中考总复习：图形的相似--知识讲解（基础)_中考全科复习资料_北京四中绝密资料02中考数学总复习_37中考总复习：图形的相似（基础）

让更多的孩子得到更好的教育 中考总复习：图形的相似--知识讲解（基础） 撰稿：赵炜 审稿：杜少波 【考纲要求】 1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质． 2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题． 3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小． 4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出 它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置． 【知识网络】 相似多边形的特征 相似的图形 概念 1.定义 2.两角对应相等 识别方法 3.两边对应成比例且夹角相等 4.三边对应成比例 图 形 1.对应角相等 相似三角形 的 2.对应边、对应中线、对应角平分线、 相 性质 对应高线、周长的比等于相似比 似 3.面积的比等于相似比的平方 应用:解决实际问题 位似 用坐标来确定位置 图形与坐标 图形的运动与坐标 【考点梳理】 考点一、比例线段 1. 比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是 a m  ，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项. b n 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简 称比例线段. 若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段 b，c叫做比例内项. a b 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即  或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中 b c 项. 2、比例的基本性质：①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c b2  ac. 3、黄金分割 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C 5 1 叫做线段AB的黄金分割点，其中AC= AB≈0.618AB. 2 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第1页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 考点二、相似图形 1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相 似图形). 2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形. 3.相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方. 4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. 5.相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都 等于相似比. (3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 【要点诠释】 结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和 线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理. 6.相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相 等，那么这两个三角形相似. 考点三、位似图形 1.位似图形的定义： 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两 个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心. 2.位似图形的分类： (1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. (2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上. 3.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 【要点诠释】 位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 4.作位似图形的步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接截取点. 【要点诠释】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第2页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 标的比等于k或-k. 【典型例题】 类型一、比例线段 1.在比例尺1：10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市 之间的实际距离应为 __________km. 【思路点拨】地图上的比例尺是一种比例关系，即图上距离与实际距离的比. 【答案与解析】1：10 000 000=8：80 000 000，即实际距离是80 000 000cm=800km. 【总结升华】本题考点:比例性质. 举一反三： 【变式】如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的 影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距 6m、与树相距15m，则树的高度为 ______________m 【答案】因为 ，所以树高=7. 类型二、相似图形 【高清课堂：图形的相似 考点7 （3）】 a b 2．如图，一个矩形ABCD的长AD= cm，宽AB= cm，E、F分别是AD、BC的中点，连接E、F，所得新矩 形ABFE与原矩形ABCD相似，求a:b的值． 【思路点拨】根据相似多边形对应边的比相等，即可求得． 1 1 【答案与解析】∵矩形ABCD的长AD= a ，宽AB=b，则AE= AD= a ． 2 2 又矩形AEFB与矩形ABCD相似． AE AB ∴ = ， AB AD 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第3页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 1 a 1 即 2 b ,即b2  a2  2 b a ∴ a:b 2:1 【总结升华】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键． 3．如图，△ABC是一块直角三角形的木块，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，要利用它加工成一块 面积最大的正方形木块，问按正方形CDEF加工还是按正方形PQRS加工？说出你的理由. 【思路点拨】要加工成一块面积最大的正方形木块，有两种方法，利用相似三角形的判定和性质求出两个 正方形的边长，比较大小即可. 【答案与解析】(1)如图1，设正方形CDEF的边长为x，则有 ，得x= cm； (2)如图2，设正方形PQRS的边长为y，作CN⊥AB于N交RS于M，而知CN= ， 同样有 得 (cm)，x-y= ＞0，故x＞y， 所以按正方形CDEF加工，可得面积最大的正方形. 【总结升华】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第4页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比． 举一反三： 【变式】已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发，以 1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q 为顶点的三角形与△BDC相似？ 【答案】设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD= 90°， (1)当∠1=∠2时，有： ， 即 ； (2)当∠1=∠3时，有： ， 即 ∴经过 秒或2秒，△PBQ∽△BCD. 4.如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成 的四部分的面积分别为S，S，S，S．下面结论：①只有一对相似三角形；②EF：ED=1：2；③S：S：S：S=1： 1 2 3 4 1 2 3 4 2：4：5．其中正确的结论是（ ）. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第5页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 A．①③ B．③ C．① D．①② 【思路点拨】利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比（共底三角形的面积之比等于高 之比）. 【答案】B. 【解析】∵AB∥DC， ∴△AEF∽△CDF， 但本题还有一对相似三角形是△ABC≌△CDA（全等是相似的特例）．∴①是错的． AE EF 1 ∵   ，∴②EF：ED=1：2,②是错的． CD DF 2 ∴S ：S =1：4，S ：S =1：2． △AEF △CDF △AEF △ADF ∴S：S：S：S=1：2：4：5，③正确． 1 2 3 4 【总结升华】和全等三角形一样，中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形（如等边三角 形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形）中，在解题时要充分挖掘其中隐含的相等 角、成比例的线段和平行线，注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角 5．（2011四川绵阳）已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂 直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1. (1)若BD是AC的中线，如图2，求的值； (2)若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值； (3)结合（1)、（2)，请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求 出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由. A A E A E D E D D B C B C B C 图一 图二 图三 【思路点拨】这是一道几何综合题，涉及到的考点有相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形； 解直角三角形． 【答案与解析】（1）设CD=AD=a，则AB=AC=2a， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= ， 5 a ∵∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC， ∴△BAD∽△CED， 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第6页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 ∴ BD AB ，∴ 5a 2a ，   CD CE a CE BD 5a 解得：CE=2 5a ，  = 5 . CE 2 5a 5 2 5 （2）过点D作DF⊥BC于F， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴AD=DF=m， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90° ∴DF=FC=m,即DC= m，AC=AB=（ +1）m, 2 2  2 则BD2  AD2  AB2=m2  21 m2=(42 2)m2， 又∵△BAD∽△CED, ∴ BD AB ,即 ABCD =2 2  CE  m2 CD CE BD BD BD BD BD2 ∴   =(4+2 2）m2 =2. CE 2 2 (2 2)m2 m2 (2 2）m2 BD BD （3）当D在A点时， 1， CE BD 当D越来越接近C时， 越来越接近无穷大， CE BD BD ∴ 的取值范围是 ≥1． CE CE 设AB=AC=1，CD=x，AD=1-x， 在Rt△ABD中，BD2=12+（1-x）2， 又Rt△ABD∽Rt△ECD， CE CD CE x x ∴  ，即  ，解得：CE= ， AE BD 1 BD BD 若y= BD = BD2 =1(1x）2 = 2 =4 ， x 2 CE x x x 3 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 则有3x2-10x+6=0， 5 7 ∵0＜x＜1，∴解得x= 3 ∴ AD 1x = 71，  DC x 6 BD 表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小， 的值则随着D从A向C移动而逐渐增大， CE ∴探究 BD 的值能小于4 ，此时AD= 71CD． CE 3 6 【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，本题从中线，角平分线以及中线与角平线相结合的问 题来考查，是一道考查全面的好题． 类型三、位似图形 【高清课堂：图形的相似 考点9 （1）】 6 . 如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若 △ABC与△ABC 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________． 1 1 1 y A 1 10 9 8 7 6 5 A 4 B C 3 1 1 2 B C 1 1 2 3 4 5 6 7 8 91011 x 【思路点拨】连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心． 【答案与解析】连接BB，AA，易得交点为（9，0）． 1 1 【总结升华】用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点． 举一反三： 【变式】下列图形中不是位似图形的是( ). 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共9页让更多的孩子得到更好的教育 【答案】C. 地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第9页 共9页