一模数学答案_2025年3月_250328太原市2025年高三年级模拟考试（一）（全科）_太原市2025年高三年级模拟考试（一）数学

太原市2025年高三年级模拟考试（一） 数学试题参考答案及评分建议 一．选择题： D C A B C C B A 二．选择题： 9.ACD 10.AB 11.BCD 2n 三．填空题: 12.80 13.12 14. n1 四．解答题: 15.解:（1）由(ab)(ab)c(ac)得a2 c2 b2  ac， ………2分 a2 c2 b2 1 由余弦定理得cosB   ，0 B 180，B 60. ………6分 2ac 2 3 4 （2）设CBD ，cosC  ，sinC  ， 5 5 3 3 1 4 3 34 sin Asin(BC)sinBcosCcosBsinC      ，………8分 2 5 2 5 10 AD BD 在△ABD中，由正弦定理得  ， sin(60) sinA CD BD 在△BCD中，由正弦定理得  ， sin sinC 2sin sinC 8 AD  2DC ，   ， ………11分 sin(60) sinA 3 34 (3 34)sin4sin(60)2 3cos2sin， 4 36 tanCBD  tan . ………13分 3 a 16.解:（1）由题意得 f(x)1 ，x 0, ………2分 x ①当a 0时，则 f(x)0， f(x)在(0,)上递增； ………4分 ②当a 0时，令 f(x)0，则0 xa；令 f(x)0，则xa，  f(x)在(0,a)上递减，在(a，)上递增. ………6分 （2）令g(x) f(x)cos(x1) xalnxcos(x1)，x 0， a 则g(x)1 sin(x1)，g(1)0，g(1)1a 0，a 1， ………9分 x 当a 1时，g(x) xlnxcos(x1)，x 0， 1 令h(x) x1lnx，x 0，则h(x)1 ， ………10分 x 令h(x)0，则0 x1；令h(x)0，则x1， h(x)在(0,1)上递减，在(1，)上递增，h(x)h(1)0，xlnx1，……13分 g(x) xlnxcos(x1)1cos(x1)0， 综上所述，a 1. ………15分17.（1）证明：设H 是BC的中点，连结DH,FH ， DE平面ABCD，DE AD， ………1分 △BCF是等边三角形，FH BC， 平面BCF平面ABCD，FH平面ABCD， DE//FH ，D,E,F,H 共面， ………3分 四边形ABCD边长为2的菱形，BAD 60，BH CH 1， 在△CDH中，DH2 CD2CH22CDCHcosBCD3， CD2 CH2DH2 4，DHBC， 四边形ABCD为菱形，AD//BC，DHAD， ……5分 DEDHD，AD平面DEFH ，ADEF. ……6分 （2）由（1）得ADDE,ADDH，DE平面ABCD，DEDH，以D为原点， DA,DH,DE 所在直线分别为x轴、 y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，B(1, 3,0)，E(0,0,2 3)，F(0, 3, 3)，设BGBF(01)， 则AG  ABBG (1, 3, 3)， ………7分   m DA, 2x 0, 设m(x,y,z )是平面ADG 的一个法向量，则   1 1 1 1  m AG, (1)x 1  3y 1  3z 1 0, 取 y ，则z  1，m (0,,1)， ………9分 1 1   n AE,  2x 2 3z 0, 设n(x ,y ,z )是平面AEG的一个法向量，则   2 2 2 2 2  n AG,  (1)x  3y  3z 0, 2 2 2 取x  3，则y 1,z 1，n ( 3,1,1)， ………11分 2 2 2 1 |mn| |1| 1 二面角DAGE的余弦值为 ，|cosm,n|   ， ……13分 5 |m||n| 21 5 5 1 1  或2（舍去），BG  BF 1. ………15分 2 2 18.解：（1）设N 是MF 的中点，F(2,0)，连接ON ，MF ，由题意可得ON //MF ， 1 1 1 则|MF ||MF | 2(|ON || NF |)  2|FF | 4，故点M 的轨迹是以F ,F 为焦点， 1 1 1 y2 实轴长为2的双曲线的右支曲线，所以曲线C的方程为x2  1(x 0). ………6分 3 （2）①证明：设S(x ,y )，T(x ,y )，直线ST的方程为xmyn， 1 1 2 2 xmyn,  6mn 3(n21) 由   x2 y2 1 得(3m21)y26mny3(n21)0,y 1 y 2  3m21 ，y 1 y 2  3m21 ，  3 y 3 3(x 2) 直线AS的方程为y 1 (x2)3，令y0，则x2 1 t， ………8分 x 2 y 3 1 1y 3 3(x 2) 直线AT的方程为y 2 (x2)3，令y0，则x2 2 2t， ………9分 x 2 y 3 2 2 3(x 2) 3(x 2)  1  2 2，3(my n2)(y 3) 3(my n2)(y 3) 2(y 3)(y 3)， y 3 y 3 1 2 2 1 1 2 1 2 2 (2m )y y (n3m)(y y )6(n1)0，n23m或n3m1，………11分 3 1 2 1 2 当n23m时，直线ST的方程为xm(y3)2，则直线ST经过点A，即点S 与A重合， 与题意不符； 当n3m1时，直线ST的方程为xm(y3)1，则直线ST 过定点(1,3).………13分 ②由①知直线ST 过定点(1,3)，记其为点B ， 1 由AG  ST 可知垂足G 在以AB 为直径的圆上， t 1,1 x  2， ………15分 2 3 37 37 所以点G 的轨迹方程为(x )2y2  (1x2,3 y ). ………17分 2 4 2 19.（1）设事件A “甲使用第i张奖券抽奖，中 j次奖”(i 1,2, j  0,1,2)， ij 则所求事件为 A A  A A  A A ，其概率为P(A A  A A  A A ) 10 21 10 22 11 21 10 21 10 22 11 21 2 1 4 2 1 1 1 4 1 62  P(A A )P(A A )P(A A )           . ………3分 10 21 10 22 11 21 3 3 5 3 3 5 3 5 5 225 （2）设事件B “乙使用第i张奖券抽奖，中 j次奖”(i 1,2,3, j  0,1,2)， ij 则所求事件为B B B B B B B B B ，其概率为P(B B B B B B B B B ) 11 20 31 10 21 31 10 20 32 11 20 31 10 21 31 10 20 32  P(B B B ) P(B B B ) P(B B B ) 11 20 31 10 21 31 10 20 32 1 4 4 1 2 1 4 1 2 2 1 1 364              . ………6分 3 5 5 5 3 3 5 5 3 3 3 5 3375 （3）由题意可知X 的所有可能取值为1,2,,10. 当X 9时，表示顾客丙使用 X 张奖券将2个红球全部摸出； 当X 10时，表示顾客丙使用第10张奖券抽奖时盒子里有1个或2个红球. 设事件“顾客丙使用第n张奖券抽奖时盒子里有2个红球”的概率为a ，事件“顾客丙使 n 用第n张奖券抽奖时盒子里有1个红球”的概率为b ，n 1,2,,10， n 2 4 1 4 4 4 则a 1,b 0,a  a ,b  b   a  b  a ,n1,2,,9，……7分 1 1 n1 3 n n1 5 n 3 5 n 5 n 15 n 2 4 4 2 4 2 2 a  ( )n1，b  b  ( )n1  b  ( )n， n 3 n1 5 n 15 3 5 n 5 3 2 4 2 4 2 b 3( )n1  [b 3( )n]，b 2[( )n1( )n1]，n1,2,,10，……10分 n1 3 5 n 3 n 5 31 1 1 1 2 2 4 2 1 4 2 P(X n)  a  b  ( )n1 [( )n1( )n1] [( )n( )n]，n1,2,,9， 3 5 n 5 n 15 3 5 5 3 2 5 3 2 4 2 4 2 P(X 10)a b ( )92[( )9( )9]2( )9( )9； ………12分 10 10 3 5 3 5 3 10 1 9 4 2 4 2 E(X)  nP(X  n)  n[( )n ( )n]10[2( )9 ( )9] 2 5 3 5 3 n1 n1 1 9 4 9 2 4 2  [n( )n n( )n] 20( )9 10( )9, ………14分 2 5 3 5 3 n1 n1 9 4 4 4 4 4 设S n( )n 1 2( )2 3( )3 9( )9， 5 5 5 5 5 n1 4 4 4 4 4  S 1( )2 2( )3 3( )4 9( )10， 5 5 5 5 5 1 4 4 4 4 4  S  ( )2 ( )9 9( )10，S 2070( )10， 5 5 5 5 5 5 9 2 2 2 2 2 设T  n( )n 1 2( )2 3( )3 9( )9， 3 3 3 3 3 n1 2 2 2 2 2  T 1( )2 2( )3 3( )4 9( )10， 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2  T  ( )2 ( )9 9( )10，T 636( )10， 3 3 3 3 3 3 1 4 2 1 4 2 E(X)  (ST) 20( )9 10( )9  {2070( )10 [636( )10]} 2 5 3 2 5 3 4 2 4 2 20( )9 10( )9 710( )10 3( )10. ………17分 5 3 5 3 注：以上各题其它解法请酌情赋分.