2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B B D C C C A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD ACD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
25π
12． −7或13 13． 47 14．
2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
1
【答案】(1)x−y+1=0；(2)−∞,− .
3
【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线l的斜率，应用点斜式写出直线方程；
（2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围.
3 π
【详解】（1）因为直线 3x−3y+1=0的斜率为k = ，所以其倾斜角为α= ，
3 6
π π π π
则l的倾斜角为 + = ，可知l的斜率k =tan =1，
6 12 4 l 4
所以l的方程为y−2=x−1，即x−y+1=0；（6分）
y +2
（2） 1 表示M(x,y )与点A(1,−2)连线的斜率k ，
x −1 1 1 AM
1
又M(x,y )是直线l在x∈[−2,1)部分上的动点，如下图示：
1 1
−1+2 1
则k = =− ，直线AB的斜率不存在，则k ≤k ，
AC −2−1 3 AM AC
1 / 7
学科网（北京）股份有限公司y +2 1
即 1 的取值范围为−∞,− .（13分）
x −1 3
1
16.（15分）
3
【答案】(1)证明见解析 (2)
5
【分析】（1）取AD中点G，连接GE，GF ，通过证明四边形BFGE为平行四边形得到BF//EG，再利用线
面平行的判定定理即可证得结论；
（2）法一：延长CB，DE交于H，连接AH，由此作出二面角D−AH−C的平面角∠DAC.并证明，再求∠DAC
的余弦值即可.
法二：先证得FB,FC,FG两两垂直，以F为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值即
可.
【详解】（1）取AD中点G，连接GE，GF ，则GF 为�ACD的中位线.
，FG=2 又BE//CD∴BE//FG且BE=FG=2.∴ 四边形BFGE为平行四边形.∴BF//EG
又BF ⊄平面AED，EG⊂平面AED∴BF ∥平面AED.(6分）
∴𝐺𝐺𝐺𝐺 𝐶𝐶𝐶𝐶
//
（2）法一：延长CB，DE交于H，连接AH
1
�ABC是等边三角形，F为AC的中点,∴BF ⊥ AC 又BE//CD且BE= CD.
2
∴BE为�HCD的中位线,B为HC的中点又F为AC的中点，∴BF 为�AHC的中位线，∴BF//AH，
∴AH ⊥AC.
∵平面ABC ⊥平面 ，平面ABC平面 ，AH ⊂平面ABC,∴AH ⊥平面ACD.
AD⊂平面ACD，∴AH ⊥ AD.因此，二面角D−AH−C的平面角为∠DAC.
𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶 =𝐴𝐴𝐶𝐶
AC 3 3
cos∠DAC= = 因此，平面ABC与平面AED夹角的余弦值为 . （15 分）
AD 5 5
法二：∵平面ABC ⊥平面 ，平面ABC平面ACD= AC，CD⊥ AC \CD^平面ABC. FG//CD
∴FG⊥ 平面ABC.∴FG⊥BF，FG⊥FC 又�ABC等边三角形，F为AC的中点
𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶
∴BF ⊥FC
2 / 7
学科网（北京）股份有限公司所以FB,FC,FG两两垂直，以F为原点，如图建立空间直角坐标系.
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
因为AF = ，BF = 所以A(0,- ,0)，D(0, ,4)，E( ,0,2) AD=(0,3,4)，AE=( , ,2)
2 2 2 2 2 2 2
设n=(x,y,z)为平面ADE的一个法向量，则 即
3𝑦𝑦+4𝑧𝑧 =0
4
�
𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗⋅𝑛𝑛�⃗=0
�
3√3𝑥𝑥 3𝑦𝑦
令z=1，解得n=(0,− ,1) 设m=(x,y,z)为平面�𝐴𝐴���𝐴𝐴�A⃗B ⋅𝑛𝑛� C ⃗= 的 0 一个法向 2 量+.易 2 得+m2=𝑧𝑧(=0,00,1).
3
设平面ABC与平面AED夹角为θ， .
𝑛𝑛�⃗⋅𝑚𝑚���⃗ 3
3
因此，平面ABC与平面AED夹角的余co弦s𝜃𝜃值=为|co.s（⟨𝑛𝑛�⃗1,5𝑚𝑚��⃗分⟩|）= �|𝑛𝑛�⃗||𝑚𝑚���⃗|�=5
5
17.（15分）
【答案】(1)x−y−8=0或13x+5y−32=0
(2)3x+2y−12=0
3 5
【分析】（1）分别讨论当直线l 与AB平行，当直线l 通过AB的中点D , 两种情况下，根据已知条件分
1 1 2 2
别求出直线l 的方程.
1
（2）利用基本不等式的性质求出三角形OPQ面积的最小值.
【详解】（1）因为点A，B到直线l 的距离相等，所以直线l 与AB平行或通过AB的中点，
1 1
3−2
①当直线l 与AB平行，因为k = =1=k ，且l 过点C，所以l 方程为y+4=x−4，即x−y−8=0；
1 AB 2−1 l1 1 1
（3分）
5
−4−
②当直线l 通过AB的中点D 3 , 5 ，所以k = 2 =− 13 ，所以l 的方程为y+4=− 13 (x−4)，即
1 2 2 CD 3 5 1 5
4−
2
13x+5y−32=0．
综上：直线l 的方程为x−y−8=0或13x+5y−32=0．（7分）
1
x y
（2）由题意设P(a,0),Q(0,b)，其中a,b为正数，可设直线l 的方程为 + =1，
2 a b
因为直线l 过点A(2,3)，所以 2 + 3 =1，由基本不等式可得1= 2 + 3 ≥2 2 ⋅ 3 = 2 6 ，
2 a b a b a b ab
所以 ab ≥2 6，ab≥24，
2 3
+ =1
a b a=4 1
当且仅当 即 时，ab取得最小值24，所以△OPQ面积S = ab≥12，
2 = 3 b=6 2
a b
x y
所以当a=4,b=6时，△OPQ面积最小，此时直线l 的方程为 + =1，即3x+2y−12=0．（15分）
2 4 6
3 / 7
学科网（北京）股份有限公司18.（17分）
【答案】(1)6π
(2)证明见解析
14
(3)
4
【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解；
（2）取AB中点H，连接AH,PH ，通过证明四边形ACPH为平行四边形得到CP//AH，然后根据线面
1 1 1 1 1
平行的判定定理完成证明；
（3）延长AA,CC 交于点O，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出sinα，再根据二次函数的
1 1
性质求解出最大值即可.
【详解】（1）因为AC =2AA =2AC =4，
1 1 1
1
所以圆台的侧面积为 (2π×2+2π×1)×2=6π；（3分）
2
（2）取AB中点H，连接AH,PH ，如图，
1
1
因为P为BC中点，所以PH //AC,PH = AC，
2
1
在等腰梯形AACC 中，AC //AC,AC = AC，
1 1 1 1 1 1 2
所以HP//AC ,HP= AC ，
1 1 1 1
所以四边形ACPH为平行四边形，
1 1
所以CP//AH，又AH ⊂平面AAB，CP⊄平面AAB，
1 1 1 1 1 1
所以CP//平面AAB；（9分）
1 1
（3）延长AA,CC 交于点O，作直线BO，
1 1
因为B,O两点分别在平面AAB与平面CCB内，
1 1
所以直线BO即为直线l，
又l平面AACC =D，
1 1
所以O点，即为点D，
AB=BC，则O B⊥ AC，
2
以直线O A,O B,OO分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
2 2 2
4 / 7
学科网（北京）股份有限公司在等腰梯形AACC 中，AC =2AA =2AC =4，
1 1 1 1 1
AC−AC 2
此梯形的高为h= AA2− 1 1 = 3，
1 2
1
因为AC = AC,AC //AC，所以AC 为�OAC的中位线，
1 1 2 1 1 1 1
则O (0,0,0),O ( 0,0,2 3 ) ,A(2,0,0),B(0,2,0),C ( −1,0, 3 ) ，
2 1
所以BC = ( −1,−2, 3 ) ,AB=(−2,2,0),BO= ( 0,−2,2 3 ) ,O A=(2,0,0)，
1 2
( )
设BQ=λBO，则AQ= AB+BQ= AB+λBO= −2,2−2λ,2 3λ ，
设平面QAC的一个法向量为n=(x,y,z)，
n⋅O A=2x=0
则 2 ，
n⋅AQ=−2x+(2−2λ)y+2 3λz=0
( )
令y= 3λ，得n= 0, 3λ,λ−1 ，
n⋅BC −2× 3λ+ 3(λ−1) 3λ+1
1
则有：sinα= cosn,BC
1
=
n
B
C
1
=
( 3λ )2 +(λ−1)2 × (−1)2+(−2)2+ ( 3 )2
=
2 2× 4λ2−2λ+1
，
3 t
令t=λ+1，则sinα= ，
2 2× 4t2−10t+7
当t=0时，sinα=0，此时λ=−1，
3 3 14
0<sinα= = ≤
当t≠0时， 2 2× t 7 2 − 1 t 0 +4 2 2× 7 1 t − 7 5 2 + 7 3 4 ，
2
当且仅当
t =
7，即λ= 时取等号，
5 5
14
综上所述，sinα的最大值为 .（17分）
4
19.（17分）
【答案】(1)证明见详解
15
(2)①不是，证明见详解；②
17
{ }
【分析】（1）根据空间性向量基本定理，以 AB,AC,AD 为基底并结合完美三棱锥的定义化简得到
AB⋅CD+2AC⋅BD+3AD⋅BC =−2AB⋅AD−3AB⋅AC+5AC⋅AD，再结合向量垂直的性质得到
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AB⋅AC =0,AC⋅AD=0,AB⋅AD=0证明等式即可.
（2）①结合题意得到对应向量的数量积，再利用完美三棱锥的定义判断即可.
②由棱锥A−BCD为完美三棱锥可得CD长，由两点间距离公式求得C点坐标，进而求出关键平面的法向量，
最后利用二面角的向量求法得到余弦值即可.
【详解】（1）由题意结合空间向量的线性运算化简得AB⋅CD+2AC⋅BD+3AD⋅BC =
( ) ( ) ( )
AB⋅ AD−AC +2AC⋅ AD−AB +3AD⋅ AC−AB ，
=−2AB⋅AD−3AB⋅AC+5AC⋅AD，
因为AB⊥ AC,AC ⊥ AD,AB⊥ AD，所以AB⋅AC =0,AC⋅AD=0,AB⋅AD=0，
即AB⋅CD+2AC⋅BD+3AD⋅BC =−2AB⋅AD−3AB⋅AC+5AC⋅AD=0，
故该三棱锥是完美三棱锥，（4分）
（2）
1
①该三棱锥不是完美三棱锥，△ABD为正三角形，AB= AC =2，故AB⋅AD=2×2× =2，
2
AB= AC =2= AD=BD，又 CB=CD=2 2 ，
得到AB2+AC2 =BC2，由勾股定理逆定理得AB⊥AC，
即AB⋅AC =0，同理可得 AC⋅AD=0 ，
所以AB⋅CD+2AC⋅BD+3AD⋅BC =−2AB⋅AD−3AB⋅AC+5AC⋅AD=−4≠0，
则该三棱锥不是完美三棱锥.（10分）
②如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则B(2,0,0),D ( 1, 3,0 ) ，
4+4−9 1
因为CB=3，由余弦定理得cos∠BAC = =− ，
8 8
1
所以AB⋅AC =− ， AB⋅AD=2 ，
2
因为该三棱锥A−BCD为完美三棱锥，
所以AB⋅CD+2AC⋅BD+3AD⋅BC =，
3
−2AB⋅AD−3AB⋅AC+5AC⋅AD=−4+ +20cos∠CAD=0，
2
1 4+4−CD2 1
解得cos∠CAD= ，由余弦定理得cos∠CAD= = ，解得CD= 7，
8 8 8
1
x=−
CA2 =x2+y2+z2 =4 4
3
设C(x,y,z)，CB2 =(x−2)2+y2+z2 =9 ，解得y= ，
4
CD2 =(x−1)2+ ( y− 3 )2 +z2 =7 15
z=
4
1 3 15
即C− , , ，设平面ACD的一个法向量m=(x,y ,z )，
4 4 4 1 1 1
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m⋅AD=−x + 3y =0
1 1 ( )
则
1 3 15
，不妨取x
1
= 3，则m= 3,−1,0 ，
m⋅AC =− x + y + z =0
4 1 4 1 4 1
n⋅BD=−x + 3y =0
2 2
设平面BCD的一个法向量n=(x
2
,y
2
,z
2
)，则
9 3 15
，
n⋅BC =− x + y + z =0
4 2 4 2 4 2
2 15
8
cosm,n= =
不妨取x = 3，则n= 3,1, ，则 8 2 17，
2 15 2× 2+
15
15
由图可知二面角A−CD−B为锐角，故二面角A−CD−B的余弦值为 .(17分）
17
7 / 7
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