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吉林省吉林市第一中学 2026 届高三上学期第一次质量检测
数学试卷（平行班）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 ( )
−i
i 1+i=1−i | +3|=
A. B. C. D.
2.已知29平面向量 13 ，则“ 2”6 是“ 与 的夹角5为钝角”的( )
A.充分不必要条 件=(1,2), =( ,−1) B.<必2要不充分 条 件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 为等比数列 的前 项和，若 ，且 ，则 等于( )
A. B. 1 =2 C . 2022+ 2023 =0 D . 2025
2 4050 −2 −4050
4.已知实数 满足 ，则 的最小值为( )
1 1 9
A. 0< < B4. +1−4 C. D.
5.在20校拔河比赛上某班荣获一25枚奖牌，如图所示30 为边长为 的正3方5 形， 为正六边形，则
( ) 1 ⋅
=
A. B. C. D.
3 1
6.已0知正方形 的边长为2 是它的外接圆1的一条弦，点 为正方2形四条边上的动点，当弦 的长度
最大时， 的 取值范围是2,( )
A. ⋅ B. C. D.
7.已[−知1数,0列] 满足 ，0, 2 ，设数列[1,2] 的前 项和[为−1,，1]若 ，则 的最
1 1 33 ∗
小值是( ) 1 =1 +1 = +3 +1 >101 ∈
A. B. C. D.
16 17 18 19
8.已知函数 是奇函数，函数 的图象与 的图象有 个公共点
2 −1
，且 = ( +1)−2 ，则 ( )= −1 ( ) ( 4 ) , ( =
1A,.2,3,4) 1 < 2 < 3 B<. 4 1+ 2+C . 3+ 4 1+ 2+D . 3+ 4 =
2 3 4 5
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1 7二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，下列说法正确的是( )
A.复数 ，则 在复平面内对应的点位于第一象限
B.若复数 =1，−2满 足 ，则
C.若 1， 2 ， 则1+ 2 =的最 1小−值 2为 1 2 =0
D.若| |= 1 是 关∈ 于 的方| 程−2| 1 ， 的根，则
2
10.设−4，+3分i 别为等 差数列 +的 公 差+ 与=前0(项 和 ，∈若 ) ， 则=下6列论断中正确的有( )
A.当 时， 取最大值 B.当 6 =时 1，2
C.当 =9时， D.当 =18时， =0
> 0 6+ 12 <0 <0 6 > 12
11.已知 为偶函数， ，则下列结论正确的是( )
π π
( )= sin +3+ >0,| |< 2 ( )= sin( + )
A.
π
= 6
B.若 的最小正周期为 ，则
2
( ) 3π =3
C.若 在区间 上有且仅有 个最值点，则 的取值范围为
7 10
( ) 0,π 3 3, 3
D.若 ，则 的最小值为
π 3
三、填 空4题=：本2 题共 3小题，每小2题5分，共15分。
12.已知向量 ，若 ，则 ．
13.已知函数 =(1,1), =是(−偶1函,3数) ，若 + ⊥ 则 = ．
3
= ( )+ (10)=20, (−10)=
14.在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， ，则当角 取最大
1
值时，▵ 的周长 为 ． =1 2sin = cos( + )sin
四、解答▵ 题 ： 本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
已知(函数 13 ) ．
求函数 ( )= 的 4 单 si 调 n 递 增 − 区3 间 co ； s + 3
(1) ( )
若函数 在区间 上恰有 个零点 ，求 的值．
3
( 1 2 6 ). 本小题 ( )分= ( )−2 (0, ) 2 1, 2 1 < 2 cos 1− 2
( 15 )
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2 7某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对 名应聘者进行专业技能测试应聘者的测试分数
全部介于 分到 分之间，公司将20所0有分数分成 组：［ ，. ，
整 (理 =得1到,2如,⋯图,2所00示)的频率分布30直方图80同组数据以这组数据的中间值作5为代表 ．30,40) [40,50),…,[70,80]
( )
估计此次测试分数的平均值 ；
(1)公司计划按照分数从高到低选 拔前 名的应聘者进入面试环节，试估计这 名应聘者的最低分数；
(2)试估计这 名应聘者的分数 50 的方差 ，并判断此次得分为50 分和 分的两名应聘
2
(者3)的成绩是否2进00入到了 (范 =围1内,2？,⋯,200) 63 72
[ − , + ]
参考公式： ，其中 为各组频数，参考数据：
2 1 2
( 17. 本小题 =分 =1 ( − ) 10≈ 3.2).
在 ( 中，15内角) 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
▵求 内 角 ； , , 3 sin + cos =2
(1)点 是边 上的中点，已知 ，求 面积的最大值．
(128). 本 小题 分 =2 ▵
已知(函数 17 ) ．
( )= +cos −1
当 时，求 在 上的单调区间；
1
(1) =2 ( ) (0, )
若 ，使得 ，求 的取值范围．
(
1
2
9
)
. 本
∃
小
∈
题
0,2分 ( )> 0
已知(等差数列17 )满足 其中 为 的前 项和，递增的等比数列 满足： ，
且 ， ， 成等 差3数=列 2．+1, 3 = 4+2, 1 =1
求1 数 列2 3−、4 的通项公式；
(1)设 的前 项和为 ，求
(2)设 ⋅ ， 的前 项 和为 ，若 恒成立，求实数 的最大值．
( +4)
(3) =( + )⋅ +1 ≥ +1
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3 7参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
13.−5
14.2020
15.
2【+详解3】
1 3 2
(1)∵ ( )=4 2sin − 2 cos ⋅cos + 3=2sin cos −2 3cos + 3=sin2 −
；
3cos2 =2sin 2 −3
令 ，解得： ，
5
∴ −2+2 ≤2 −3 ≤ 2+2 ( ∈ ) −12+ ≤ ≤ 12+ ( ∈ )
的单调递增区间为 ．
5
∴ ( ) −12+ ,12+ , ∈
在区间 上恰有 个零点 ， ，在 有两个根
3
(2)∵ ( ) (0, ) 2 1, 2 1 < 2 ∴ ( )= 2 (0, )
由 知，当 时，函数 图像的对称轴为 ，
5
(1) ∈ (0, ) ( ) = 12
所以 ，则
5 5
1+ 2 = 6 1 = 6 − 2
所以 ，
5
cos 1− 2 =cos 6 −2 2 =sin 2 2−3
又 ，故 ．
3 3
2 =sin 2 2−3 =4 cos 1− 2 =4
16.【详解】 组的频率分别为 、 、 、 、 ，
(1)1−5 0.15 0.2 0.3 0.2 0.15
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4 7‾
．
∴ =35×0.15+45×0.2+55×0.3+65×0.2+75×0.15=55
，
50 1
(2这)∵ 20名0=应4骋者的最低分数为第三四分位数所对应的分数，
∴前50组的频率之和为 ，
∵前 3组的频率之和为 0.15+0.2+0.3=0.65，< 0.75
第4三四分位数落在 0.65+内0，.2设=为0.85，>0.75
∴则 [60,70) ，解 得
这0.65名+店( 骋−者6的0)量×低0.0分2数=力0.75 分． =65
∴ 依50题意 65
2 2 2 2 2 2
(3) ，=(35−55) ×0.15+(45−55) ×0.2+(55−55) ×0.3+(65−55) ×0.2+(75−55) ×
0.15=160 ，
∴ ‾= 160=4 ‾10≈12.8
， ，
∴ ‾− =‾62.2 + =67.8
，
∴ [ −分 的, 应+聘 ]者=的[4成2.8绩.6进7.入8]到了 的范围内，
∴ 63分的应聘者的成绩没有进入到[了42.8,67.8] 的范围内．
72 [42.8,67.8]
17.【详解】 在 中，因为 ，
由正弦定理得(1) ▵ 3 sin + c，os =2
因为 ，3所sin以 sin +sin， 于co是s 有=2sin ，
∈ 0,π sin > 0 3sin +cos =2
所以 ，即 ，
3 1 π
2 sin +2cos =1 sin +6 =1
因为 ，所以 ，
π π 7π
∈ 0,π +6 ∈ 6, 6
所以 ，
π π
+6 = 2
即 ．
π
= 3
因为点 是边 上的中点，所以 ，
1
(2) =2 +
对上式两边平分得： ，
2 2 2
1
=4 + +2 cos
因为 ，所以 ，即 ，
1 2 2 2 2
=2 4= 4 + +2 cos3 + + =16
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5 7而 ，有 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立．
2 2 16
+ ≥2 3 ≤16 ≤ 3 =
因此 ．
1 1 16 4 3
▵ =2 sin ≤2× 3 ×sin3 = 3
即 面积的最大值为 ．
4 3
▵ 3
18.【详解】 当 时， ， ′ ，令 ′ ，
1 1 1
(1) =2 ( )= 2 +cos −1 ( )= 2−sin ( )=0
得 ，故 或 因为
1 5
sin =2 = 6 = 6 . ∈ (0, )
当 ′ 时，解得 或 ；
5
( )> 0 0< < 6 6 < <
当 ′ 时，解得 ．
5
( )< 0 6< < 6
所以 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ．
5 5
( ) 0,6 6 , 6, 6
由题知 ， ， ， ′
(2) ∈ 0,2 ( )= +cos −1 (0)=0 ( )= −sin
当 时， ′ ，即 在 上的单调递减，故 恒成立，不符合题意；
≤ 0 ( )<0 ( ) 0,2 ( )< 0
当 时，令 ′ ，即 ，不妨设 ，且 ，则当 时， ，即
′
> 0 ( )
，
=
故
0
在
= sin
上的单调
递
0 ∈
增，
0,2 = sin 0 ∈ 0, 0 sin <
因为( )= −，sin所 以>，0 在( ) 0上, 大0 于零，符合题意．
综上所 (0述)，=0 ． ( ) 0, 0
> 0
19.【详解】解： 设等差数列的公差为 ，
(1) ∵ 3 = 2+1, 3 = 4+2,
．
1+2 =2 1+ +1
∴ 3×2 ,∴ 1 =1, =2, ∴ =2 −1
设等 3 比 1 数 + 列2 = 公 比 1+ 为 3 其 + 中 2 ，因为 ，
由 ， 可(得 >0) ，1 =解1得 或 舍去 ；
2
所以2 数2列= 1+的 通3−项4公式为 −2 −．3=0 =3 −1( )
−1
由 得 =3 ，
−1
(则2) (1) ⋅ =(2 −1)⋅3 ①
0 1 2 −2 ② −1
=1×3 +3×3 +5×3 +⋅⋅⋅+(2 −3)×3 +(2 −1)×3 .
1 2 3 −1
3由 ① =减1去×②3得+3×3 +5×3 +⋅⋅⋅+(2 −3)×3 +(2 −1)×3 ，
1 2 3 −1
−2 =1+2(3 +3 +3 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+3 )−(2 −1)⋅3
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6 7则 ，所以 的前 项和 ．
−1
3 1−3
−2 =1+2× 1−3 −(2 −1)⋅3 =( −1)⋅3 +1
由 可知， ，
( −1) ( −1) 2
(3) (1) = 1 + 2 = + 2 ⋅2=
则
(2 +3) (2 +3) 1 1
= 2 + ⋅3 = ⋅( +1)⋅3 = ⋅3 −1−( +1)⋅3
1 1 1 1 1
∴ =1− 1+ 1− 2+⋅⋅⋅+ −1−
2×3 2恒×成3立，3×3 ×3恒成立，( +1)×3
1 1
=1−( +1)⋅3 ≥( +1) ∴ ( +1)−3 ≥
单调递增， 时， ，
1 1 5
∵ ( +1)−3 ∴ =1 ( +1)−3 min =3
最大值为 ．
5 5
∴ ≤3,∴ 3
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7 7
