文档内容
参照机密级管理★启用前
2025 年高考综合改革适应性演练
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A B. C. D.
2. 函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
3. （ ）
A. 2 B. 4 C. D. 6
4. 已知向量 ，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
5. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在 中， ，则 的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 24 D. 48
8. 已知函数 ，若当 时， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知 是抛物线 的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（ ）
A.
B.
C. 以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D. 当 时， 的面积为
10. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励
函数．定义双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 ，双曲正切函数
．则（ ）
A. 双曲正弦函数是增函数 B. 双曲余弦函数是增函数
C. 双曲正切函数是增函数 D.
11. 下面四个绳结中，不能无损伤地变为图中的绳结的有（ ）
A B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函 ，若 ，则 ____________．
13. 有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3
张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为____________．
14. 已知曲线 ，两条直线 、 均过坐标原点O， 和 交于M、N两
点， 和 交于P、Q两点，若三角形 的面积为 ，则三角形 的面
积为____________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 为考察某种药物 对预防疾病 的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：
疾病
药物 合计
未患病 患病
未服用 100 80服用 150 70 220
合计 250 400
（1）求 ， ；
（2）记未服用药物 的动物患疾病 的概率为 ，给出 的估计值；
（3）根据小概率值 的独立性检验，能否认为药物 对预防疾病 有效?
附： ，
0.050 0.010 0 001
3.841 6 635 10.828
16. 已知数列 中，
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）求 的通项公式；
（3）令 ，证明: ．
17. 已知函数 .
（1）设 ，求曲线 的斜率为2的切线方程；
（2）若 是 的极小值点，求b的取值范围.
18. 已知椭圆C的离心率为 ，左、右焦点分别为 ，
（1）求C的方程；
（2）已知点 ，证明：线段 的垂直平分线与C恰有一个公共点；
（3）设M是坐标平面上的动点，且线段 的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为
圆，并求该圆的方程．
19. 在平面四边形 中， ， ，将
沿AC翻折至 ，其中P 动点.
（1）设 ，三棱锥 的各个顶点都在球O的球面上．
（i）证明：平面 平面 ；
（ii）求球O的半径
（2）求二面角 的余弦值的最小值.
