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2026 年普通高等学校招生全国统一考试
（前锋区高2026届第一次全真模拟考试）
数 学 参 考 答 案
1．A
【分析】化简集合 ，由交集的概念即可得解.
【详解】因为 ，且注意到 ，
从而 .
故选：A.
2．A
【分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出．
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
3．B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
故此时 为偶函数.
故选：B.
4．C
【分析】结合等差数列性质将 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为 成等差数列，所以 ， ，代入直线方程 得
，即 ，令 得 ，
故直线恒过 ，设 ，圆化为标准方程得： ，
设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 时， 最
小，
，此时 .
故选：C
5．D
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
6．B
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】先将 弦化切求得 ，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
7．A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A
8．B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c
的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数 , ，
利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a
与c，b与c的大小关系.
【详解】
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司记 ，则 ， ，
由于
所以当0<x<2时， ，即 ， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ；
令 ，则 ， ，
由于 ，在x>0时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，
即b<c；
综上， ，
故选：B.
9．AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单
调递减；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值
点，由 ，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故选：AD．
10．ACD
【分析】计算出圆心到直线 的距离，可得出点 到直线 的距离的取值范围，可判断AB
选项的正误；分析可知，当 最大或最小时， 与圆 相切，利用勾股定理可判断CD
选项的正误.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以，点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，A选项正确，B选项错误；
如右图所示：
当 最大或最小时， 与圆 相切，连接 、 ，可知 ，
， ，由勾股定理可得 ，CD选项正
确.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计
算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接
收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和
1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 ，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率 ，
单次传输发送0，则译码为0的概率 ，而 ，
因此 ，即 ，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互
斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．23
【分析】根据体积为公比为10的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个圆
柱的高度.
【详解】设升量器的高为 ，斗量器的高为 （单位都是 ），则
，
故 ， .
13．21
【详解】由题意知当n=1时，有2种，
当n=2时，有3种，
当n=3时，有2+3=5种，
当n=4时，有3+5=8种，
当n=5时，有5+8=13种，
当n=6时，有8+13=21种，
当n=6时，黑色和白色的小正方形共有26种涂法，
黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种结果，
故答案为21
14．
【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱 和四棱锥 后结合体积公式
可求几何体的体积.
【详解】先证明一个结论：如果平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ，则 .
证明：设 ， ， 在平面 取一点 ， ，
在平面 内过 作直线 ，使得 ，作直线 ，使得 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为平面 平面 ， ，故 ，而 ，故 ，
同理 ，而 ，故 .
下面回归问题.
连接 ，因为 且 ，故 ，同理 ，
，
而 ，故直角梯形 与直角梯形 全等，
故 ，
在直角梯形 中，过 作 ，垂足为 ，
则四边形 为矩形，且 为以 为直角的等腰直角三角形，
故 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， ,
平面 ，故 平面 ，
取 的中点为 ， 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ，
则 ，同理可证 平面 ，而 平面 ，
故平面 平面 ，同理平面 平面 ，
而平面 平面 ，故 平面 ，
故 ，故四边形 为平行四边形，故 .
在平面 中过 作 ，交 于 ，连接 .
则四边形 为平行四边形，且 ，故 ，
故四边形 为平行四边形，
而 平面 ，
故 平面 ，故平面 平面 ，
而 ，故 ，
故几何体 为直棱柱，
而 ，故 ,
因为 ，故 平面 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司而 平面 ，故平面 平面 ，
在平面 中过 作 ，垂足为 ，同理可证 平面 ，
而 ，故 ，故 ，
由对称性可得几何体的体积为 ，
故答案为： .
15．(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算 ，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得 ，根据题意计算 ，结合题意分析判断.
【详解】（1）根据题意可得列联表：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
可得 ，
因为 ，
所以有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有 的把握认为甲，乙
两车间产品的优级品率存在差异.
（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司用频率估计概率可得 ，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 ，
则 ，
可知 ，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
16．(1)证明见解析；
(2)1
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明；
（2）设 ，利用向量法求二面角，建立方程求出 即可得解.
【详解】（1）以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
.
（2）设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司令 ，得 ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
.
17．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用和差角的正弦公式、同角公式推理计算即得.
（2）利用同角公式求出 ，再结合（1）的结论及和角的正切求出 即可列式
计算得解.
【详解】（1）由 ，得 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即 ，两式相除得 ，
所以 .
（2）在锐角 中， ， ，则 ， ，
即有 ，将 代入上式并整理得 ，
而 ，解得 ， ，
设 边上的高为 ，则 ，
由 ，得 ，所以 边上的高等于
18．(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题意求得 的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线 与 的方程，
联立直线方程，消去 ，结合韦达定理计算可得 ，即交点的横坐标为定值，据此可
证得点 在定直线 上.
【详解】（1）设双曲线方程为 ，由焦点坐标可知 ，
则由 可得 ， ，
双曲线方程为 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）由(1)可得 ，设 ，
显然直线的斜率不为0，所以设直线 的方程为 ，且 ，
与 联立可得 ，且 ，
则 ，
直 线 的 方 程 为 ， 直 线 的 方 程 为
，
联立直线 与直线 的方程可得：
，
由 可得 ，即 ，
据此可得点 在定直线 上运动.
19．（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得 .
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合 及极值点的范围可得 的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1） .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）设 ，
因为 ，故 ，
若 ，则 ，故 .
，
因为 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
若 ，因为 在 为增函数且 ，
而当 时，因为 在 上为减函数，故 ，
故 为 的一个最小正实根，
若 ，因为 且在 上为减函数，故1为 的一个最小正实根，
综上，若 ，则 .
若 ，则 ，故 .
此时 ， ，
故 有两个不同零点 ，且 ，
且 时， ； 时， ；
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司而 ，故 ，
又 ，故 在 存在一个零点 ，且 .
所以 为 的一个最小正实根，此时 ，
故当 时， .
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代
的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
