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月考试题
一、单选题
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定集合 ，根据集合的交集运算即可求得答案.
【详解】由题意可得集合 ，集合 ，
所以 .
故选：D．
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由 ，则“ ”是“ ”的充分条件；
又当 时， ，可知 ，
故“ ”不是“ ”的必要条件，
综上可知，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 函数 的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
第 1页/共 16页【详解】由指数函数、幂函数 单调性可知： 在 上单调递减， 在 单调递增，
所以 在定义域上单调递减，
显然 ，
所以根据零点存在性定理可知 的零点位于 .
故选：B
4. 函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过观察图象，利用函数值的正负和导数法求单调性一一排除得到答案.
【详解】 ， ，解得 或 ；
，解得 ；所以排除选项 C.
， ，
当 或 时， ， 在 和 上是增函数；
当 时， ， 在 上是减函数；
所以排除选项 A 和 D，选择 B.
故选：B
5. 若 m 为直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
第 2页/共 16页C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行的定义可判断 A 的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断 BCD 的正误.
【详解】对于 A，若 ，则 可平行或异面，故 A 错误；
对于 B，若 ，则 ，故 B 错误；
对于 C，若 ，则存在直线 ， ，
所以由 可得 ，故 ，故 C 正确；
对于 D， ，则 与 可平行或相交或 ，故 D 错误；
故选：C.
6. 已知某圆柱的高为 ，底面半径为 1，且其上、下底面圆周均在以 为球心的球面上，则球 的表面
积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心 ，根据题中条件，结合勾股定理，可得半
径 R，代入公式，即可得答案.
【详解】因为圆柱上、下底面圆周均在以 为球心的球面上，
所以圆柱的上、下底面圆心连线的中点为球心 ，
且 与底面圆心的连线垂直底面，
因为圆柱底面半径为 ，高为 ，
所以球心到底面的距离 ，
因为底面圆周上一点到球心的距离为球的半径 ，
所以由勾股定理得 ，
则球 的表面积 ．
故选：C．
第 3页/共 16页7. 已知双曲线 ： （ ， ）的焦距为 ，焦点到渐近线的距离为 ，则该双曲
线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设双曲线 的焦距为 ，由条件可求 ，求双曲线 的焦点坐标及渐近线方程，根据点
到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求 ，由 关系求 由此可得结论.
【详解】设双曲线 的焦距为 ，则 ，
故 ，所以双曲线 的焦点坐标为 ，
又双曲线 的渐近线方程为 ，
所以双曲线 的焦点到渐近线的距离 ，
因为焦点到渐近线的距离为 ，
所以 ，所以 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
故选：A.
8. 已知 是函数 图象的一个对称轴，则下列说法错误的是（ ）
A. 是函数 图象的一个对称中心
B. 函数 的图象可由 图象向左平移 个单位长度得到
C. 函数 在区间 上单调递减
第 4页/共 16页D. 函数 在区间 上有且仅有一个零点
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求得 ，结合正弦型函数的图象与性质，逐项分析求解，即可得到
答案.
【详解】由 是函数 图象的一个对称轴，
可得 ，可得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
对于 A 中，由 ，
所以 是函数 图象的一个对称中心，所以 A 正确；
对于 B 中，将函数 图象向左平移 个单位长度得到
，所以 B 正确；
对于 C 中，由 ，可得 ，
因为函数 在 上单调递减，所以 在区间 上递减，所以 C 正确；
对于 D 中， ，可得 ，
当 时，即 时，可得 ，即 是 的一个零点；
当 时，即 时，可得 ，即 是 的一个零点，
所以函数 在 上有两个零点，所以 D 错误.
故选：D.
9. 双曲线 的左、右焦点分别为 点 在双曲线右支上，直线 的斜率为
第 5页/共 16页2．若 是直角三角形，且面积为 8，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】可利用 三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设 ，由面积公式求出 ，
由勾股定理得出 ，结合第一定义再求出 .
【详解】如下图：由题可知，点 必落在第四象限， ，设 ，
，由 ，求得 ，
因为 ，所以 ，求得 ，即 ，
，由正弦定理可得： ，
则由 得 ，
由 得 ，
则 ，
由双曲线第一定义可得： ， ，
所以双曲线的方程为 .
故选：A
二、填空题
第 6页/共 16页10. 若复数 满足 ，则 _____
【答案】
【解析】
【分析】由条件可得 ，结合复数运算可求结论.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .
11. 已知 的展开式中， 的系数为 80，则 ______________．
【答案】
【解析】
【分析】求出二项展开式的通项，求出 的系数，即可得出
【详解】由题意，
在 中，通项为 ，
∵ 的系数为 80，
∴当 即 时， ，
∴ ，解得 ，
故答案为： .
12. ，与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与 交于 C、D 两
点， ，则 _________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据两点间距离公式得出 ，再计算出圆心到直线的距离 ，根据弦长公式
第 7页/共 16页列等式求解即可.
【详解】因为直线 与 轴交于 ，与 轴交于 ，所以
，所以 ，
圆 的半径为 ，圆心 到直线 的距离为 ，
故 ，解得 ；
故答案为：2.
13. 甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取.在一轮答题中，如果甲单独
答题，能够通过测试 概率是 ，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是 .若甲单独答题三轮，则甲恰
有两轮通过测试的概率为______；若在甲，乙两人中任选一人进行测试，则通过测试的概率为______.（结
果均以既约分数表示）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】借助概率乘法公式与全概率公式计算即可得.
【详解】设“甲恰有两轮通过测试”为事件 A，则 ；
设“选中甲”为事件 B，“选中乙”为事件 C，“通过测试”为事件 D，
根据题意得， ， ， ，
则 ，
所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，通过测试的概率为 .
故答案为： ； .
第 8页/共 16页14. 已知关于 的不等式 的解集为 或 .并且 ， 且满足
时，有 恒成立， 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解，结合韦达定理求出 ，再利用 1 的妙用求出最小值，进而求解一元
二次不等式即可.
【详解】由不等式 的解集为 或 ，
得 和 是方程 的两个实数根且 ，则 ，解得 ，
于是 ， 且 ，则
，当且仅当 ，即 时取等号，
依题意， ，解得 ，所以 的取值范围为 .
故答案为：
15. 如图，在平行四边形 中， ，点 E 为 中点， ，点
F 为边 上的点．若点 F 满足 ，且 ，则 ________；若点 F 为线段
上的动点，则 的取值范围为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
第 9页/共 16页【分析】由题意得 ，从而 ；对于第二问，设
，首先分解 ，然后由数量积的运算律转换成关于 的二次函数在闭区间上的
值域即可求解.
【详解】由题意
所以 ，
设 ，
，
，
，
，
设 ，对称轴是 ，
故 单调递增，
从而当点 F 为线段 上的动点时， 的取值范围为 .
故答案为： ； .
三、解答题
16. 记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
第 10页/共 16页【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解；
（2）利用余弦定理和面积公式求解.
【小问 1 详解】
因为 ，边化角可得，
，
即 ，
又因为 ，
且 ，
所以 ，因为 ，所以 .
【小问 2 详解】
由余弦定理， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 的面积为 .
17. 在四棱锥 中， 底面 ，且 ，四边形 是直角梯形，且 ，
， ， ， 为 中点， 在线段 上，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
（3）求点 到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
第 11页/共 16页【解析】
【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，证明 与平面 的法向量垂直，进而证明 平面
；
（2）分别求出 与平面 法向量，再应用直线与平面所成角的正弦公式求值即可；
（3）求出 ，结合平面 法向量，应用点到平面的距离公式求值即可.
【小问 1 详解】
证明：因 底面 ， 平面 ，所以 .
同理可证 ，又因为 ，
所以以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系（如图
所示）.
依题意可得， ， ， , , , , ,
则 ， 是面 的一个法向量，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
解： , , ,
设平面 的法向量 ，则 ，即 ，
取 ，则 ，所以平面 的一个法向量 .
设直线 与平面 所成角为 ，
第 12页/共 16页则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【小问 3 详解】
解：因为 ，平面 的一个法向量 ，
所以点 到平面 的距离为 ,
18. 已知椭圆 的离心率 ，上顶点是 ，左､右焦点分别是 ， ，若椭圆经
过点 .
（1）求椭圆的方程；
（2）点 和 是椭圆上的两个动点，点 ， ， 不共线，直线 和 的斜率分别是 和 ，若
，求证直线 经过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1） ；（2）直线 过定点
【解析】
【分析】（1）因为椭圆的离心率 ，椭圆经过点 ， ，列方程组，解得 ， ， ，即可得
出答案．
（2）设直线 的方程为 ， ， ， ， ，联立直线 与椭圆的方程，结合韦达定
理可得 ， ，再计算 ，解得 ，即可得出答案．
【详解】解：（1）因为椭圆的离心率 ，椭圆经过点 ，
所以 ，又 ，
第 13页/共 16页解得 ， ， ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）证明：设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以直线 过定点 ．
19. 已知函数 ，
（1）若 ，求函数 的极值；
（2）设函数 ，求函数 的单调区间；
（3）若对 内任意一个 ，都有 成立，求 的取值范围.
【 答 案 】 (1) 的 极 小 值 是 ， 没 有 极 大 值 ； (2)答 案 见 解 析 ；
(3)
.
【解析】
【详解】试题分析：
（1） 的定义域为 ，且 ，结合导函数的解析式研究函数的极值可得
的极小值是 ， 没有极大值；
第 14页/共 16页（2） ，则 ，分类讨论可得：
①当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 时，函数 在 上单调递增；
（3）原问题等价于“函数 在 上的最小值大于零”
结合（2）的结论分类讨论：① ；② ；③ ；④ 四种情况可得 的范
围是： .
试题解析：
（1） 的定义域为 ，
当 时， ， ，
3
— 0 +
极小
所以 的极小值是 ， 没有极大值；
（2） ，
，
①当 时，即 时，在 上 ，在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 ，即 时，在 上 ，
所以，函数 在 上单调递增；
（3）“对 内任意一个 ，都有 成立”等价于
第 15页/共 16页“函数 在 上的最小值大于零”
由（2）可知
①当 时， 在 上单调递增，所以 ，解得 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以 的最小值为 可得 ，
因为 ，所以 ；
③当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 最小值为 ，由 可得 ，所以 ；
④当 ，即 时，可得 最小值为 ，
因为 ， ，所以 ，
故 ，恒成立.
综上讨论可得所求 的范围是： .
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历
届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导
数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解
决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
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