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2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷
参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D A A C B B D A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD BD ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．4
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ， .（2分）
又( )∥( )，
∴ ，（5分）
解得 ， .（7分）
（2）由 ，得 ，（9分）
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，（10分）
∴ ，（11分）
即 ，∴ ，（12分）
解得 .（13分）
16．（15分）
【详解】（1）设与直线 平行的直线方程为 ，（2分）
过 ，则 ，则 ，（3分）
所以直线的一般方程为 .（4分）
（2）因为点 ， ，中点为 ，（5分）
，（6分）
则垂直平分线的斜率 ，（7分）
则 ，（8分）
直线方程为 ，（9分）
所以直线的一般方程为 .（10分）
（3）设直线在两坐标轴上的截距为 ，即直线过
当截距 时，直线过 ， ，（11分）
则 ，即 ；（12分）
当截距 时，直线斜率 ，（13分）
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学科网（北京）股份有限公司则 ，即 .（14分）
所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 和 .（15分）
17．（15分）
【详解】（1）设 ， ， ，
则 为空间的一个基底，且 ， ， ，（2分）
因为 ， ，
则 ，（3分）
，（4分）
可得 ， ，（6分）
即 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 .（7分）
（2）由（1）得 ，（8分）
则 ，（9分）
，（11分）
即 ，（12分）
则 ，即 ，（13分）
设 与 的夹角为 ，则 ，（14分）
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学科网（北京）股份有限公司所以直线 和 夹角的余弦值为 .（15分）
18．（17分）
【详解】（1）设 ，由ABCD为平行四边形知 ，（2分）
即 ，则 ，解得 ，即 .（4分）
（2）直线AB的方程为 ，即 ，（6分）
点 关于直线AB对称点的坐标为 ，
所以 ，解得： ，（10分）
故C关于直线AB对称点的坐标为 .（11分）
（3） ，（12分）
直线AB的方程 ，（13分）
点 到直线AB： 的距离为 ，（15分）
∴ .（17分）
19．（17分）
【详解】（1）在图1中，由 ， ，得 ，则 ，（1分）
所以 ，由 ，得 ，即 ，（2分）
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学科网（北京）股份有限公司在图2中， ，取 的中点 ，连接 ，由 为 的中点，
得 ，则 ，由 ，得 ，（3分）
而 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，所以 .（4分）
（2）由已知及（1）得平面 平面 ，平面 平面 ， ，
于是 平面 ，直线 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，（5分）
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，（7分）
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的法向量为 ，（9分）
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学科网（北京）股份有限公司则 ，（10分）
由图知二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 .（11分）
（3）假设线段 上是否存在点 ，使得三棱锥的体积为 ，
在 中， ，所以 ，（12分）
因为三棱锥 的体积为 ，设点 到平面 的距离为 ，
所以 ，所以 ，所以点 到平面 的距离为 ，（13分）
令 ，由（2）得， ，
又平面 的法向量为 ，（14分）
则点 到平面 的距离为 ，解得 ，（16分）
线段 上是否存在点 ，使得三棱锥 的体积为 ，且 .（17分）
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