆的面积（半径为 2 ）＋正方形的面积（边长为1）= 1； 4 2 弧AA 与AN，NA 围成图形的面积为： 2 3 2 3 36012090 5 5  圆的面积（半径为1）= ； 360 12 12 其他三块小面积分别与以上三块相同. ∴点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S为： 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第13页 共14页让更多的孩子得到更好的教育   5  7 . 2   1  = 2  4 2 12  3 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第14页 共14页