广东省汕头市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题答案_2025年2月_250224广东省汕头市2025届高三下学期第一次模拟考试（全科）

2025届汕头市高 三一模考试 数学科参考答案 第Ⅰ卷 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A C B A B D C AD ABD AC a+b 2 1．【解析】由基本不等式得：ab  =4，当且仅当a=b=2时取等号，C正确．  2  2．【解析】log alog b ab0，3a 3b  ab，A正确． 3 3     3．【解析】y=sin  2x− +  =sin2x ，C正确．   6 3 4．【解析】根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得 数学试题参考答案 第1页（共7页） x 4 项．常数项共5种取法，合并同类项得x4项的系数为−2023，B正确． 2 5．【解析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h ，则l =3，且2r = 3，即r =1， 3 2 2 所以h=2 2，故V = ,A正确． 3 6．【解析】依题意，f '(x)=2x2 −ax+1在(1,2)内存在变号零点，而x=0不是 f '(x)的零点， 1 1 9 从而得a =2x+ ，又y=2x+ 在(1,2)上递增，所以3a ，B正确． x x 2 7．【解析】即求以两圆圆心(0,0)、(−2,2)为端点的线段的中垂线方程，D正确． n(BA ) 23 3 8．【解析】直观想象可知，A错误；P ( B A ) = 2 = = ，B错误； 2 n(A ) 211 11 2 3 3 4 1 3 1 3 3 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)=  +  +  = ，C正确； i i 10 11 5 11 2 11 10 i=1 3 4 3 3 P(BA )=   P(B)P(A )=  ， A错误； 1 10 11 1 10 10 1 3 P(A∣B)= P(A 3 B) = 2  11 = 5 ，D正确； 3 P(B) 3 11 10 9【解析】根据复数的几何表示知： A中方程表示到定点(1,−1)的距离等于2的动点轨迹，即圆，A正确； {#{QQABDQCwwgA4gBTACI5LAQ1wCwmQsJMjLUokQRASKAYLARNABIA=}#}B中方程表示到定点(1,−1)与(1,1)距离的和为2的动点轨迹，而(1,−1)与(1,1)的距离也为2， 所以轨迹为线段，B错误； C中方程表示到定点(1,−1)与(1,1)距离的差为2的动点轨迹，即双曲线的一支，C错误； D中方程表示到定点(−1,0)与(1,−1)的距离相等的动点轨迹，即线段的中垂线，D正确． 10．【解析】由AA 与EH 相交知，A错误； 1 因为平面ACD//平面B AC，若平面EFGH//平面ACD，则平面EFGH//平面 1 1 1 1 1 数学试题参考答案 第2页（共7页） B 1 A C ，这 与它们相交矛盾，B错误； 因为AC⊥平面BDD ，EF//AC，所以EF ⊥平面BDD ，C正确； 1 1 因为AC ⊥平面ABD，若平面EFGH ⊥平面ABD，注意到AC 平面EFGH ，则 1 1 1 1 A C 1 // 平面EFGH ，又AC//平面EFGH ，所以平面ACC //平面EFGH ，这和CC 与GF 相交矛盾， 1 1 D错误． 11．【解析】由 f (x+2)=−f (x)= f (−x)知， f (x)的图象关于直线x=1对称，A正确； 4 2  3 所以 f  = f  =tan = ；B错误 3 3 6 3 奇函数 f (x)在0,1上递增，且 f (0)=0，所以 f (x)在−1,1上递增， 由 f (x)=−f (x+2)= f (x+4)知， f (x)是周期为4的函数， 所以 f (x)在区间2023,2025上单调递增，C正确； 3 2 2 由曲线 f (x)关于直线x=1对称知，方程 f (x)= 在−1,3上有两根 、2− ，且两根之 3 3 3 3  2 2 和为2，故 f (x)= 在0,201上所有根的和为2(1+5+9+ +201)−202− =10100 ， 3  3 3 D错误． 第Ⅱ卷 题号 12 13 14 16 3 答案 丙 11 5 12．【答案】甲的残差图中，模型①的残差点更均匀地分布在以横轴为对称轴的水平带状区 域内，且水平带状区域更窄，说明模型①拟合效果更好；残差平方和越大，即决定系数越小， {#{QQABDQCwwgA4gBTACI5LAQ1wCwmQsJMjLUokQRASKAYLARNABIA=}#}说明数据点越离散，所以乙的计算结果显示模型①的拟合效果更好，而丙的计算结果显示模 型②的拟合效果更好． 13．【答案】设直线方程为x= 3y+3，联立双曲线方程得：5y2 +12 3y+12=0， 2  12 3 12 16 3 故 AB = 1+3 −  −4 = ． 5 5 5   14．【答案】函数 f (x)=x3−3x2 +6x+2图象的对称中心为(1,6)，故点Q的纵坐标为11． 15．【答案】（1）当m=1024时，a =210， 1 所以a =29，a =28，…，a =2，a =20， 2 3 10 11 而a =31+1=4， 12 1−211 所以，S = ( 20+21+ +211) +4= +4=211+3=2051； 12 1−2 （2）依题设的递推关系逆推可得：   a =128  a =32a =64 1  a =8a =16   3 2 a 1 =21 a =4    5 4  a =5a =10 a 1 =20 6    3 2 a 1 =3  a =8a =16 a =1a =2a =4 2 1   5 4 3 a 2 =1a 1 =2 故M =2,3,16,20,21,128． 16．【答案】（1）依题意，sinAcosB+cosAsinB=sin2C， 即sin(A+B)=sin2C ，所以sinC =2sinCcosC ， 1  由C(0,)知，sinC 0，从而cosC = ，故C = ； 2 3 1 （2）依题意，cos2C =sinAsinB= ， 4 c2 ab 由正弦定理得： = ，即c2 =3ab sin2C sinAsinB 又CACB=18，则abcosC =18， 所以ab=36，从而c=6 3， 1 1 由三角形面积公式得： absinC = ch， 2 2 数学试题参考答案 第3页（共7页） {#{QQABDQCwwgA4gBTACI5LAQ1wCwmQsJMjLUokQRASKAYLARNABIA=}#}故h=3． 17．【答案】（1）因为AE⊥平面CDE，CD平面CDE，所以CD⊥ AE， 又正方形ABCD中，CD⊥ AD， 并且AE AD= A，所以CD⊥平面ADE， 从而，由CD平面ABCD得：平面ADE ⊥平面ABCD； （2）由（1）CD⊥平面ADE，所以CD⊥ AD，CD⊥DE， 从而ADE为二面角E−CD−B的平面角， 因为AB//CD，所以AB⊥平面ADE， 同理，DAE为二面角E−AB−C的平面角， 依题意ADE=DAE，即DE= AE ， 以点D为原点，分别以直线DE 、DC为x、y轴，过点D作z轴，建立如图所示的空间直 角坐标系，不妨设DE=1，则E(1,0,0)，C ( 0，2,0 ) ，A(1,0,1)， 所以CB=DA=(1,0,1)，EC = ( −1, 2,0 ) ， z 设平面BCE 的法向量为n=(x,y,z)， B  nCB= x+z =0 ( ) A 则 ，取y=1，得n= 2,1，− 2 ， nEC =−x+ 2y =0 又m=(0,0,1)为平面CDE的一个法向量， y x C E mn 10 所以cos m,n = =− ， m  n 5 D 10 故平面CDE与平面BCE 的夹角的余弦值为 cos m,n = ． 5  y2   y2  18．【答案】（1）设直线PQ的方程为x=my+n，P 1 ,y  、Q 2 ,y  ，  4 1   4 2  y2 =4x 由 得：y2 −4my−4n=0， x=my+n 所以=16 ( m2 +n ) 0，且y + y =4m，y y =−4n， 1 2 1 2  y2  y2  由A=90即APAQ=0得：  1 −1 2 −1+(y −2)(y −2)=0，  4  4  1 2 数学试题参考答案 第4页（共7页） {#{QQABDQCwwgA4gBTACI5LAQ1wCwmQsJMjLUokQRASKAYLARNABIA=}#}则(y −2)(y −2)(y +2)(y +2)+16=0，  1 2  1 2  所以(y −2)(y −2)=0或(y +2)(y +2)+16=0， 1 2 1 2 从而y y −2(y + y )+4=0或y y +2(y + y )+20=0， 1 2 1 2 1 2 1 2 进而n=−2m+1或n=2m+5， 当n=−2m+1时，0，不合题意，所以n=2m+5， 故直线PQ的方程为x−5=m(y+2)，过定点(5,−2)； （2）假设存在以弦PQ为底边的等腰△APQ， 由（1）知直线PQ的方程为x=my+(2m+5)，且y + y =4m，y y =−4(2m+5)， 1 2 1 2 设PQ中点坐标为(x ,y )， 0 0 y2 + y2 (y + y )2 −2y y y + y 则x = 1 2 = 1 2 1 2 =2m2 +2m+5，y = 1 2 =2m， 0 8 8 0 2 2m−2 由等腰三角形性质知 =−m，即m3+m2+3m−1=0（*）， ( 2m2 +2m+5 ) −1  1 2 8 令 f (m)=m3+m2 +3m−1，则 f '(m)=3m2 +2m+3=3m+  + 0，  3 3 所以 f (m)在R上递增， 又 f (0)=−10， f (1)=40， 所以 f (m)在R上有且只有一个零点，即方程（*）在R上有且只有一根， 故存在以弦PQ为底边的等腰△APQ，且这样的三角形只有一个． 19．【答案】（1）正弦曲线y=sinx不存在垂直渐近线或斜渐近线； （2）函数 f (x)的定义域为(−,0) (0,+)， 当x0且x→0时， f (x)→+，所以直线x =0为曲线y= f (x)的垂直渐近线， 设M(x,y)是曲线y= f (x)上一点，则点M 到直线y = x的距离 1 1 1 d = x+ −x = →0，所以直线y = x为曲线y= f (x)的斜渐近线， 2 x 2 x 数学试题参考答案 第5页（共7页） {#{QQABDQCwwgA4gBTACI5LAQ1wCwmQsJMjLUokQRASKAYLARNABIA=}#}又曲线y= f (x)、直线x =0、直线y = x均关于原点对称， 故曲线y= f (x)存在垂直渐近线x =0、斜渐近线y = x； x3 （3）由g(x)= 得其定义域为x|x−3,x1， (x+3)(x−1) 当x1且x→1时， f (x)→+；当x1且x→1时， f (x)→−， 当x−3且x→−3时， f (x)→+；当x−3且x→−3时， f (x)→−， 所以直线x =1与x=−3为曲线y=g(x)的垂直渐近线； 若曲线y=g(x)有斜渐近线y=kx+b，设A(x,y)是曲线y=g(x)上一点，则 1 当x→+时，点A到直线y=kx+b的距离d = g(x)−(kx+b) →0， 1+k2 g(x) g(x) 即g(x)−(kx+b)→0，从而g(x)−kx→b，进而 −k →0，即 →k， x x g(x) x2 1 因为 = = →1， x x2 +2x−3 2 3 1+ − x x2 3 −2+ g(x)−kx= x3 −x= −2x2 +3x = x →−2 x2 +2x−3 x2 +2x−3 2 3 1+ − x x2 所以曲线y=g(x)有斜渐近线y= x−2， 同理可得，当x→−时，直线y= x−2为曲线y=g(x)的斜渐近线， x2( x2 +4x−9 ) 因为g'(x)= ， ( x2 +2x−3 )2 由g'(x)=0得x =−2− 13 x =0，x =−2+ 13，列表得： 1 2 3 x (−,x ) x (x ,−3) (−3,1) (1,x ) x (x ,+) 1 1 1 3 3 3 g'(x) + 0 − − − 0 + g(x) 极大值 极小值 故曲线y=g(x)的简图如下： 数学试题参考答案 第6页（共7页） {#{QQABDQCwwgA4gBTACI5LAQ1wCwmQsJMjLUokQRASKAYLARNABIA=}#}18 16 14 12 10 8 6 4 2 40 35 30 25 20 15 10 5 5 10 15 20 25 30 35 40 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 数学试题参考答案 第7页（共7页） {#{QQABDQCwwgA4gBTACI5LAQ1wCwmQsJMjLUokQRASKAYLARNABIA=}#}