文档内容
参照机密级管理★启用前
2025 年高考综合改革适应性演练
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡
上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应
题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其
他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由交集的运算求解即可；
【详解】由题意可得 .
故选：C.
2. 函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案.
【详解】依题意， 的最小正周期 .
故选：D
3 （ ）
A. 2 B. 4 C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数模的概念直接求解.
【详解】由题意： .
故选：C
4. 已知向量 ，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算求解.
【详解】 ， ，
，
.
故选：B.
5. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程，结合渐近线方程，可得答案.
【详解】由方程 ，则 ，所以渐近线
.
故选：C.
6. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由勾股定理先求出圆锥的高，进而利用圆锥体积公式求解即可.
【详解】由题可知圆锥的底面半径 ，母线长 ，高
，
∴圆锥的体积为 .
故选：A.
7. 在 中 ， ， 则
的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 24 D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】先根据余弦定理求出 边的长度，再利用三角形面积公式
求出三角形面积即可.详解】设 ，根据余弦定理
，
已知 ， ， ，代入可得：
，即 ，解得
，
由于 ，则 为直角三角
形，
则 .
故选：C.
8. 已 知 函 数 ， 若 当 时 ，
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解.
【详解】当 ， 时，，
当 时， ，此时
，
所以 ，不满足当 时， ，故
不符合题意；
当 ， 时，
，解得
，
由于 时， ，故 ，解得 ；
当 ， 时， 恒成立，符合题意；
当 ， 时，
，解得
，
由于 时， ，故 ，解得 .
综上 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对 分类讨论，结合因式分
解方法有针对性求解 时的
的解
集，从而可求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题
给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部
分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知 是抛物线 的焦点，M是C上的点，O
为坐标原点．则（ ）
A.
B.
C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D. 当 时， 的面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据焦点坐标求出 判断A，根据抛物线定义判断B，
C，应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D.
【详解】因为 是抛物线 的焦点，所以
，即得 ，A选项正确；
设 在 上，所以 ，
所以 ，B选项正确；
因为以M为圆心且过F的圆半径为 等于M与C的准线
的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；
当 时,
，且 ， ，
所以 , 或 舍
所以 的面积为 ，D选项错
误.故选：ABC.
10. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励
函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数
，双曲余弦函数 ，双曲正切函数
．则（ ）
A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是
增函数
C. 双曲正切函数是增函数 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与
双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对
D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可
得.
【详解】对A：令 ，
则 恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正
确；对B：令 ，
则 ，由A知， 为增函数，又
，
故当 时， ，当 时，
，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，故
B错误；
对C：
，
由 在 上单调递增，且 ，
故 是增函数，故C正确；
对D：由C知 ，则 ，
，故 ，故D正确.
故选：ACD.
11. 下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，原图中的圆环无法解开，对BC转化为三叶结问题即可；
对D通过绳数即可判断.
【详解】对于A选项：原图中的圆环不可解开，则无法无损变为一个
圆， 无法得到A选项；
对于D选项：为三个圆，不是一根绳， 无法得到D选项；
对于B,C选项：根据左手三叶结和右手三叶结不能无损转换，而BC情形
为三叶结变体，则BC至少有一个无法无损伤得到，
两者为手性，即镜像（即只能在镜子中相互重叠），再通过考场身边道
具（如鞋带，头发）进行实验可知：可以得到C选项，无法得到B选项.故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函 ，若 ，则
____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用指数和对数的运算求得答案.
【详解】由 ，可得 ，
即 ，也即 ，
且 ， ，
两边取对数得： ，解得 .
故答案为： .
13. 有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡
片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的
数字之和相等的概率为____________．
【答案】
【解析】
【分析】先写出基本事件总数 ，再求出所有卡片上的数字之和，
得到抽出的3张卡片上的数字之和应为 ，列举出和为 的3
张卡片即可求解.
【详解】从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为，
因为 ，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相
等，
则抽出的3张卡片上的数字之和应为 ，
则抽出 3张卡片上的数字的组合有 或 或
共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为 的样本点个数共3个，
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概
率为 .
故答案为： .
14. 已知曲线 ，两条直线 、 均过坐标原点
O， 和 交于M、N两点， 和 交于P、Q两点，若
三角形 的面积为 ，则三角形 的面积为
____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对称性，结合图象来求得正确答案.
【详解】由于 和 都符合 ，
所以曲线 的图象关于原点对称，当 时，函数
单调递增，由此画出曲线 大致图象如下图所示，
两条直线 、 均过坐标原点 ，所以M、N两点关于原点
对称，P、Q两点关于原点对称，
根据对称性，不妨设 位置如图，
可知 ， ，
所以 ，所以 ，
而 和 等 底 等 高 ， 面 积 相 同 ， 所 以
，
所以 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用曲线对称性：充分利用曲线关于原点对称的性
质，确定点的对称关系，这是解决本题的基础.通过对称关系，能够推导
出相关线段和三角形之间的等量关系，为后续的面积计算提供依据.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤.）
15. 为考察某种药物 对预防疾病 的效果，进行了动物（单
位：只）试验，得到如下列联表：
药物 疾病 合计未患病 患病
未服用 100 80
服用 150 70 220
合计 250 400
（1）求 ， ；
（2）记未服用药物 的动物患疾病 的概率为 ，给出
的估计值；
（3）根据小概率值 的独立性检验，能否认为药物 对
预防疾病 有效?
附： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1） ，
（2）
（3）能认为药物 对预防疾病 有效
【解析】
【分析】（1）根据列联表求和即可；
（2）用频率估计概率，计算即可；
（3）根据公式计算 ，然后根据临界值表分析判断即可.
【小问1详解】由列联表知 ， ；
【小问2详解】
由列联表知，未服用药物 的动物有 （只），
未服用药物 且患疾病 的动物有 （只），
所以未服用药物 的动物患疾病 的频率为 ，
所以未服用药物 的动物患疾病 的概率的估计值为
；
【小问3详解】
零假设为 ：药物 对预防疾病 无效，
由列联表得到
，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为药物 对预防疾病 有效，该推断犯错误的概率不超过
，
所以根据小概率值 的独立性检验，能认为药物 对预防
疾病 有效.
16. 已知数列 中，
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）求 的通项公式；
（3）令 ，证明: ．【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求得数列 的通项公式，再求 即得；
（3）将（2）中得到的 的通项代入 求得 ，
化简后利用数列的单调性即可得证.
【小问1详解】
由 得 ，
则 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数
列.
【小问2详解】
由（1）得 ,
解得： .
【小问3详解】令 ， ，
因为 在 上单调递增，则
所以数列 在 上单调递减，从而数列
在 上单调递增，且 ，
故得 .
17. 已知函数 .
（1）设 ，求曲线 的斜率为2的切线方
程；
（2）若 是 的极小值点，求b的取值范围.
【答案】（1）
（2）【解析】
【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点
，然后可得切线方程；
（2）由 是 的极小值点，可得 ，然后据
此讨论 的单调性，分析得 在 时的极值情
况，从而得解.
【小问1详解】
当 时， ，其中 ，
则 ，令
，
化简得 ，解得 （负值舍
去），
又此时 ，则切线方程过点 ，结合切线方程斜率
为2，
则切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
由题可得 定义域为 ，
，
因 是 的极小值点，则
，
则 ，若 ，令 ，令
，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
得 是 的极大值点，不满足题意；
若 ，令 ，令
，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
得 是 的极大值点，不满足题意；
若 ，则 ， 在 上
单调递减，无极值，不满足题意；
若 ，令 ，令
，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
得 是 的极小值点，满足题意；
综上， 是 的极小值点时， .
18. 已知椭圆 C 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，
（1）求C的方程；
（2）已知点 ，证明：线段 的垂直平分线与C恰
有一个公共点；
（3）设M是坐标平面上的动点，且线段 的垂直平分线与C恰
有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程．【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）点 的轨迹是圆，该圆的方程为
【解析】
【分析】(1)根据椭圆焦点坐标得 ，离心率为 ，得
，从而求出 ，得出椭圆方程；
(2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公
共点；
(3)解法一：利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于 0，
即可求解.
解法二：利用椭圆定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到
，从而得到点 的轨迹和轨迹方程.
【小问1详解】
因为椭圆左、右焦点分别为 ， ，所以 ，
又因为椭圆C的离心率为 ，
得 ，所以椭圆方程为 .
【小问2详解】
由 ， 得直线 斜率为 ，中点
坐标为 ，
所以线段 的垂直平分线方程为 ，
联立垂直平分线方程和椭圆方程得 ， ，
，所以直线与椭圆相切，
线段 的垂直平分线与C恰有一个公共点 ；
【小问3详解】
解法一：设 ，
当 时， 的垂直平分线方程为 ，
此时 或 ；
当 时 ， 的 垂 直 平 分 线 方 程 为
，
联立 ，
得
，
即
因为线段 的垂直平分线与C恰有一个公共点，故
，
即 ，
则 ，
即 ，
，
即 ，
，
而 ， 也满足该式，
故点 的轨迹是圆，该圆的方程为 ，即
.
解法二：设线段 的垂直平分线 与C恰有一个公共点为P，
则当点P不在长轴时，线段 的垂直平分线 即为点P处的切
线，
也为 的角平分线，作 的角平分线 ，根据椭圆的光学性质得
，
，则 ，
故 ，
所以 三点共线，所以
，
所以点 的轨迹是以 为圆心，4为半径的圆，
当 P 在椭圆长轴上时，M 点 或 也满足
，
故点 的轨迹是圆，该圆的方程为 .
【点睛】方法点睛：判断直线与椭圆公共点的个数问题的方法是：
(1)首先根据题意得到直线和椭圆方程；
(2)联立直线和椭圆方程，消元得到一元二次方程；
(3)计算 ，根据 ，判断直线与椭圆公共点的
个数.
19. 在 平 面 四 边 形 中 ， ，
， 将 沿 AC 翻 折 至，其中P为动点.
（1）设 ，三棱锥 的各个顶点都在球O的球
面上．
（i）证明：平面 平面 ；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角 的余弦值的最小值.
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）球O的半径为 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）（i）由题设求证 ，即可由线面垂直的判定
定理得 平面 ，再由面面垂直判定定理得证；（ii）建
立以A为原点空间直角坐标系 ，设球心 ，半径
，由 列方程组即可计算求解.
（2）过P作 于G，在平面 中，过G作
，设 ， ，以G为原点建立
空间直角坐标系 ，求平面 和平面 的一个
法向量，由空间向量夹角公式，通过换元结合二次函数的性质求解即得.
【小问1详解】
在 中，由 ， 得
，
所以 ，且
，即 ，
（i）证明：因为 ， ， ，平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（ii）以A为原点， 分别为x轴和y轴正方向建立如图所示
空间直角坐标系 ，
则 ，设球心
，半径 ，
则 ，
所以
，
解得 ，所以球O的半径为 ；
【小问2详
解】
在平面 中，过P作 于G，在平面 中，过G作 ，
则由（1） ，
设 ，以G为原点， 分别为x轴
和y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则
，
所以
，
设平面 和平面 的一个法向量分别为
， ，
则 ， ，所以 ，
，
取 ， ，则 ，
，
所以
，
令 ，则 ,由 得
，则 ，
则
，当且仅当 即 ， 时等号成立，
所以二面角 的余弦值的最小值为 .
【点睛】方法点睛：求空间二面角常用方法：
（1）定义法：根据定义作出二面角的平面角；
（2）垂面法：作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的两条交线所
成的角就是二面角所成角的平面角；
（3）向量坐标法：作空间直角坐标系，求出二面角的法向量，由空间向
量的夹角公式计算即可；
（4）射影面积法：求出斜面面积和它在有关平面的射影的面积，再由射
影面积公式计算求解.
