2023届新高考数学金榜猜题卷（3）_2023高考押题卷_正确教育金榜猜题卷_（新高考）正确教育丨金榜猜题卷_新高考数学

2023 届新高考数学金榜猜题卷（3） 【满分：150分】 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集 ，集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2.若复数z满足 ，则 ( ) A.1 B. C. D. 3.已知 ， ， ，则a与b的夹角为( ) A. B. C. D. 4.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规 格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品 率为 ，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则 甲厂生产该芯片的次品率为( ) A. B. C. D. 4 5.圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的3 倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面， 则该截面面积的最大值是( ) A.8 B. C.3 7 D. 6.已知y f(x1)的图象关于点 对称，且对任意 ，都有 版权所有©正确教育侵权必究！f(x)2x2 成立，当 时， ，则 ( ). A.-8 B.-2 C.0 D.2 7.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.《九章算术》 内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，它是一本综合性的 历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学 形成了完整的体系.其中卷第五《商功》中记载了如下问题：“今有刍甍，下广 三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何?”其意思为“现在有底面 为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，无宽，上棱长2丈，高1丈， 问它的体积是多少?”(1丈为10尺).该问题中涉及的几何体如图所示，在多面体 ABCDEF 中， 平面ABCD,EF 的中点G在底面 上的射影为矩形ABCD的 中心 ，则异面直线BD与 所成角的余弦值为( ) 17 17   A. 5 B. C. 85 D. 8.已知 ， 为椭圆 的左、右焦点，过原点O且倾斜角为 30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若 ， ，则椭圆C的方 程为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.若 ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是( ) 版权所有©正确教育侵权必究！A. B. C. D. 10.已知函数 （ 为正整数， ）的最小正周期 ，将函数 的图象向右平移 个单位长度后所得图象关于原点 对称，则下列关于函数 的说法正确的是( ) A. 是函数 的一个零点 B.函数 的图象关于直线 对称 C.方程 在 上有三个解 D.函数 在 上单调递减 11.已知函数 ，则下列说法正确的是( ) A.若实数 ， 是 的两个不同的极值点，且满足 ，则 或 B.函数 的图象过坐标原点的充要条件是 C.若函数 在R上单调，则 D.若函数 的图象关于点 中心对称，则 版权所有©正确教育侵权必究！12.正四面体 中，点 分别满足 ，其中 ，则 下列说法正确的有( ) A.当 时， 平面 B.不存在λ使得 C.异面直线 与 所成角的余弦值 D.若正四面体的棱长为 ，则该正四面体的外接球的体积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知数列 的前n项和为 ，且 ，则 ________. 14. 的展开式中常数项为_________.（用数字作答） 15.已知双曲线 的实轴长为4，离心率为 ，直线l与C 交于A，B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点.若点M的横坐标为1，则 的取值范围为________. f x ax f x ax 1 1  2 2 16.已知函数 ，x(0,)，当 时，不等式 x 2 x 1 恒 成立，则实数a的取值范围为____________. 四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知数列 的前n项和为S n. （1）若 ，S n1 2S n 2，证明： ； 版权所有©正确教育侵权必究！（2）在（1）的条件下，若b n log 2 a n ，数列 的前n项和为T n ，求证 . 18.（12分）已知菱形ABCD的边长为2，DAB60，E是边BC上一点，线段 DE交AC于点F. 3 (1)若 的面积为 2 ，求DE的长. (2)若 ，求sinDFC. 19.（12分）某工厂统计了某产品的原材料投人x(万元)与利润y(万元)间的几组 数据如下： 原材料投入x(万元) 82 84 85 86 88 利润y(万元) 770 800 830 850 900 (1)根据经验可知原材料投人x(万元)与利润y(万元)间具有线性相关关系，求利 润y(万元)关于原材料投人x(万元)的线性回归方程. (2)当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为多少万元? 附： ， . 20.（12分）如图，PO是三棱锥 的高，PAPB， ，E是PB的 版权所有©正确教育侵权必究！中点. （1）求证：OE//平面PAC； （2）若 ，PO3， ，求二面角CAEB正余弦值. 21.（12分）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线 的焦 点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且 的重心G在曲线 上. (1)求抛物线C的方程； (2)记曲线 与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦 AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值. 22.（12分）已知函数 (其中e为自然对数的底数， ). (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若a0，方程 有两个不同的实数根 x 1 ,x 2 ，求证： . 版权所有©正确教育侵权必究！答案以及解析 1.答案：D 解析：集合B{1,3}，所以 ，所以� U (AB){2,0} .故选D. 2.答案：D 解析：由 ，所以 ，故选D. 3.答案：B ab 1 cos  解析：由 ，解得ab1，所以 a b 2 ，则a 与b的夹角为 ，故选B. 4.答案：B 解析：设 ， 分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得 的芯片为次品， 甲厂生产该芯片的次品率为p， 则 ， ， ， ， 则由全概率公式得： ，解得 ， 故选：B. 5.答案：A 解析：本题考查圆锥的侧面积、底面积、截面面积的求解.设圆锥底面半径为 r，母线为l，轴截面顶角为 ，则 ，得 ，所以 版权所有©正确教育侵权必究！ π  ，因为2为锐角，所以 ，即 2 ，则θ为纯角，所 以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为 .故选A. 6.答案：B 解析：因为y f(x1)的图象关于点 对称，所以函数 f(x)的图象关于点 对称，即函数 f(x)为奇函数，所以 ， 又对任意xR，都有 成立， 所以 f(x2) f(x)f(x)，所以 ，即函数 f(x)是周期为4的周期函数， f(x)2x2 因为当 时， ， 所以 ， 故选B. 7.答案：D 解析：本题考查数学文化、异面直线所成角.如图，分别取AD,BC,CD的中点 ，连接EP,PQ,QF,QR,RE,EQ，则 ，所以QRE (或其补角)为 异面直线 与CF 所成角. .由题意知四边形PQFE为 等腰梯形，则由等腰梯形的性质知 版权所有©正确教育侵权必究！，所以 ，所以在 中，由余弦定理，得 ，故选D. 8.答案：A 解析：因为点A在椭圆上，所以 ，把该等式两边同时平方，得 .又 ，所以 ，则 AF AF 2b2 ，即 1 2 ，所以 .因为 △AF 1 F 2 是直角三角形， ，且O为F 1 F 2 的中点，所以 . 不妨设点A在第一象限，则 ，所以 ，所以 ，即 ，故 ，所以椭圆C的方程为 ，故选A. 版权所有©正确教育侵权必究！9.答案：AD 解析：对于A，因为 ，所以 ，因此A项正确；对于 B，取 ，此时 ，因此B项不正确；对于C，取 ，此时 ，因此C项不正确；对于D，因为ab0，所 b a b a  2  2 以 ，所以a b a b ，因此D正确. 10.答案：ABD 解析：由题意得， ，解得 ，又 为正整数，所以 ，所以 .函数 的图象向右平移 个单位长度后所得图 象对应的函数 . 由题意，函数 的图象关于原点对称，故 ，即 .又 ，所以 ， ，所以 . A选项 ，故A正确； B选项： ，所以B正确； 版权所有©正确教育侵权必究！选项：令 ，因为 ，所以 ，，显然 在 内只有 ， 两个解，故C错误； D选项：当 时， ，，故函数 在 上单调递减，D正确. 11.答案：ABD 解析：A选项 ，由题意知实数 ， 是方程 的两个不等实根， 所以 ，且 ， ，由 ，得 ， 所以 ，解得 或 ，所以A正确. B选项：若函数 的图象过坐标原点，则 ，故充分性成立；反之， 若 ，则 ，故函数 的图象过坐标原点，必要性成立.故B正 确. 选项：若函数 在R上单调，则 恒成立，所以 ，即 ，故C不正确. D选项：因为函数 的图象关于点 中心对称，所以 版权所有©正确教育侵权必究！，即 ，整理得 ，所以 ，所以D正确. 12.答案：AD 解析：对于A，如图1，当 时，点 分别是 的中点， .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故选项A正确；对于 B，如图2，将正四面体 放在正方体内，由正方体的结构特征可知 ，所以当 分别是 的中点时， ，即存在λ使得 ，故选项B错误；对于C，如图1，取 的中点E，连接 ， 则 ，异面直线 与 所成角即为 .在 中，设 ，则 ，由余弦定理得 ，故选项C错误；对于 D，如图2，把正四面体放入正方体中，由正四面体的棱长为2 2，得正方体的 边长为2，所以正方体的外接球的直径为 ，则该正方体的外接球的体积，即 4 π( 3)3 4 3π 该正四面体的外接球的体积为3 ，故选项D正确，故选AD. 版权所有©正确教育侵权必究！13.答案： 解析：因为 ，所以当 时，由 ，得 ； 当 时， ， 化简得 ，即 ，所以数列 是以2为首项，2为公 比的等比数列，所以 ，所以 ，所以 . 14.答案：182 解析：因为 ， 其中 展开式的通项为 ， 令 得 的常数项为 ， 令 ，即 得 展开式中 的系数为 . 所以 的常数项为 . 故答案为：182. 版权所有©正确教育侵权必究！15.答案： 解析：由题知 解得 所以双曲线 .设直线l的方 程为 ，联立 消去y并整理得 ， 所以 ，所以 ， 设 ， ， ，所以 ， ， 所以 ， ，又 ，所以 ，所以 ，易知直 线l与双曲线左、右两支各交于一点，所以 ，所以 ，所 以 ，所以 16.答案： 解析：由题可知，当 时，不等式 恒成立，设 ，则 在 上是增函数，则 在 上恒成立，即 在 上恒成立.令 ，则 ， 版权所有©正确教育侵权必究！当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递 增.所以 ，所以 . 17.答案：（1）见解析 （2）见解析 解析：（1）因为 ， ， 所以 ， ， 所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以 ， ， 当 时， ， ， 当 时， 满足上式， 所以 ，所以 成立. （2）由（1）知 ， ， 所以 ， 则 ， 所以 ， 版权所有©正确教育侵权必究！所以 成立. 18.答案：(1) (2) 解析：(1)依题意，得 . 因为 的面积 ， 所以 ，解得 . 在 中，由余弦定理得 . (2)方法一：连接BD. 依题意，得 ， 设 ，则 ， 在 中，由正弦定理得 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，所以 . 方法二：连接BD. 依题意，得 ， ， 设 ，则 ， 版权所有©正确教育侵权必究！设 ，因为 ，则 ， 在 中，由余弦定理，得 ， 即 ，解得 ，或 . 2 3 x 又因为 ，所以 ，所以 9 ， 所以 ， 在△CDF 中，由正弦定理得 ， 2sin30 3 21 sinDFC   2 21 14 所以 9 . 19.答案：(1) (2)1160万元 解析：(1)由题中数据可得 ， 所以 所以 ， 所以线性回归方程为 . 版权所有©正确教育侵权必究！(2)当 时， (万元)， 即当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为1160万元 20.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE. 因为 ，所以 . 因为PO为三棱锥 的高，所以 平面ABC， 因为 平面ABC，所以 . 又 平面POD，且 ，所以 平面POD. 因为 平面POD，所以 ， 又 ，所以 ，因为 平面PAC， 平面PAC，所以 平 面PAC. 因为D，E分别为BA，BP的中点，所以 ， 因为 平面PAC， 平面PAC，所以 平面PAC. 又 平面ODE， ， 所以平面 平面PAC. 又 平面ODE，所以 平面PAC. 版权所有©正确教育侵权必究！（2）连接OA， 因为 平面ABC， 平面ABC， 所以 ， ， 所以 . 易得在 中， ， 所以 ， ， 又 ， 所以在 中， . 以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC 的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ， ， ， ， 设平面AEC的法向量为 ， 版权所有©正确教育侵权必究！则 ，即 ， 令 ，则 . 设平面AEB的法向量为 ， 则 ，即 ，令 ，则 . 所以 . 设二面角 的大小为 ， 则 . 21.答案：(1) (2) (1)焦点 ，显然直线AB的斜率存在，设 ，与 联立， 消去y得 ，设 ， ， ，则 ，所以 ，所以 版权所有©正确教育侵权必究！且 ， 故 ， 即 ， 整理得 对任意的k恒成立，故 ，所求抛物线C的方程为 . (2)由题知 ， ， ， ， ， ，则 .又弦 AB的中点为M， 的重心为G，则 ，故 ，所以 . 点D到直线AB的距离 ， ， 所以四边形DEMG的面积 版权所有©正确教育侵权必究！当且仅当 ，即 时取等号， 此时四边形DEMG面积的最小值为 . 22.答案：(1) (2)见解析 解析：(1)当 时， ， 则 ， 因此 ， 故曲线 在点 处的切线方程为 . (2)由题意知方程 有两个不同的实数根 . 对于函数 ， 令 ，解得 ， 令 ，解得 ， 则函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 所以 ，得 . 又当 时， ，所以方程 的两个不同的实数根 均大于 0. 当 时，方程 即方程 ， 则原问题等价于 有两个不同的正实数根 . 版权所有©正确教育侵权必究！令 ， 则 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 不妨设 ，则 . 令 ， 则 ， 因此 在 上单调递增， 从而当 时， ， 所以 ， 因为 ，函数 在 上单调递减， 所以 ，即 ， 则 ， 故原命题得证. 版权所有©正确教育侵权必究！版权所有©正确教育侵权必究！