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秘密★启用前【考试时间：2025年10月20日15:00~17:00】
字节精准教育联盟·高中 2023 级第一次诊断性考试模拟试题
数 学
考生注意：
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡上的项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题
卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡
上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答
无效。
4. 考试结束后，请交回答题卡，试题卷自行保存。
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合要求.
1．已知集合 ， ，则A与B的交集是（ ）
A． B． C． D．ABC均错误
2．已知函数 ，设 ，则 是（ ）
A．在 上单调递减
B．在 上单调递增
C．在 上单调递减， 上递增
D．在 上单调递增， 上递减
3．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
高三数学一诊试卷 第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司5．设 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，则 可以是（ ）
A． B． C． D．
7．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如
下定义：设 为斐波那契数列， ， ， ，其通项公式为
，设 是 的正整数解，则 的最大值
为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知 ，且 ，对于任意 均有 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A．函数 在区间 上的最小值为
B．若函数 在区间 上的取值范围为 ，则 的最大值是
C．若 ，则
D．若 ，则
10．已知函数 的最小正周期为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 是函数 图象的一条对称轴
高三数学一诊试卷 第2页，共4页
学科网（北京）股份有限公司B．函数 在区间 上的最大值为
C．函数 在区间 上单调递增
D．将函数 图象上所有的点向左平移 个单位，得到 的图象
11．函数 的图象上有三个不同的点 .抛物线 的焦点为 ，
下列说法正确的是（ ）
A．若点A的纵坐标为 ，则其范围是
B．点B关于原点的对称点在函数 的图象上
C．若点 且 ，则 可能为直角
D．若点 则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 ， ，则 ．
13．若函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围为 .
14．已知数列 满足 ， ， ，数列 满足 ，则数
列 的前1011项的和 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
（1）已知全集 ，集合 ， .若 是 的充分
不必要条件，求实数 的取值范围.
（2）已知 ， ，求 .
16．（本小题满分15分）
高三数学一诊试卷 第3页，共4页
学科网（北京）股份有限公司已知函数 ．
(1)求 的最小正周期，并求 的最小值及取得最小值时 的集合；
(2)令 ，若 对于 恒成立，求实数 的取值范围．
17．（本小题满分15分）
已知函数 .
(1)求函数 在 上的单调递减区间；
(2)当 时， ，求 的最大值；
(3)证明：方程 在 上有唯一实数解.
18．（本小题满分17分）
记 是数列 的前 项和， ， ，且数列 是等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设若 ，求数列 的前 项和
19．（本小题满分17分）
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学科网（北京）股份有限公司对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“局部反
比例对称函数”．
(1)用定义证明函数 在 为单调递增函数；
(2)已知函数 ，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由；
(3)若 是定义在区间 上的“局部反比例对称函数”，求实数
的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司字节精准教育联盟·高中 2023 级第一次诊断性考试模拟试题
数学参考答案与试题解析
1．D
【分析】根据题意可得 ，再判断即可.
【详解】由题知 ，
故选：D.
2．B
【分析】首先判断 与 的奇偶性，再画出 的图像即可求出 的单调性.
【详解】 的定义域为 ，
因为 ，则 ，
所以 为奇函数.
又 ，则 也是奇函数.
由 ，可得图象如图所示：
所以函数 在 上单调递增.
故选：B
3．D
【分析】根据特殊角的三角函数值，以及对数函数的单调性，分别判断大小即得．
【详解】由题意知， ， ，
，且 ，
所以 ，即 ．
故选：D．
4．A
【分析】解出不等式，利用集合包含关系可判断充要关系.
【详解】由 ，解得： 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件；
数学试题答案 第1页，共12页
学科网（北京）股份有限公司故选：A
5．D
【分析】利用对数运算法则及换底公式化简，再利用指数式与对数式互化关系求解.
【详解】依题意， ，
所以 .
故选：D
6．C
【分析】利用平移变换和诱导公式推得 ， ，再逐一检验各选项即可.
【详解】因为 ，
将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 ，
所以 ，则 ， ， ， ，
对于A，若 ，代入得 ，故A错误；
对于B，若 ，代入得 ，故B错误；
对于C，当 时， ，故C正确；
对于D，若 ，代入得 ，故D错误.
故选：C.
7．A
【分析】利用给定条件结合对数的性质将 化为
，结合 ，得到 ，根据 递增，
得到 也是递增数列，得 ，即可求解.
【详解】由题知 是 的正整数解，
故 ，取指数得 ，
同除 得， ，故 ，
即 ，根据 是递增数列可以得到 也是递增数列，
数学试题答案 第2页，共12页
学科网（北京）股份有限公司于是原不等式转化为 .
由斐波那契数列可得， ， ， ，
可以得到满足要求的 的最大值为 ，故A正确.
故选：A
【点睛】关键点点睛：
本题关键在于利用对数的运算将 ，
转化为 ，结合 的表达式得到 ，
从而求解 的最大值.
8．B
【分析】对 分 与 两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.
【详解】因为 ，所以 且 ，
设 ，则 的零点为 ，
当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，则 ，不合题意；
当 时，则 或 ，即 或 ;
综上一定有 .
故选：B.
9．BCD
【分析】先利用三角变换公式得 ，结合正弦函数的性质判断A，求出
的解集后判断B，利用二倍角公式结合弦切互化判断C，利用两角差的余弦
计算 判断D.
【详解】
数学试题答案 第3页，共12页
学科网（北京）股份有限公司.
对于A， ， ， ，
，故 的最小值为 ，故A错误.
对于B， 函数 的取值范围为 ， ，
故 ，解得 .
当 最大时， 的最大值是 ，故B正确.
对于C，
，
而 ，故 ，故C正确.
对于D， ，
，
故D正确.
故选：BCD.
10．AD
【分析】根据周期公式先算出 ，由代入检验法判断A选项，根据正弦函数的最值，单调性
判断BC，先求出平移后的解析式然后判断D.
【详解】因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，解得 ，
数学试题答案 第4页，共12页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 ，
所以直线 是函数 图象的一条对称轴，故A正确；
当 ，则 ，
所以当 ，即 时 取得最大值 ，故B错误；
当 ，则 ，因为 在 上不单调，
所以 在区间 上不单调，故C错误；
将函数 图象上所有的点向左平移 个单位得到 的图象，故
D正确.
故选：AD
11．AD
【分析】由换元法，结合正弦函数的性质即可求解A，根据偶函数的性质即可求解B，求导，
得函数的单调性以及变化趋势，继而可作出 的大致图象，根据两点距离公式先证明曲线
上除点 外，始终在圆 的内部，即可结合图形性质求解C，根据两点距离公式以
及二次函数的性质证明 ,即可求解D.
【详解】对于函数 ，令 ，则 ，所以A
正确.
B选项：易知 为偶函数，所以B选项错误.
C选项： 记 ， ,由于
， ，故 ，
所以 单调递增， .
所以当 时， 单调递减，且减小速度逐渐变慢；
当 时， 单调递增，且增长速度逐渐变快，
数学试题答案 第5页，共12页
学科网（北京）股份有限公司作出 的大致图象：
设 为曲线上任意一点，则 ，
，则 ，故 在 单调递增，故 ，
故 ，当且仅当 取到等号，
，故 ，则
，当且仅当 时， ，
设 ，故曲线上除点 外，始终在圆 的内部，
故当 ，结合曲线的凹凸性可得 ，
所以 大于 ，所以C选项错误.
D选项：设点 是函数 图象上一点，
且 ，易知
由于 ,
数学试题答案 第6页，共12页
学科网（北京）股份有限公司所以
，
所以， .所以D正确.
故选：AD.
12．
【分析】由已知条件展开可求得 ， ,代入即可.
【详解】由 得： ,
由 得： ,
所以 ， ,
所以 .
故答案为：
13．
【分析】由题意得出 ，由此得出 ，于是得出 ，然后对实数 的
取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可.
【详解】因为 ，所以 ，
由题知 ，则 ，
令 可得 或 .
若 ，即当 时，
由 可得 或 ，由 可得 ，
此时，函数 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
此时，函数 在 处取得极小值，不合乎题意；
若 ，即当 ，则 对任意的 恒成立，
数学试题答案 第7页，共12页
学科网（北京）股份有限公司此时，函数 在 上单调递增，无极值点；
若 ，即当 时，
由 可得 或 ，由 可得 ，
此时，函数 在 、 上单调递增，在 上单调递减，
此时，函数 在 处取得极大值，合乎题意.
故实数 的取值范围是 .
故答案为： .
14．
【分析】由题意可得数列 是等比数列，求得通项公式，进而可得 ，利用并项求
和法求解即可.
【详解】因为 ，所以数列 是等比数列，设数列 的公比为 ，
又因为 ， ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
所以
.
故答案为： .
15．（1） ；（2）
【分析】（1）依题意可得集合 是集合 的真子集，即可得到不等式组，解得即可；
（2）由同角的三角函数关系结合角的范围计算即可.
【详解】（1）集合 ，而 必为非空集合，
因为 是 的充分不必要条件，则集合 是集合 的真子集，
所以 （等号不同时成立），解得 ，所以实数 的取值范围为 ．
（2）因为 ，两边平方得 ，
有 ，所以 ，
数学试题答案 第8页，共12页
学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ，则 ，
所以 ．
16．(1)最小正周期是 ，最小值为 ． 的集合为
(2)
【分析】(1)首先化简函数 ，再根据三角函数的性质，即可求解；
（2）将不等式恒成立问题，转化为求函数 的最值问题，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数 ，
可得其最小正周期是 ，
当 ，可得 ，即 时，
函数 的最小值为 ．
此时 的集合为 ．
（2）由
因为 ，得 ，则 ，
所以 ，
若 对于 恒成立，则 ，
所以 ，即求实数 的取值范围 ．
17．(1)
数学试题答案 第9页，共12页
学科网（北京）股份有限公司(2)e
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与单调性的关系，即可求解；
（2）由已知可得 ，将问题转化为不等式恒成立，讨论参数a的范围，分类求解即可；
（3）设 ，连续构造函数并求导，结合零点存在定理，即可证明结论.
【详解】（1）因为 ，所以 , ，
则 ，
当 时，即 时， ， 单调递增；
当 时，即 时， ， 单调递减；
当 ，即 时， ， 单调递增.
故所求单调递减区间为 .
（2）因为 ，所以 ，故由 得 .
设 ，则 .
①当 时，则 ，所以 在 上单调递增.
从而 ，解得 ，此时， .
②当 时， 在 上恒成立， 单调递增，
则需 ，即 ，此时 ；
当 时，则 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增.
所以 ，变形可得 .
此时， .
设 ， ，则 .
数学试题答案 第10页，共12页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数.
所以 ，即 ，当且仅当 ， 时取等号.
综合可知 的最大值为e.
③当 时， 在 上单调递减.
从而 ，解得 .
此时 .
综上， 的最大值为e.
（3）证明：设 ，
则 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
而 的导数 ，
所以 在 上单调递减.
因为 ， ，
所以存在唯一 ，使得 .
当 时、 ， 单调递增，当 时， ， 单调递减.
又因为 , , .
所以存在唯一 ，使得 .
当 时， 即 单调递增，当 时， 单调递减，
又因为 ， ， ，
所以存在唯一 ，使得 .
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
数学试题答案 第11页，共12页
学科网（北京）股份有限公司又因为 ， ， ，
所以存在唯一 ，使得 ，
即方程 在 上有唯一实数解.
18．(1)
(2)
【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出 ，再利用 与 的关系求解即可；
（2）利用分组求和，其中奇数部分利用等差数列的前 项和公式，偶数部分利用裂项相消求
解即可.
【详解】（1）因为 ， ，设等差数列 的公差为 ，则 ，解得
，
所以 ，即 ，
当 时， ，当 时， 成立，故 ．
（2）由题意可得
.
19．(1)证明见解析
(2) 不是“局部反比例对称函数”，理由见解析
(3)
数学试题答案 第12页，共12页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意，设 ，用作差法证明 ；
（2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程 有无实数解即可；
（3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程 在 有解，令
，将问题转化为方程 在 上有解，再根据一元二次方程根的
分布求解.
【详解】（1）证明：根据题意， ，设 ，则 .
则有 ，即 ，
所以函数 在 为单调递增函数.
（2）根据题意， 不是“局部反比例对称函数”，理由如下：
已知函数 ，若 ，则 ，
即 ，所以 ，所以方程 无实数解，
即不存在实数 ，使 成立，
故 不是“局部反比例对称函数”.
（3）根据题意， 是定义在区间 上的“局部反比例对称函数”，
则方程 ，即 在 上有解.
整理得： .
令 ，由 ，得 ，
所以问题转化为方程 在 上有解.
设函数 ，则其图象开口向上，对称轴为 .
数学试题答案 第13页，共12页
学科网（北京）股份有限公司分类讨论：
①当 时，只需 ，即 ，
解得 ，所以 ；
②当 时，只需 ，即 ，
解得 ，所以 .
综上，实数 的取值范围为 .
数学试题答案 第14页，共12页
学科网（北京）股份有限公司
