中考总复习：图形的相似--巩固练习（提高）_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_38总复习：图形的相似（提高）

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：图形的相似--巩固练习（提高） 撰稿：赵炜 审稿：杜少波 【巩固练习】 一、选择题 1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离 为，则点P的个数为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则 S ：S 等于（ ）． △BCE △BDE A. 2：5 B. 14:25 C. 16:25 D. 4:21 3.（2011湖北荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC 于G，则图中相似三角形有（ ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 D C E F G A B P 4.如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次 是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长( )． A． B. C. D. 6 33 4 3 6 3 32 3 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 5．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交 AD 于点 F，连接 BD 交 CE 于点 G，连接 BE．下列结论中：① CE=BD②△ADC 是等腰直角三角形 ③∠ADB=∠AEB④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，△ABC中，CD AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（ ）． CD DB ①1A，②  ，③B290°，④BC∶AC∶AB 3∶4∶5，⑤ACBD ACCD AD CD A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7.如图已知△ABC的面积是 的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F， 3 则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）. 第7题 第8题 8. 已知三个边长分别为2、3、5的正三角形从左到右如图排列，则图中阴影部分面积为 ． 9.如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD= 60°，则CD的长为 ． 第9题 第10题 10．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 ． 11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 ， ，则 + 的值 为 ． 第11题 第12题 12.锐角△ABC中，BC＝6, 两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正 S 12, ABC 方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y ＞0）,当x ＝ ，公共部分 面积y最大，y最大值 ＝ , 三、解答题 13. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两 射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：如图甲所示，从点 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，AA 为第1根 1 2 小棒. 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答:_________.（填“能”或“不能”） （2）设AA=AA=AA=1. 1 1 2 2 3 ①=_____度； ②若记小棒A A 的长度为a（n为正整数，如AA=a,AA=a,）,求此时a，a 的值，并直接写出a（用 2n-1 2n n 1 2 1 3 4 2 2 3 n 含n的式子表示）. 活动二：如图乙所示，从点A 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中AA 为第1根小棒，且AA=AA. 1 1 2 1 2 1 数学思考： （3）若已经向右摆放了3根小棒，则 =___， =____， =____；（用含 的式子表示）     1 2 3 （4）若只能摆放4根小棒，求的范围. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 14. 如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定 △ABC，将△EFD绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的 情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC相似的三角形有及； （2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）； （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？ 15.已知:直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D．E，连结AD、BD、BE. (1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形. _____________________，______________________； (2)直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线 经过点A．B．D，且B为抛物线的顶点. y ax2 2ax3a(a0) ①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________； ②求抛物线的解析式； ③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 16．（2011上海）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边 12 AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP= ． 13 （1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长； （2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出 函数的定义域； （3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长． 图1 图2 备用图 【答案与解析】 一．选择题 1．【答案】B． 2．【答案】B． 3．【答案】C； 【解析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进 而证明△APG∽△BFP，再证明时注意图形中隐含的相等的角． 4．【答案】B． 5．【答案】Ｄ； 【解析】①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD， ②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形； ③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB； ④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，进而得出△CGD∽△EAF，得 出比例式． 6．【答案】Ｃ； 【解析】①因为∠A+∠2=90°，∠1=∠A，所以∠1+∠2=90°，即△ABC为直角三角形，故正确； AD CD ②根据CD2=AD•DB得到  ，再根据∠ADC=∠CDB=90°，则△ACD∽△CBD，∴∠1=∠A，∠2=∠B， CD DB 根据三角形内角和定理可得：∠ACB=90°，故正确； ③因为∠B+∠2=90°，∠B+∠1=90°，所以推出∠1=∠2，无法得到两角和为90°，故错误； ④设BC的长为3x，那么AC为4x，AB为5x，由9x2+16x2=25x2，符合勾股定理的逆定理，故正确； ⑤由三角形的相似无法推出AC•BD=AD•CD成立，所以△ABC不是直角三角形，故错误． 所以正确的有三个．故选C． 二．填空题 7．【答案】3 3 ． 4 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 8．【答案】 3 ． 8 2 9．【答案】 ； 3 【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°， ∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD， ∵∠APD=60°，∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，∴∠APB=∠PDC， 又∵∠B=∠C=60°，∴△ABP∽△PCD， AB BP 3 1 ∴  ，即  ， PC CD 2 CD 2 ∴CD= ． 3 10．【答案】７； 【解析】根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来， 利用对应边的比相等，即可推出x的值答题． 11.【答案】17； 【解析】如图，设正方形S 的边长为x， 2 根据等腰直角三角形的性质知，AC= x，x= CD， 2 2 ∴AC=2CD，CD=2，∴EC2=22+22，即EC=2 ，∴S 的面积为EC2=8， 2 2 ∵S 的边长为3，S 的面积为3×3=9， 1 1 ∴S+S=8+9=17． 1 2 12．【答案】3；6． 三.综合题 13．【解析】 （1）∵根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上， ∴小棒能继续摆下去． 故答案为：能； （2）①∵AA=AA，AA⊥AA， 1 2 2 3 1 2 2 3 ∴∠AAA=45°， 2 1 3 ∴∠AAA+∠θ=45°， 2 1 ∵∠AAA=∠θ， 2 1 ∴∠θ=22.5°； ②∵AA=AA=AA=1，AA⊥AA 1 1 2 2 3 1 2 2 3 ∴AA= ，AA=1+ 1 3 3 2 2 又∵AA⊥AA 2 3 3 4 AA∥AA 1 2 3 4 同理；AA∥AA 3 4 5 6 ∴∠A=∠AAA=∠AAA=∠AAA 2 1 4 3 6 5 ∴AAAA，AA=AA 3 3 4 5 5 6 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 ∴a=AA=AA=1+ 2 3 4 3 2 a=AA+AA=a+AA 3 3 3 5 2 3 5 ∵AA= a 3 5 2 2 ∴a=AA=AA=a+ a=( +1)2 3 5 6 5 2 2 2 2 ∴a=( +1)n-1； n 2 （3）∵AA=AA 1 2 1 ∴∠AAA=∠AAA=θ 1 2 2 1 ∴∠AAA=θ=θ+θ 2 1 3 1 ∴θ=2θ 1 同理可得：θ=3θ 2 θ=4θ； 3 （4）如图： ∵AA=AA， 4 3 4 5 ∴∠AAA=∠AAA=4θ， 4 3 5 4 5 3 ∵∠AAA+∠AAA+∠AAA=180°， 4 3 5 4 5 3 3 4 5 ∴4θ+4θ+∠AAA=180°， 3 4 5 ∴∠AAA=∠AAA=4θ＜90°， 4 3 5 4 5 3 ∵根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质， 当∠AAB是钝角或直角时，不能继续摆放小棒了， 5 4 ∴∠AAB=5θ是钝角或直角时，只能摆放4根小棒， 5 4 ∴5θ≥90°， 5≥900 即 ，  4900 ∴18°≤θ＜22.5°． 故答案为：能，22.5°，2θ，3θ，4θ． 14．【解析】（1）△HGA及△HAB； （2）由（1）可知△AGC∽△HAB ∴CG AC ，即 x 9 ，   AB BH 9 y 81 所以，y  x 1 （3）当CG＜ BC 时，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 ∵AG＜AC，∴AG＜GH 又AH＞AG，AH＞GH 此时，△AGH不可能是等腰三角形； 1 当CG= BC 时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形； 2 9 9 此时，GC= 2，即x= 2 2 2 1 当CG＞ BC 时，由（1）可知△AGC∽△HGA 2 所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH，则AC=CG，此时x=9 9 综上，当x=9或 2时，△AGH是等腰三角形． 2 15．【解析】 （1）△OAD∽△CDB.△ADB∽△ECB； （2）①（1，－4a）； ②∵△OAD∽△CDB DC CB ∴  OA OD ∵ax2－2ax－3a=0，可得A（3，0） 又OC=－4a，OD=－3a，CD=－a，CB=1， 1 a ∴  ， ∴a2 1， 3a 3 ∵a 0， ∴a  1． 故抛物线的解析式为： ． yx2 2x3 ③存在，设P（x，－x2+2x+3）， ∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形， ∴PN=AN． 当x<0（x<－1）时，－x+3=－(－x2+2x+3)，x=－2，x=3(舍去)， 1 2 ∴P（－2，－5）， 当x>0（x>3）时，x－3=－(－x2+2x+3)，x=0，x=3(都不合题意舍去)， 1 2 符合条件的点P为（－2，－5）． 16.【解析】 （1）∵∠ACB=90°，∴AC= = =40． AB2 BC2 502 302 1 1 ∵S= ABCP= ACBC, 2 2 ACBC 4030 ∴CP= = =24． AB 50 12 在Rt△CPM中，∵sin∠EMP= ， 13 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共10页让更多的孩子得到更好的教育 CP 12 ∴  ． CM 13 13 13 ∴CM= CP= 24 =26． 12 12 PE AP PE x 3 （2）由△APE∽△ACB，得  ，即  ，∴PE= x． BC AC 30 40 4 12 PE 12 在Rt△MPE中，∵sin∠EMP= ，∴  ． 13 ME 13 13 13 3 13 ∴EM= PE=  x= x． 12 12 4 16 ∴PM=PN= = 13  2 3  2 = 5 ． ME2 PE2  x   x  x 16  4  16 5 ∵AP+PN+NB=50，∴x+ x+y=50． 16 21 ∴y= x50(0