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2024-2025 学年广东省深圳市龙华区高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系O-xyz中，点A(1,3,5)关于xOy平面的对称点B的坐标为( )
A. (1,-3,5) B. (-1,3,5) C. (1,3,-5) D. (-1,-3,5)
2.抛物线x2= y的准线方程是( )
1 1 1 1
A. x= B. y= C. x=- D. y=-
2 2 4 4
3.已知直线mx+(2m-1)y+3=0与直线3x+my=0垂直，则实数m=( )
A. -1或0 B. -1 C. 0 D. 1
4.4名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种
数是( )
A. 6 B. 24 C. 64 D. 81
5.已知随机变量 ， ，这两个正态密度曲线如图所示，下列结论中正确的是
X～N(μ ,σ2 ) Y～N(μ ,σ2 )
1 1 2 2
( )
A. B.
μ >μ σ2>σ2
1 2 1 2
C. P(X<μ )μ ) D. P(X<μ )0)的最大值为( )
x
1 4 1 1
A. B. C. ln2+ D. 2-
e e2 2 e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{a }的前n项和为S ，a +S =2，则( )
n n n n
A. B. 为等比数列
a =2a {a }
2 1 n
(1-n)n
C. S2=S S D. 数列{log a }的前n项和为
6 3 9 2 n 2
2π
10.如图，把边长为2的正方形纸片ABCD沿对角线AC折起，使得二面角B-AC-D的大小为 ，E，O，
3
F分别为AD，AC，BC的中点，折纸后，下列结论中正确的是( )
A.
√14
B. |EF|=
2
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2 38√2π
C. 以ABCD为顶点的四面体的外接球体积为
3
D. 直线BC上存在点G，使得BE//DG
11.已知双曲线 ：x2 y2 经过点 1 ，且右焦点为 ， 的虚轴为线段 ，
C - =1(a>0,b>0) (√5, ) F(√5,0) C B B
a2 b2 2 1 2
为 上任意一点，平面内一动点 满足 ，则( )
P C M |MB |=√3|MB |
1 2
A. C的渐近线方程为x±2y=0 B. 动点M的轨迹与C无公共点
6√5-5√3
C. |FM|的最大值为6 D. |PM|的最小值为
5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在 的二项展开式中， 的系数是______．
(2x+1) 5 x3
1
13.若函数f(x)= x3-x-m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是______．
3
14.在平面直角坐标系xOy中，一个质点从坐标原点出发，每次等可能地向上、向下、向左或向右自由移
动一个单位，记 次移动后质点的坐标为 ，则 的概率为______；若已知 ，
n (x ,y ) x2+ y2≤2 (x ,y )=(1,1)
n n 4 4 6 6
那么 的概率为______．
x2+ y2≤2
4 4
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{a }与等比数列{b }满足：a =b =1，a =b ，3a =b ．
n n 1 1 2 2 2 3
(1)求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
(2)令c =a b ，求数列{c }的前n项和T ．
n n n n n
16.(本小题15分)
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，AD⊥DE，AF//DE，AF=2DE=2．
(I)证明：CE//平面ABF；
(2)若CE=√5，求二面角A-CF-B的正弦值．
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3 317.(本小题15分)
科研人员为研究白鼠在注射某种抗生素24小时后体内抗生素残留率y与注射剂量x之间的关系，测得一组
实验数据(x ,y )(i=1,2,⋯,8)如表：
i i
剂量x/mg 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
残留率y 0.07 0.12 0.18 0.25 0.28 0.30 0.35 0.45
(1)根据以上数据计算得样本相关系数r≈0.99，表明抗生素残留率与注射抗生素剂量的线性相关程度较高，
请建立y关于x的经验回归方程；
̂+
(2)当数据(x ,y )对应的残差的绝对值 时，称该数据为“正常数据”.现从这8个实验数据
i i |y - y |<0.01
i i
中随机抽取4个，用X表示抽到“正常数据”的个数，求X的分布列及均值．
参考公式：经验回归方程❑^ ❑^ ❑^中斜率和截距的最小二乘估计分别为：
y=bx+a
n - - n - -
∑(x -x)(y - y) ∑ x y -nx y
❑ b ^ = i=1 i i = i=1 i i ，❑^ - ❑^ -；参考数据： ∑ 8 x y =11.1 ， ∑ 8 x2=204 ．
n - n -
a= y-bx
i i i
∑(x -x) 2 ∑ x2-nx2 i=1 i=1
i i
i=1 i=1
18.(本小题17分)
已知椭圆 ：x2 y2 的长轴长与短轴长的比值为 ．
E + =1(a>b>0) √2
a2 b2
(1)求椭圆E的离心率；
(2)过点(0,2)的直线l与椭圆E交于M，N两点，O为坐标原点．
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4 3(i)若直线l的斜率为l，求椭圆E的焦距的取值范围；
3√2
(ii)若△MON面积的最大值为 ，求椭圆E的标准方程．
2
19.(本小题17分)
1
已知函数f(x)= x2+sinx-ax，a∈R．
2
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在(0,π)上恰有一个极值点x ，在(π,+∞)上恰有一个零点x ．
1 2
(i)求a的取值范围；
(ii)证明：x <2x ．
2 1
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5 3参考答案
1.C
2.D
3.A
4.D
5.C
6.B
7.A
8.B
9.BD
10.ABC
11.ABD
12.80
2 2
13.(- , )
3 3
33 18
14.
64 25
15.(1)设等差数列{a }的公差为d，
n
等比数列{b }的隔壁为q，
n
由a =b =1，a =b ，3a =b ，可得1+d=q，3+3d=q2，
1 1 2 2 2 3
解得d=2，q=3，
则 ， ；
a =2n-1 b =3n-1
n n
，
(2)c =a b =(2n-1)⋅3n-1
n n n
数列 的前 项和 ，
{c } n T =1⋅30+3⋅31+5⋅32+...+(2n-1)⋅3n-1
n n
，
3T =1⋅31+3⋅32+5⋅33+...+(2n-1)⋅3n
n
相减可得
-2T =1+2(31+32+...+3n-1 )-(2n-1)⋅3n
n
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6 33(1-3n-1
)
=1+2⋅ -(2n-1)⋅3n=-2+(2-2n)⋅3n，
1-3
则 ．
T =1+(n-1)⋅3n
n
16.(1)证明：取AF中点M，连接BM、EM．
由题意知，AF=2DE=2，AF//DE，
则AM//DE且AM=DE=1，
所以，四边形ADEM为平行四边形，
则AD//ME且AD=ME，
又因为底面ABCD是正方形，
则AD//BC且AD=BC，
所以，ME//BC且ME=BC，
则四边形BCEM是平行四边形，
所以CE//BM，
又因为CE⊄平面ABF，BM⊂平面ABF，
所以，CE//平面ABF．
(2)因为底面ABCD是正方形，所以AB⊥AD，
又因为DE⊥AD，AF//DE，所以AF⊥AD，
又因为AF=2DE=2，所以DE=1，
又因为底面ABCD是正方形，所以CD=2，
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7 3根据题意知，CE=√5，
所以CD2+DE2=22+12=CE2=(√5) 2，
所以CD⊥DE，即AB⊥AF，
因为AB⊥AF，AB⊥AD，AF⊥AD，
故以A为原点，以AB、AD、AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方形ABCD边长为2，AF=2，
则A(0,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，B(2,0,0)，
⃗ ⃗ ⃗
CA=(-2,-2,0) ，CF=(-2,-2,2)CB=(0,-2,0) ，
设平面ACF的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1
{⃗ ⃗
n ⋅CA=0 { (x ,y ,z )⋅(-2,-2,0)=-2x -2y =0
1 1 1 1 1 1
则 即 ，
⃗ ⃗ (x ,y ,z )⋅(-2,-2,2)=-2x -2y +2z =0
n ⋅CF=0 1 1 1 1 1 1
1
取x 1 =1，则y 1 =-1，z 1 =0，即 ⃗ n =(1,-1,0) ．
1
设平面BCF的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
2 2 2 2
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8 3{⃗ ⃗
n ⋅CB=0 { (x ,y ,z )⋅(0,-2,0)=-2y =0
2 2 2 2 1
则 ，即 ，
⃗ ⃗ (x ,y ,z )⋅(-2,-2,2)=-2x -2y +2z =0
n ⋅CF=0 2 2 2 1 1 1
2
取x 2 =1，则y 2 =0，z 2 =1，即 ⃗ n =(1,0,1) ．
2
设二面角A-CF-B的平面角为θ，
⃗ ⃗
则|cosθ|=|cos|= |
⃗
n 1 ⋅n 2 |
⃗
=
√2×
1
√2
= 1
2
，
|n |⋅|n |
1 2
√3
所以，sinθ=√1-cos2θ=
，
2
√3
因此，二面角A-CF-B的正弦值为 ．
2
- 1
17.(1)由表知，x= (1+2+3+4+5+6+7+8)=4.5，
8
- 1
y= (0.07+0.12+0.18+0.25+0.28+0.3+0.35+0.45)=0.25，
8
̂+
所以 11.1-8×4.5×0.25 ，
b= =0.05
204-8×4.52
̂+
，
a=0.25-0.05×4.5=0.025
̂+
故y关于x的经验回归方程为 ．
y=0.05x+0.025
̂+ ， ̂+ ，
(2)|y - y |=|0.07-0.075|=0.005<0.01 |y - y |=|0.12-0.125|=0.005<0.01
1 1 2 2
̂ +
，
̂+
，
|y - y |=|0.18-0.175|=0.005<0.01 |y - y |=|0.25-0.225|=0.025
3 3 4 4
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9 3̂+
，
̂ +
，
|y - y |=|0.28-0.275|=0.005<0.01 |y - y |=|0.3-0.325|=0.025
5 5 6 6
̂+ ， ̂+ ，
|y - y |=|0.35-0.375|=0.025 |y - y |=|0.45-0.425|=0.025
7 7 8 8
即有4组数据为“正常数据”，
所以X的可能取值为0，1，2，3，4，
P(X=0)= C0 4 C 4 4 = 1 ，
C4 70
8
P(X=1)=
C1
4
C3
4= 16 = 8 ，
C4 70 35
8
P(X=2)=
C2
4
C2
4=
36
=
18，
C4 70 35
8
P(X=3)=
C3
4
C1
4= 16 = 8 ，
C4 70 35
8
P(X=4)= C 4 4C0 4= 1 ，
C4 70
8
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
1 8 18 8 1
P
70 35 35 35 70
1 16 36 16 1 140
故数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× +4× = =2．
70 70 70 70 70 70
2a
18.(1)由题意可知， =√2，即a2=2b2，又由a2=b2+c2，
2b
c √2 √2
可解得e= = ，故椭圆E的离心率为 ；
a 2 2
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10 3x2
(2)(i)由(1)可知，可以将椭圆E的方程表示为 + y2=c2，直线的l的方程为y=x+2，
2
{
y=x+2
联立直线 和椭圆 的方程 ，得 因为 与 有两个公共点，
l E x2 3x2+8x+8-2c2=0 l E
+ y2=c2
2
2√3
所以Δ=82-4×3(8-2c2 )=24c2-32>0，解得c> ，
3
4√3 4√3
则2c> ，故椭圆E的焦距的取值范围是( ,+∞)；
3 3
(ⅱ)当直线l斜率不存在时，M，O，N三点共线，不构成三角形．
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+2，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
{
y=kx+2
联立直线 和椭圆 的方程 ，得 ，
l E x2 (1+2k2 )x2+8kx+8-2c2=0
+ y2=c2
2
因为 与 有两个公共点，所以 ，化简得
l E Δ=(8k) 2-4(1+2k2 )⋅(8-2c2 )=16k2c2+8c2-32>0
4-c2
，
k2>
2c2
由韦达定理知， 8k ， 8-2c2 ，
x +x =- x x =
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
故
2√2√1+k2√2k2c2+c2-4，
|MN|=√1+k2|x -x |=√1+k2√(x +x ) 2-4x x =
1 2 1 2 1 2 1+2k2
原点 到直线 的距离 |2| ，
O l
d=
√1+2k2
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11 31 2√2√2k2c2+c2-4，令 ，
S = |MN|d= t=√2k2c2+c2-4>0
△MON 2 1+2k2
2√2t 2√2tc2 2√2c2
得 t2+4 ，故S = = = ①，
2k2= -1 △MON t2+4 t2+4 4
c2 -1+1 t+
c2 t
2√2c2 2√2c2 √2c2
当 时， ≤ = ．
c2<8 t+ 4
2
√
t⋅
4 2
t t
当且仅当 4 ，即 ， 8-c2 时 有最大值√2c2，
t= (t>0) t=2 k2= S
t 2c2 △MON 2
√2c2 3√2 x2 y2
故 = ，即c2=3，所以椭圆E的方程为 + =1．
2 2 6 3
4
②当c2≥8时，t>2，此时函数f(t)=t+ 在定义域内单调递增，故当k2=0，
t
即 取最小值 时， 有最大值 ，
l √c2-4 S 2√2√c2-4
△MON
3√2 73
所以2√2√c2-4= ，解得c2= <8不符合条件，
2 16
x2 y2
综上，椭圆E的方程为 + =1．
6 3
本题考查直线与椭圆的综合，属于中档题．
x2
19.(1)因为a=0时，f(x)= +sinx，f(x)=x+cosx，
2
所以斜率k=f '(0)=1，切点坐标为(0,0)，
所以y=f(x)在(0,f(0))的切线方程为y-0=1×(x-0)，即y=x．
(2)(i)f '(x)=x+cosx-a，f ″(x)=1-sinx，
因为sinx≤1，
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12 3所以f ″(x)=1-sinx≥0在R上恒成立，
所以f '(x)在R上单调递增，
①当f '(0)≥0，即a≤1时，f '(x)≥0在R上恒成立，
所以y=f(x)在R上单调递增，无极值点，
π2
又f(π)= -aπ>0，
2
所以f(x)>f(π)>0，
此时y=f(x)在(π,+∞)无零点，不合条件，
②当f '(0)<0，即a>1时，
1°当f '(π)≤0，即a≥π-1时，f '(x)<0在(0,π)恒成立，
所以y=f(x)在(0,π)上单调递减，无极值点，不合条件，
2°当f '(π)>0，即a∈(1,π-1)时，此时有f '(0)f '(π)<0，
一方面，结合y=f '(x)在R上单调递增，由零点存在定理，
，使得 ，
∃x ∈(0,π) f '(x )=0
1 1
所以在(0,x )上，f '(x)<0，f(x)单调递减，
1
在(x ,π)上，f '(x)>0，f(x)单调递增，
1
所以a∈(1,π-1)时，x=x 为函数f(x)在(0,π)内唯一极值点，
1
另一方面，f(x)在(x ,+∞)单调递增，
1
因为当 时， 恒成立，
a∈(1,π-1) f(2π)=2π2-2aπ>0
π2 π
所以f(π)= -aπ<0，即a∈( ,π-1)时，
2 2
f(π)f(2π)<0，
由零点的存在定理，∃x ∈(π,2π)，使得f(x )=0，
2 2
此时x=x 为函数f(x)在(π,+∞)内唯一零点，
2
π
综上所述，实数a的取值范围为( ,π-1)．
2
π
(ii)证明：由(i)可知，当a∈( ,-1)时，
2
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13 3f(x)在(0,π)恰有一个极值点x ，在(π,+∞)恰有一个零点x ，
1 2
π π
又f '(x )=0，f '( )= -a<0，
1 2 2
因为y=f '(x)在R上单调递增，
π
所以x ∈( ,π)，2x ∈(π,2π)，
1 2 1
所以2x ∈(x ,+∞)，x ∈(x ,+∞)，
1 1 2 1
又因为函数f(x)在(x ,+∞)上单调递增，
1
所以要证x <2x ，
2 1
只需证f(x )0，
1 2 1
因为f '(x )=0，
1
所以a=x +cosx ，
1 1
所以
f(2x )=2x2+sin2x -2ax =2x2+sin2x -2x (x +cosx )
1 1 1 1 1 1 1 1 1
=sin2x -2x cosx =2sinx cosx -2x cosx =2cosx (sinx -x )，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
π
因为x ∈( ,π)，
1 2
所以sinx ∈(0,1)，
1
所以sinx -x <0，
1 1
又因为cosx <0，
1
所以2cosx (sinx -x )>0，即f(2x )>0，得证．
1 1 1 1
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14 3
