高二数学第一次月考卷02（全解全析）（江苏专用）(1)_1多考区联考_2510052025-2026学年高二数学上学期第一次月考

2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 02 （江苏专用） （时间：120 分钟 满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版 2019 选择性必修第一册空间向量与立体几何+直线。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．经过两点 的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 1.【答案】C 【解析】由题意知，经过 的直线的斜率为 ， 设该直线的倾斜角为 ，则 ， 所以 ，即直线的倾斜角为 . 故选：C 2．设直线 ， ，则 是 的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.【答案】C 【解析】当 时，直线 ， ， 此时 ，则 ，所以 ，故充分性成立； /当 时， ，解得 或 ，故必要性不成立； 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件， 故选：C. 3．若平面 的法向量为 ，平而 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，则（ ） A. 若 ，则 1 B. 若 ，则 2 C. 若 ，则 D. 若 ，则 3.【答案】D 【解析】对于 A，由 ，得 ，则 ，解得 ，A 错误； 对于 B，由 ，得 ，则 ，解得 ，B 错误； 对于 C，由 ，得 ， ， ，则 或 ，C 错误； 对于 D，由 ，得 ， ， ，则 ，D 正确. 故选：D 4．已知直线 与直线 平行，则这两条平行直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 4.【答案】B 【解析】由题意可得 ，则 ，解得 ，经检验符合题意， 可得直线 与直线 ，整理可得 ， 两直线之间的距离 . 故选：B. 5．如图，空间四边形 OABC 中， ，点 M 在 OA 上，且 ，点 N 为 BC 中 点，则 等于（ ） /A. B. C. D. 5.【答案】B 【解析】 . 故选：B. 6．已知直线 及两点 ， .若直线与线段 （ 指向 ）的延长线（不含 点） 相交，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.【答案】A 【解析】直线 过定点 ，作出图像如下图所示： ， ，直线 的斜率为 ， 若直线与线段 （ 指向 ）的延长线（不含 点）相交，则 ，即 . 故选：A /7．在三棱锥 中， 为 的重心， ，若 交平面 于点 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 7.【答案】C 【解析】 ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四点共面， ∴ ，即 ． ∵ ，当且仅当 时，等号成立， ∴ 的最小值为 1． 故选：C 8．已知 ， ， ， ， ，一束光线从 F 点出发射到 上的 D 点经 反射后，再经 反射，落到线段 上（不含端点），则 斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8.【答案】D /【解析】已知 ， ， ， 则直线 方程为 ，直线 方程为 如图，作 关于 的对称点 ， ，解得 ，故 ， 再作 关于 的对称点 ，则 ，得 ， 连接 ，连接 交 与点 ，则直线 方程为 ，得 ， 连接 、 分别交 为点 、 ， 则直线 方程为 ，得 ， 直线 的斜率 ，方程为 ，与直线 联立方程组，解得 ， 连接 ， ，则 ， 之间即为点 的变动范围． 直线 方程为 ，斜率为 0， 直线 的斜率为 ， 所以 斜率的范围为 ， /故选：D． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下列说法正确的是（ ） A. 若直线的一个方向向量为 ，则该直线的斜率为 B. 经过点 ， 的直线方程均可用 表示 C. 若对空间中任意一点 有 ，则 ， ， ， 四点共面 D. 当点 到直线 的距离最大时， 的值为 1 9.【答案】ABD 【解析】A.由 是直线的一个方向向量得 也是直线的方向向量，因为 是直线的方向向量， 所以 ，选项 A 正确； B.经过点 ， 的直线方程均可用 表示，选项 B 正 确； 对于 C 项：因为 ，所以 ， 所以 ，即 ， 所以 ， ， ， 四点共面，故 C 正确； D.将直线方程变形为 ，由 得 ， 直线 过定点 ，斜率为 . 当直线 与 垂直时，点 到直线 的距离最大. 因为 ，所以 ，选项 D 错误； 故选：ABC. 10．已知点 ，且点 在直线 上，则（ ） /A. 存在点 ，使得 B. 存在点 ，使得 C. 的最小值为 D. 若 ，则 的最小值为 1 10.【答案】BC 【解析】对于 A：设 ，若 时 ，此时 的斜率不存在， 与 不垂直，同理 时 与 不垂直， 当 且 时 ， 若 ，则 ， 去分母整理得 ，方程无解，故 与 不垂直，故 A 错误； 对于 B：设 ，若 ， 则 ，即 ， 由 ，所以方程有解， 则存在点 ，使得 ，故 B 正确； 对于 C：如图设 关于直线 的对称点为 ， 则 ，解得 ，即 ， 所以 ， 当且仅当 三点共线时取等号（ 在线段 之间），故 C 正确： /对于 D，因为 ， 当 时等号成立，所以 的最小值为 1，故 D 错误. 故选：BC. 11．在长方体 中， ，底面 是边长为 3 正方形， ，则 下列选项正确的有（ ） A. ，三棱锥 的体积是定值 B. 当 时，存在唯一 使得 平面 C. 当 时， 的周长取得最小值 D. 当直线 与 所成角的余弦值为 时， 的值为 11.【答案】ACD 【解析】对于 A，由于 平面 ，故 E 到平面 的距离为定值 3， 而 的面积为 ，故三棱锥 的体积为 ，为定值，A 正确； 对于 B，当 时， ，若 平面 ，而 平面 ， 故 ，设 ，则 ， ， 即 ， ， 即 ，解得 ， 即当 时， 上存在两个不同的点 E，使得 平面 ， 由于 ，即存在不同的 使得 平面 ，B 错误； /对于 C，如图，将四边形 展开到一个平面上，连接 ，交 于 E 点， 由于 ，故 为三角形 的中位线，即 E 为 的中点， 则 ，此时 的值最小，即 的周长取得最小值，C 正确； 对于 D，如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则 ， 由于 ，故 ，则 ， 故 ， 则 ， 解得 （负值舍去），D 正确， 故选：ACD 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为为__________________. /12.【答案】 或 【解析】设直线在两坐标轴上的截距分别为： ， ，则 ① ，则直线过原点，则直线方程为： ② 则 ，则设直线方程为： ，即 ，则 ，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为 或 故答案为： 或 13．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱 ，底面 是正方形， ， ， 且 ， ， 与 所成角的余弦值为______． 13.【答案】 【解析】 如图，分别取 ，则 ， 且 ， 而 由 ， ， /， 设 与 的所成角为 ， 则 . 故答案为： . 14．如图，已知正三棱柱 的所有棱长均为 1，则线段 上的动点 P 到直线 的距离的最 小值为______. 14.【答案】 【解析】在正三棱柱 中，在平面 内过 A 作 ，显然射线 两两垂 直， 以点 A 为原点，射线 分别为 轴建立空间直角坐标系，如图， /因正三棱柱 的所有棱长均为 1，则 ， ，因动点 P 在线段 上，则令 ， 即有点 ， ， ， ， 因此点 P 到直线 的距离 ，当且仅当 时取等号， 所以线段 上的动点 P 到直线 的距离的最小值为 . 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分）已知向量 ， ， ． （1）若 ，求 ； （2）若三个向量 ， ， 不能构成空间的一个基底，求实数 的值． 15.（13 分） 【解析】（1）已知 ， ，可得 ,解得 . 所以 ，则 . 根据向量模的计算公式可得 . （2）已知 ， ， , 先求出 . 因为三个向量 不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. 即存在实数 ， 使得 ，则 /. 由此可得方程组 由 可得 ，将其代入 中，得到 ，解得 . 把 代入 ，可得 . 再把 ， 代入 ， 可得 ，解得 . 16.（15 分） △ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为 ． （1）求线段 AB 中垂线在 x 轴上的截距； （2）若点 C 的坐标为 ，求△ABC 垂心的坐标． 16.（15 分） 【解析】（1）∵△ABC 的顶点 A，B 的坐标分别为 ， ∴AB 中点是 ，直线 AB 的斜率是 ， ∵线段 AB 中垂线与线段 AB 垂直， ∴线段 AB 中垂线的斜率是 ， ∴线段 AB 的中垂线方程是 ，即 x－3y＋3＝0， 令 y＝0，得 x＝－3，即线段 AB 的中垂线在 x 轴上的截距为-3； （2）∵ ，∴AB 边上的高所在直线的斜率为 ， ∵ ，∴AB 边上的高所在直线的方程为 ，即 x－3y=0， ∵ ，∴AC 边上的高所在直线的斜率为 ， ∵ ，∴AC 边上的高所在直线的方程为 ，即 2x＋3y-19=0， /联立 x－3y=0 和 2x＋3y-19=0，得 ， ， ∴△ABC 垂心的坐标为 17．（15 分） 如图，四棱锥 中， 平面 ， 是 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求平面 与平面 所成角的余弦值； （3）在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ？若存在，求出 的值；若 不存在，请说明理由． 17.（15 分） 【解析】（1） 取 的中点 ，连接 ，因为 是 的中点，所以 ． 又因为 ，所以 ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ． 又因为 平面 平面 ， 所以 平面 ． /（2） 由题意： 平面 ，且 ，则 两两垂直，所以建立如图所示空间直角坐标 系， 又因为 ， 是 的中点，所以点的坐标为 ， ， ， ， 所以平面 的法向量为 ，设平面 的法向量为 ， ，由 ， 可得 ，令 ，则 ， 所以 ． 所以，平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ． （3）设 ，且 ， ，则 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，可得 ， 令 ，所以 ． 因为点 到平面 的距离为 ， /所以 ，解得 ， 所以存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ，此时 ． 18．（17 分） 在直角坐标平面 中，已知直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ，记 的面积为 . （1）求直线 经过的定点 的坐标； （2）证明： ； （3）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求直线 的方程；若不存在，说明理由. 18.（17 分） 【解析】（1）直线 方程化为 ， 由 解得 ， 所以直线 经过的定点 . （2） （法一）过点 分别向 轴和 轴作垂线，垂足为 、 ， 则矩形 的面积 ， 而 的面积大于矩形 的面积，所以 . （法二）由题意，得 ， 令 ，得 ，则 ， 令 ，得 ，则 ， 所以 的面积 /， 当且仅当 ，即 时取等号. 所以 的面积 . （3）由 得 ， 假设存在直线 ，使得 ， 即存在直线 ，使得 ， 由同一三角形面积相等可得此时 ，由 得直线 斜率 ， 直线 的方程为 ，即 . 19．（17 分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， ， ， ， . （1）求证： 平面 ； （2）过直线 与线段 的中点 E 的平面 与线段 交于点 F. （i）试确定 F 点位置； （ii）若 H 点为线段 上一动点，求直线 与平面 所成角正弦值的最小值. 19.（17 分） 【解析】（1） /连接 、 ，设 ，连接 ， ， ， ， ，则 ， ，即 是 的角平分线， ， ， ， 平面 ， 平面 （2） 平面 ， 平面 ， ， 因为 ， ， ，所以， ，则 ， ， ，所以， ， 所以， ，即 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 以点 O 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则 、 、 、 、 、 ， 设 ， ， ， ， ， C，D，E，F 四点共面，则 ，解得 ， ， ， 所以点 F 为靠近 A 的三等分点 （ii）设平面 的法向量为 ， ， ， 则 ，取 ，可得 ， /设 ，其中 ， 则 ， 所以， ， 因为 ，所以令 ， ， ， 所以 ， 设 ，对称轴为 ， 故当 或 1，即 或 1 时， 取得最小值 . 因此，当 H 点与 E 点或 F 点重合时直线 与平面 所成角的正弦值的最小值为 . /