中考总复习：图形的相似--巩固练习（基础）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_37中考总复习：图形的相似（基础）

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：图形的相似--巩固练习（基础） 撰稿：赵炜 审稿：杜少波 【巩固练习】 一、选择题 １．（2011山东聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上， 如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 1 ，那么点B′的坐标是（ ）． 4 A．（3，2） B．（－2，－3） C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2） ２. 如图，△ABC中，BC=2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与 △ABC的面积之比为1:4。其中正确的有（ ）． A. 0个 B.1个 C. 2个 D. 3个 ３．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形． OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )． A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 A ① ② B ④⊙O D ③ ⊙o ⊙ o⊙ o ⊙ ⊙ C ４．现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两 条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形．其中真命题的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 ５．（2011山东东营）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中 心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共7页让更多的孩子得到更好的教育 B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）． 1 1 1 1 A． a B． (a1) C． (a1) D． (a3) 2 2 2 2 A y 1 B C -1 O 1 x B -1 ′ A ′ ６．如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交 BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的 是（ ）． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、填空题 7. 如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm， OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是________． 第7题 第9题 8. 如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长 ________，面积________． 9. 如图，在正三角形ABC中，D，E，F 分别是BC，AC ，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB， FD⊥BC ，则△DEF 的面积与△ABC的面积之比等于________． 10. 将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF． 已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是________． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共7页让更多的孩子得到更好的教育 第10题 第11题 11.已知线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为________． 12. 如图，不等长的两条对角线AC、BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若 AO BO 1   ，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有________． OC OD 2 三、解答题 13. 已知线段OA⊥OB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点． AP （1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求 的值； PC AD 1 （2）如图2，当OA=OB， = 时，求tan∠BPC； AO 4 A A P D D P O B C O B C 图 2 图 1 14. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE． 求证：（1）△DEF∽△BDE； （2）DGDF DBEF ． A D E G F B C 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共7页让更多的孩子得到更好的教育 15．如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D. (1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）； (2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线； (3)若过A，D，C三点的圆的半径为 3,则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形 与△BCO相似.若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由. C B A 16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直 角边经过点C，另一直角边交AB于点E．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立． （1）当∠CPD=30°时，求AE的长； （2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说 明理由． 【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】Ｄ． 2．【答案】Ｄ． 3．【答案】Ｂ； 【解析】由OA：OC-=0B：OD，利用对顶角相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求． 4．【答案】Ａ． 5．【答案】Ｄ； 【解析】∵点C的坐标是（-1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并 把△ABC的边长放大到原来的2倍．点B的对应点B′的横坐标是a， 1 ∴FO=a，CF=a+1，∴CE= （a+1）， 2 1 1 ∴点B的横坐标是：- （a+1）-1=- （a+3）．故选D． 2 2 6．【答案】Ｂ； 【解析】①根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AO≠BO，即可求得①错误； ②易证△AOE≌△COF，即可求得EO=FO； ③根据相似三角形的判定即可求得△EAM∽△EBN； 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共7页让更多的孩子得到更好的教育 ④易证△EAO≌△FCO，而△FCO和△CNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误． 二．填空题 1 7．【答案】 ． 2 8．【答案】90，270． 9．【答案】１:3; 【解析】首先根据题意求得：∠DFE=∠FED=∠EDF=60°，即可证得△DEF是正三角形，又由直角三角形中， 30°所对的直角边是斜边的一半，得到边的关系，即可求得DF：AB=1： ，又由相似三角形的面积比等 3 于相似比的平方，即可求得结果． 24 10．【答案】4， ． 7 BF CF 【解析】根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到  ，设BF=x，则CF=8-x，即可求 AB BC 出x的长，得到BF的长 11.【答案】 ． 12．【答案】甲和丙相似． AO BO 1 【解析】∵   ，∴AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，∴△AOB∽△COD． OC OD 2 故必有甲和丙相似． 三.综合题 13．【解析】 1 1 （1）过C作CE∥OA交BD于E，则△BCE∽△BOD得CE= OD= AD； 2 2 AP AD 再由△ECP∽△DAP得   2； PC CE （2）过C作CE∥OA交BD于E，设AD=x，AO=OB=4x，则OD=3x， 1 3 由△BCE∽△BOD得CE= OD= x， 2 2 PD AD 2 再由△ECP∽△DAP得   ； PE CE 3 5 PD 2 由勾股定理可知BD=5x，DE= x，则  ，可得PD=AD=x， 2 DEPD 3 CO 1 则∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=  。 AO 2 14．【解析】（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． ∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°． ∴∠BDE=∠CED． ∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共7页让更多的孩子得到更好的教育 A D E G F B C DB DE （2）由△DEF∽△BDE，得  ． DE EF ∴DE2 DBEF ． 由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE． ∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF． DG DE ∴  ． DE DF ∴ ． DE2 DGDF ∴DGDF DBEF ． 15．【解析】 （1）作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆. C P 2 P 1 A B O D （2）∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°. ∴AD是⊙O的直径 连结OC，∵∠A=∠B=30°, ∴∠ACB=120°, 又∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A=30°, ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO=120°-30°=90°. ∴BC⊥OC, ∴BC是⊙O的切线. （3）存在. ∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°, ∴∠BCD=∠B,即DB=DC. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共7页让更多的孩子得到更好的教育 又∵在Rt△ACD中，DC=ADsin30 3, ∴BD= 3. PD BD ①过点D作DP//OC，则△PDB∽△COB, 1  ， 1 1 CO BO ∵BO=BD+OD=2 3, BD 3 3 ∴PD= ×OC= × 3= . 1 BO 3 2 ②过点D作DP⊥AB,则△BDP∽△BCO, 2 2 P D BD ∴ 2  ， OC BC ∵BC＝ BO2 CO2 3, BD 3 ∴P D  OC   3 1. 2 BC 3 CD 16．【解析】（1）在Rt△PCD中，由tan∠CPD= ， PD CD 4 得PD=  =4 3， tanCPD tan30 ∴AP=AD-PD=10-4 ． 3 AE AP 由△AEP∽△DPC知，  , PD CD AP PD  ∴AE= =10 3-12． CD （2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=10-x． CD 由△AEP∽△DPC，知 =2． AP 4 ∴ =2，解得x=8． 10x 此时AP=4，AE=4符合题意． 故存在点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍，DP=8． 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共7页