三校第二次模拟数学卷(1)_2025年4月_250403东北三省三校2025届高三第二次联合模拟考试（哈师大附中、东师大附中、辽宁省实验中学）（全科）

注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答 题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题共 58 分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求. 1.已知集合A={x|x−10}， 数学试卷 第1页 （共3页） B = { x  Z | x 2  4 } ，则A B =（ ） A. { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } B. { − 2 , − 1 , 0 , 2 } C. { − 2 , − 1 , 0 } D. { − 1 , 0 , 2 } 2.若 z = i ( 1 1 + − i i ) ，则（ ） A. z + z = 0 B. z − z = 0 C. z  z = − 1 D. z z = i 3.已知直线x−2y+1=0与圆 ( x − 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = a 2 相切，则正实数 a 的值为( ) A. 5 B. 3 5 5 C. 2 5 5 5 D. 5 4.某同学测得连续7天的最低气温（均为整数）分别为−6,1,−2,t,2,1,5（单位： ℃ ），若这组数据的平 均数与中位数相等，则 t = C. ( ) A. 5 B.6 C.10 D.11 5.已知向量a,b满足a=(1,0),|b|=|2a−b|，则下列结论一定成立的是（ ） A.(a−2b)a=−1 B.(a−2b)a=1 ( a − 2 b )  b = 1 D. ( a − 2 b )  b = − 1 6.已知函数 f ( x ) = e |x + 1 − m | 满足 f ( 1 − x ) = f ( x − 1 ) ，则（ ） A. f(x)  f(m) B. f(x−1) f(m) C.函数 f ( x ) − x 有1个零点 D.函数 f(x)−m有1个零点 7.已知数列  a n  满足 a 1 = 3 , a n + 1 = a n + 4 a n + 1 + 4 ，则 a n = （ ） A. a n = 2 n + 1 B. a n = 2 n C. a n = 4 n 2 − 1 D. a n = 4 n + 1 8.已知函数 f ( x ) =  x x 2 l − n x x , , x x   0 0 , , 若 x 1 , x 2  R , x 1  x 2 , 则（ ） A. f ( x 1 + 2 x 2 )  f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) B.当 x 1  x 2  1 2 时， ( x 1 − x 2 ) [ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ]  0 C.当 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) 时， x 1 + x 2  1 D.当 f ( − x 1 ) + f ( x 1 ) = 0 , f ( − x 2 ) + f ( x 2 ) = 0 时， x 1  0  x 2 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求,全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是（ ） A.数据1，2，5，7，8，9，11，15的上四分位数是10 B.设样本数据 x 1 , x 2 , , x n 的方差为5，则 2 x 1 + m , 2 x 2 + m , , 2 x n + m 的标准差为20 C.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各个面分别标记有 1～6 共六个数字，记事件 A＝“骰子 向上的点数是奇数”，事件B＝“骰子向上的点数是2或3”，则事件A与事件B是相互独立事件 1 D.在二项式(x− )n的展开式中, 若只有第4项的二项式系数最大，则各项系数和是64 2 x 10. 已知函数 f(x)=−2sinx+cosx, x 0 ( , ) , f ( x ) f ( x 0 )  若  − 且  哈尔滨师大附中 2025 年高三第二次联合模拟考试 东 北 师 大 附 中 数 学 辽宁省实验中学 ，则下列说法正确的是（ ） A.函数 f(x−x )为偶函数 B.函数 f(x+x )为偶函数 0 0 {#{QQABRYAowgg4kBaACI5LA0mkCEgQkJEiLWosRQCeqAwjgBFABAA=}#}C. 数学试卷 第2页 （共3页） f ( x ) f ( x 0 )   − D.区间 ( 0 , x 0 )  + 上 f(x)单调递减 11.如图，四棱锥 S − A B C D 的外接球球心为点 O ,且底面 A B C D 为正方形, S A ⊥ 平面 A B C D ， AB= 3,SC =2 3.若点M 为 S D 上靠近点D的三等分点，点P,Q分别为线段 S C 与平面 S A B 上的 点，则 P M + P Q 最小时，下列说法正确的是（ ） A. O M ⊥ S C B.点P为线段 S C 的中点 C.平面MPQ截四棱锥 S − A B C D 所得的截面是直角梯形 6 D.三棱锥S−AMQ的体积为 3 第Ⅱ卷（非选择题共 92 分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ( 1 + x ) ( 1 + 2 x ) 5 的展开式中 x 3 的系数为_________.（用数字作答） x2 y2 13.已知双曲线 − =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 a2 b2 F 1 , F 2 ，过 F 2 且斜率为 3 的直线 l 交双 曲线右支于点 A （在第一象限），  A F 1 F 2 的内心为 I ，直线 A I 交 x 轴于点 P 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（满分13分）已知函数 ，且|AI|=2|IP|，则双 曲线的离心率为_________. 14.图 1 所示几何体是一个星形正多面体,称为星形十二面体,是由 6 对(12 个)平行五角星面组成的,每 对平行五角星面角度关系如图 2 所示.一个星形十二面体有_________个星芒(凸起的正五棱锥),将所有 的星芒沿其底面削去后所得几何体和星形十二面体的表面积之比是_________. 2 5 (参考数据:tan218=1− ) 5 图1 图2 f ( x ) = a l n x − x + a 4 ( a  R ) ． （1）当a=2时，求曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程； （2）若 f ( x ) 有极大值，且极大值大于 0 ，求实数a的取值范围. 16.（满分15分）已知锐角ABC，角 A , B , C 所对的边分别为a,b,c，且 a = 3 1 ， 3cosB+ b=c. 2 （1）求 A ； （2）求 2 b 2 b + c c 2 的取值范围. 17.（满分15分）如图，四棱锥 P − A B C D 的体积为 4 3 ，底面 A B C D 为平行四边形， P A ⊥ 底面 A B C D ， PBC的面积为 2． （1）求点 A 到平面 P B C 的距离； （2）设AP= AB，二面角 A − P B − C 为 9 0  ，求直线 P D 与平面 P B C 所成角的正弦值. B A S M C D P A D C B {#{QQABRYAowgg4kBaACI5LA0mkCEgQkJEiLWosRQCeqAwjgBFABAA=}#}18.（满分17分）某地区冬季流感频发，为了加强流感疾病的防治，该地区鼓励个人接种流感疫苗，最 后统计表明，该地区整个冬季的流感患病率是52.28%，至冬季结束仍然有95%的居民未接种疫苗，这 些没有接种过流感疫苗的居民的患病率为 数学试卷 第3页 （共3页） 5 5 % . （1）现从接种过疫苗的人群中任选一位居民，求这人患病的概率； k （2）已知泊松分布的概率分布列为P(X =k)= e−(k =0,1,2, )，其中 k! e 为自然对数的底数，是泊松 分布的均值．若随机变量 X 服从二项分布，当 n  1 0 0 且 p0.01时，二项分布近似于泊松分布，其中 n p  = ，即 X B ( n , p ) , P ( X = i ) = e − n p ( i n ! p ) i ( i  N ) .现从该地区接种疫苗的人群中随机抽取1000人， 按上述泊松分布近似计算： ①求1000人中流感的患病率小于 0 .3 % 的概率约为多少； ②设1000人中患流感的人数为X ,求使得P(X =i)最大时的X 值. （参考数据： e − 6  0 . 0 0 2 5 19.（满分17分）已知抛物线 ） C : y 2 = 4 x ，焦点为 F 0 . 抛物线上有一点 P 1 ( x 1 , y 1 ) ( x 1  1 , y 1  0 ) ，直线 F 0 P 1 与抛物线的另一个交点为 P 0 . 按照如下方式依次构造点 F 2 k −1 ， P 2 k ， P 2 k + 1 ，F 2k ( k = 1 , 2 , 3 , ) ，过 P 2 k − 1 作 x轴的垂线，垂足为F ，垂线与抛物线 2k−1 C 的另一个交点为P . 作直线P F ，与抛物线 2k 2k−2 2k−1 C 的另一 个交点为P ，直线P P 与 2k+1 2k 2k+1 x 轴的交点为F . 记 2k P n ( x n , y n ) ， F n ( m n , 0 ) ，m =m，(n=0,1,2, ). 1 （1）若P(2,2 2)，求 1 m 0 ， m 1 ， m 2 ， m 3 ； （2）求证：数列{m }是等比数列，并用m表示数列 n { m n } 的通项公式； （3）对任意的正整数 k ，P P F 与F P P 的面积之比是否为定值？若是，请用 2k−2 2k−1 2k−1 2k−1 2k 2k+1 m 表示这个 定值；若不是，请说明理由. {#{QQABRYAowgg4kBaACI5LA0mkCEgQkJEiLWosRQCeqAwjgBFABAA=}#}