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淄博市 2024—2025 学年度高三模拟考试
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡上。
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一. 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A={x∣x2≤x),B={y∣y=2x,x>0) A∪B=
A. R B. C.(0,1) D.
[0,+∞) [0,1)
z
2. 若复数 z 满足 =|3−4i) ,则 |´z)=
2+i
A. B. C. D. 125
5❑√2 5❑√5 10❑√2
3. 已知向量 ,则向量 在向量 上的投影向量为
⃗a=(1,0),⃗b=(0,1),⃗a⋅⃗c=⃗b⋅⃗c=1 ⃗a ⃗c
A. (1 1) B. (❑√2 ❑√2) C. ( 1 1) D. ( ❑√2 ❑√2)
, , − , − ,
2 2 2 2 2 2 2 2
2π
4. 已知圆锥的母线长为 6,其侧面展开图是一个圆心角为 的扇形,则该圆锥的侧面积为
3
A. B. C. D.
8π 12π 16π 24π
5. 某学校有 两家餐厅,王同学第 1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第 1 天去 餐厅,那
A,B A
么第 2 天去 餐厅的概率为 0.6 ; 如果第 1 天去 餐厅,那么第 2 天去 餐厅的概率为 0.4 . 则王
A B A
同学第 2 天去 餐厅用餐的概率为
A
A. 0.24 B. 1 C. 0.5 D. 0.52
6. 已知函数 满足 ,当 时, ,则
f (x) f (x)=2f (x−1) 0≤x<1 f (x)=3x f (log 18)=
3
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学科网（北京）股份有限公司A. 2 B. 4 C. 8 D. 18
7. 已知函数 { 2−2sin πx ,0≤x≤2) ,若存在实数 且 ,使得
f (x)= 2 x 、x 、x x 0) ,当 n=2 时,是我们熟知的圆; 当 n=
3
2 2
时,曲线 是形状如“四角星”的曲线,称为星形线,常用于超轻材料的设计. 则下列关于曲
E:|x)3+|y)3=1
线 说法错误的是
E
1
A. 曲线 E 关于 x 轴对称 B. 曲线 E 上的点到 x 轴、 y 轴的距离之积不超过
8
C. 曲线 E 与 |x)+|y)=1 有 8 个交点 D. 曲线 E 所围成图形的面积小于 2
二. 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，
有选错的得0分.
9. 随机变量 服从正态分布 ( 1) ,令函数 ,则下列选项正确的是
X N 1, f (x)=P(X≥x)
4
1
A. f (1)= B. f (x) 是增函数
2
C. 是偶函数 D. 的图像关于点 ( 1) 中心对称
f (x) f (x) 1,
2
10. 如图,棱长为 2 的正方体 中, 分别是棱
ABCD−A B C D P,Q
1 1 1 1
,棱 的中点,动点 满足 ,其中
CC BC M ⃗DM=λ⃗DA+μ⃗DD
1 1
,则下列结论正确的是
λ,μ∈R
A. 若 ,则
λ+μ=1 CM⊥DB
1
B. 若 ,则三棱锥 的体积为定值
λ=μ B −AMC
1
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学科网（北京）股份有限公司1
C. 若 μ= ,0≤λ≤1 ,则直线 PM 与直线 BC 所成角的最小值为 60∘
2
D. 若动点 在三棱锥 外接球的表面上,则点 的轨迹长度为
M C−DPQ M ❑√2π
11. 过点 向曲线 引斜率为 的切线 ,切点为
P(−1,0) C :x2−2nx+2y2=0(n∈N∗) k (k >0) l
n n n n
,则下列结论正确的是
P (x ,y )
n n n
A. n B. 2025
k = ∑ lnx =−ln2026
n ❑√4n+2 i
i=1
{y2
) x (√1−x )
C. 数列 n 的前 n 项和为 S =n+n2 D. n +cos ❑ n >1
x2 n ❑√2y 1+x
n n n
三. 填空题：本题共3小题，每小题5分. 共15分.
12. 已知等比数列 的各项为正数,前 项和为 ,若 ,则公比 _____.
{a ) n S S =13,a =9 q=
n n 3 3
1
13. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,sin2B= bcosB ,且角 B 为锐角,
5
1
b=8,sinA= ,则sin(2B+C)的值为_____.
3
14. 如图,在 的方格中,每一行随机设置1个陷阱 (起点和终点处无陷阱) . 玩
3×3
家从起点方格出发, 每次可以向右或向下移动一格到达下一格. 若遇到含有设置
陷阱的方格, 则被重置回起点, 然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战, 直至
到达终点. 若重置若干次以后始终未能到达终点,则挑战失败.则该玩家挑战失败
的概率为_____.
四．解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤.
15. (13分) 某地为调查大型水域的水质情况,设置若干站点检测水质指数 (“M指数”) , 以这些站点所
测 “M指数” 的平均值为依据,播报此大型水域的水质情况。下图是 2024 年 11 月份 30 天内该大型
水域 “M 指数” 的频率分布直方图,其中分组区间分别为:
[12,20),[20,28),[28,36),[36,44),[44,52),[52,60),[60,68),[68,76) .
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学科网（北京）股份有限公司(1)规定:“M指数” 不超过50为“优质水源日”,否则称为“非优质水源日”。对该地区50名外出郊游的
市民进行调查, 得到如下列联表:
男市民 女市民 合计
优质水源日出游 12 30
非优质水源日出 6
游
合计 .3 50
请完成上述列联表,并根据 α=0.05 的独立性检验,能否认为优质水源日出游与性别有关? (2)从“M指
数” 在第一组 [12,20) 和第二组 [20,28) 的所有天数中选取3天的数据进行评价,记这3天的数据来
自第一组的数据有 X 天,求 X 的分布列和数学期望.
附: n(ad−bc) 2 .
χ2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
16. (15分) 已知双曲线 x2 y2 ,离心率 ❑√5 ,点 ( 1) 在双曲线上.
C: − =1(a>0,b>0) e= P ❑√5,
a2 b2 2 2
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)点 F ,F 分别是双曲线 C 的左右焦点,过点 F 的直线 l 与双曲线的右支交于 A,B 两点,若
1 2 2
ΔABF 的周长为 12,求直线 l 的方程.
1
17. (15分)如图,在四棱锥 S−ABCD 中, BC//AD , AB=BC=1 ,点 E 在
AD 上, 且 SE⊥AD,AE=1,DE=2 .
(1)点 F 在线段 SE 上,且 BF// 平面 SCD ,证明: F 为线段 SE 的中
点;
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学科网（北京）股份有限公司❑√10
(2)若 AB⊥ 平面 SAD,SD 与平面 SAB 所成的角的余弦值为 ,求 SD 的长度.
10
18. (17 分) 已知函数 f (x)=ln(1+x)−x .
(1)求 f (x) 的单调区间；
x
(2) 证明: x≥0 时, f (x)≤ −x ;
❑√1+x
(3)若不等式 ( 1) n+a 对任意的 都成立 (其中 是自然对数的底数),求整数 的最大
1+ ≤e n∈N∗ e a
n
值.
19. (17 分)一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数
{x=f (t), )①
y=g(t),
并且对 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 A(x,y) 都在这条曲线上,那么方程① 就叫做这条曲
线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间
{x=rcosφ,)
关系的方程叫做普通方程.例如圆 x2+ y2=r2 的参数方程为 ( φ 为参数),椭圆
y=rsinφ,
x2 y2 的参数方程为: {x=acosθ,) ( 为参数)
+ =1(a>b>0) θ
a2 b2 y=bsinθ,
25 4
动点 M(x,y) 与定点 F(4,0) 的距离和点 M 到定直线 l:x= 的距离的比是常数 , 点 M 的
4 5
轨迹方程为 C .
(1)求曲线 C 的普通方程,写出 C 的参数方程 (不证明);
α+β α−β
(2)求证: sinα+sinβ=2sin cos ；
2 2
(3) 定点 在 上, 为常数且 ,按如下规则依次构造点 ,过点 做斜率 的
P C k k>0 P (n≥2) P k
1 n n−1
直线与 交于点 ,令 为 关于 轴的对称点,记 的坐标为 , 证明:
C Q P Q y P (x ,y )
n−1 n n−1 n n n
P P //P P .
n+1 n+2 n n+3
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