文档内容
2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册1.1~2.4。
5．难度系数：0.75。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知点 ， ， ，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ）
A． ，3 B． ，2 C．1，3 D． ，2
【答案】D
【详解】因为 ， ， ，
所以 ， ，
因为A，B，C三点共线，所以存在实数 ，使 ，
所以 ，
所以 ，解得 .
故选：D
2．空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为 ，且三根绳
子中任意两根绳子的夹角均为 ，则该物体的重力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设三根绳子上的拉力分别为 ， ，
因为 的夹角均为 ，
1
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
，
设物体的重力为 ，则 ，
所以
.
故选：C.
3．在四棱柱 中， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
，故A、B错误；
，故C错误、D正确.
故选：D.
4．以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（ ）
A． ， ，
B． ， ，
2
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学科网（北京）股份有限公司C． ， ，
D． ， ，
【答案】A
【详解】若空间三个向量 ， ， 能构成空间的基底，则向量 ， ， 不共面，反之亦然，
对于A，由 ， ， ，得 ，即向量 ， ， 共面，不能
构成空间基底；
对于B，令 ，则 ，不成立，即 不共面，可构成基底；
对于C，令 ，则 ，即 无解，即 不共面，可构成基底；
对于D，令 ，则 ，即 无解，即 不共面，可构成基底.
故选：A
5．点P在 平面内的直线 上，点P到点 的距离最小，则点P的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知可设点 ，
当 与 平面内的直线 垂直时， 最小， ，
因为点 在 平面内的直线 上，所以 为该直线的一个方
向向量，
3
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学科网（北京）股份有限公司当 最小时， ，
即 ，
此时 ，
所以当 时， 取最小值，此时点 .
故选：C．
6．已知 ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ，
故 在 上的投影向量为 .
故选：D
7．如图，在空间直角坐标系 中，正方形 与矩形 所在平面互相垂直( 与原点 重合)，
在 上，且 平面 ，则 点的坐标为（ ）
4
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设 ， 交于点 ，连接 ，
因为正方形 与矩形 所在的平面互相垂直，
点 在 上，且 平面 ，又平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ，所以 是平行四边形，
所以 ，所以 是 的中点，
因为 ，所以 ，所以 .
故选：C.
8．已知直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当 时，直线 的倾斜角 为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，由 得到 ，
又易知 ，所以 ，即直线l的斜率 ，
由 的图象可知， ，
综上， .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．给出下列命题，其中不正确的为（ ）
A．若 ，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段
B．若 ，则 是钝角
C．若 ，则 与 一定共线
D．非零向量 满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，则 必共面
【答案】ABD
【详解】对于A，考虑平行四边形 中，满足 ，但不满足A与C重合，B与D重合，AB
与CD为同一线段，即A错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，当两个非零向量 的夹角为 时，满足 ，但 不是钝角，即B错误；
对于C，当 时，可得 ，则 与 一定共线，可知C正确；
对于D，考虑三棱柱 ，令 ，
满足 与 ， 与 ， 与 都是共面向量，但 不共面，可得D错误.
故选：ABD.
10．如图，在三棱锥 中， ，且 ，点 是 的中
点， 是 上的一点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为点 是 的中点， 是 上的一点，且 ，
所以 ，
故 ，
又 ，
所以 ，故A正确，B错误，
又 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司，故C正确，D错误.
故选：AC．
11．已知圆 ，则（ ）
A．圆 与直线 必有两个交点
B．圆 上存在4个点到直线 的距离都等于1
C．圆 与圆 恰有三条公切线，则
D．动点 在直线 上，过点 向圆 引两条切线， 为切点，则四边形 面积最小
值为2
【答案】AC
【详解】对于A，将直线 整理得 ，由 ，
知 ，所以直线 过定点 ，因为 ，
所以该定点在圆内，故A正确；
对于B，圆 的圆心到直线 的距离为 ，
所以过圆心且与直线 平行的直线与圆相交有两个点到直线 的距离为1，
与直线 平行且与圆相切，并且与直线 在圆心同侧的直线到 的距离为1，
所以只有三个点满足题意，故B错误；
对于C，将圆 化成标准形式为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以 ，
解得 ，故C正确；
对于D，连接 ，因为 为切点，所以 ，
所以 ，且当 最小时， 最小，
所以当 与直线垂直时， ，又因为半径为2，
所以 ，
所以 ，故D错误.
故选：AC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线 与直线 平行，则直线 与 的距离为 ．
【答案】
【详解】由于 与 平行，则 ，即 ，解得 或 ，
当 时，两直线方程分别为 ，此时两直线重合，不符合题意；
当 时，两直线方程分别为 ，此时两直线平行，符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司综上所述： ，两直线方程分别为 ，
所以直线 与 的距离为 .
故答案为： .
13．已知 是圆 上的一点，则 的最小值是 ．
【答案】
【详解】 表示圆上的动点 到点 的距离，
由 可化为 ，则圆心为 ，半径为 ，
点 到圆心的距离为 ，
所以点 到点 的距离的最小值为 ，
即 的最小值是 .
故答案为： .
14．如图所示，在长方体 中， ， ， 与平面 交于点 ，则点
到直线 的距离为 ．
【答案】
【详解】以点 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
，
由 平面 ，设 ，
所以 ，
设 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，则 ，
设直线 的夹角为 ，
则 ，
所以 ，
所以点 到直线 的距离为 ，
故答案为： ．
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
直线 经过点 与点 ，经过点 的直线 .
(1)求直线 的斜率和直线 的方程（结果写成一般式）；
(2)若点 到直线 的距离相等，求直线 的方程.
【详解】（1）分析知， 斜率存在，则其斜率 ，其方程为 ，
即 ；
（2）当 的斜率为零或者不存在时，点A，B到直线 的距离不相等，故 的斜率存在且不为零，设
为 ，则 的方程为 ，即 ，
又因为点A，B到直线 的距离相等，所以 ，
解得 ，解得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
16．（15分）
如图，在多面体ABCDE中，平面ACD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，△ABC和△ACD均为正三角形，
， ，点F在棱AC上.
(1)若BF∥平面CDE，求CF的长；
(2)若F是棱AC的中点，求二面角 的正弦值.
【详解】（1）记AC中点为M，连接DM、BM，三角形ACD为正三角形， ，则DM⊥AC，
且 .
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学科网（北京）股份有限公司因为平面ACD⊥平面ABC，平面 平面 ， 平面ACD，所以DM⊥平面ABC，
又△ABC为正三角形，所以BM⊥AC，所以 ，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面CDE的一个法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
，则 ，
设 ， ，则 ，
因为BF∥平面CDE，所以 ，解得 ，
所以F为CM的中点，此时 .
（2）若F是AC的中点，则点F与点M重合，则平面FDE的一个法向量可以为 ，
设二面角 为 ，显然二面角为锐角，则 ，
所以 ，
所以二面角 的正弦值为 .
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学科网（北京）股份有限公司17．（15分）
如图，已知 的方程为 ，点A(5,0)，过点A作 的切线AP，P为切点.
(1)求AP的长；
(2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对 上任一点C，都有 为定值？若存在，求B点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）依题意， ，且 ，而 ，
所以 .
（2）设 ，则 ，
假设存在这样的点 ，使得 为常数 ， 且 ，则 ，
即 ，将 代入消去 ,
得 对 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司，而 ，解得 ，
所以存在点B ，使得对于 上任一点 ，都有 为定值 .
18．（17分）
已知 的三个顶点的坐标分别是点 与 ，直线
.
(1)求边AC所在直线 的斜率和边AC上的高所在直线 的方程（结果写成一般式）;
(2)记 为点 到直线 的距离，试问: 是否存在最大值?若存在，求出 的最大值:若不存在，说明理
由．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以直线 的方程为： ，化简得： .
（2）将直线 变形可得： ，
对于 取任何实数时，此方程恒成立，
则 ，得 ，
即直线 恒过两直线 及 的交点 ，
由图象可知，对于任何一条过点 的直线，点 到它的距离不超过 ，即 ．
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学科网（北京）股份有限公司又因为过点 且垂直于 的直线方程是 ，
时，直线m表示为 ，
此时距离最大 ．所以， 存在最大值．
19．（17分）
如图所示，在三棱柱 中， ，
是 的中点.
(1)用 表示向量 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的位置，若不存在，请说明理由.
【详解】（1） .
（2）假设存在点 ，使 ，设 ，
显然 .
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即
.
设 ，又 ，
，
即 ，
解得 ，
所以当 时， .
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