文档内容
高 三 四 模 检 测
数学试题参考答案及评分标准
2025.05
一、选择题：
题 号
1 2 3 4 5 6 7 8
答 案
A B A C B D B C
二、选择题：
题 号
9 10 11
答 案
ACD ABD BCD
三、填空题： 公众号：天海题库
6
12.4 13. 14.11
2
四、解答题：
（ 分）
15. 13
解：（） A B
1 ∵(1+ tan )(1+ tan )= 2
A B A B
∴tan + tan = 1- tan tan
C A B
∴tan = tan(π -( + ))
A B
= -tan( + )
A t B
tan + an
= - A B
1- tan tan
………………………………………………………………… 分
= -1 3
C
∵ ∈(0,π)
C 3π …………………………………………………………………… 分
∴ = 5
4
（） CD 1 CA 2 CB
2 ∵ = +
3 3
AD DB，即D为AB边上靠近B的三等分点
∴ = 2
AD BD
∴ = 2 10, = 10
CA CD
∵ ⊥
ACD π BCD π ………………………………………………… 分
∴∠ = ,∠ = 7
2 4
设 ADC θ 则 BDC θ
∠ = , ∠ = π -
法一：
在 ACD BCD中，由正弦定理，
△ ,△
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1 8
{#{QQABDYCEggiIAABAABgCUQX6CEOQkBEACYoGABAcIAAAgQFABAA=}#}AD b
………………………………………………………………… 分
= θ 8
π sin
sin
2
BD a a
= θ = θ
π sin(π - ) sin
sin
4
b θ a θ
∴ = 2 10sin , = 20sin
b a ………………………………………………………………… 分
∴ = 2 10
法二：
AD BD
∵ = 2
S S …………………………………………………………… 分
∴ △ ACD= 2 △ BCD 8
即1b CD π 1 a CD π
· ·sin = 2× · ·sin
2 2 2 4
b a ………………………………………………………………… 分
∴ = 2 10
在 ABC中，由余弦定理
△
c 2 a 2 b 2 ab 3π
= + - 2 cos
4
a 2 a 2 a a 2
∴90 = + 2 - 2 × 2 ×(- )
2
即 a
2
5 = 90
a a b ………………………………………………… 分
2
∴ = 18, = 3 2, = 6 12
S 1 ab C
∴ △ ABC = sin
2
1 2
= ×3 2 ×6×
2 2
………………………………………………………………… 分
= 9 13
公众号；天海题库
（ 分）
16. 15
解（：1） 双曲线的离心率为2
∵
c
，即a c ……………………………………………………………… 1分
∴ a = 2 = 2
又点F 到渐近线的距离为
1 3
b ………………………………………………………………………… 3分
∴ = 3
c2 a2 b2
∵ = +
a ………………………………………………………………………… 4分
2
∴ = 1
y
双曲线的方程为 x 2 ………………………………………………… 5分
2
∴ - = 1.
3
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{#{QQABDYCEggiIAABAABgCUQX6CEOQkBEACYoGABAcIAAAgQFABAA=}#}（2）当直线l斜率存在时，设l方程为y k(x )
= - 2
ì y
2
由í
ïx
2 - = 1 得( k
2
)x
2
k
2
x k
2
ï 3 3- + 4 - 4 - 3= 0
îy k(x )
= - 2
设M ( x y ) N ( x y )
1, 1 , 2, 2
k k +
则x x = 4 2 ，x x = 4 2 3 ……………………………………………… 7分
1 + 2 k 2 - 1 2 k 2 -
3 3
ì
ïΔ>0
由íx x
ï 1 + 2 >0
îx x
1 2 >0
解得k ………………………………………………………………………… 9分
2
>3
( )( )
MF NF x y x y
1⋅ 1= -2 - 1, - 1 -2 - 2, - 2
( ) ( )( )
x x x x k x x
2
= 4 + 2 1 + 2 + 1 2 + 1 - 2 2 - 2
k
7 2 - 9 12 ………………………………………… 12分
= k = 7 + k >7
2 2
- 3 - 3
当直线l斜率不存在时，x x ，y y
1 = 2 = 2 1=3, 2 = -3
MF NF 或 MF NF
∴1=(-4, - 3), 1=(-4,3)( 1=(-4,3), 1=(-4, - 3))
MF NF ………………………………………………………………… 14分
∴ 1⋅ 1=7
综上，MF NF . …………………………………………………………… 15分
1⋅ 1≥7
（ 分）
17. 15
解：（）设 人中恰有X人的选题来自B层
1 3
则X B 3 …………………………………………………………………… 分
~ (3, ) 2
10
设 人中至少有 人的选题来自B层为事件D
3 2
P D P x P x
∴ ( )= ( = 2)+ ( = 3)
C 2 3 2 7 C 3 3 3 7 0
= 3( ) + 3( ) ( )
10 10 10 10
27
= ( = 0.216)
125
这 人中至少 人的选题来自B层的概率为 27 …………………………… 分
∴ 3 2 5
125
（）设第i道题得分为a 第i道题答对的概率为p
2 i, i
则i a a a p p p 16
= 1,2,3, 1 + 2 + 3= 20, 1 2 3 =
125
设得分为X，则X a a a a a a …………………………………… 分
= 0, 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3 7
则P X p
( = 0)= 1- 1,
P X a p p
( = 1)= 1(1- 2)
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{#{QQABDYCEggiIAABAABgCUQX6CEOQkBEACYoGABAcIAAAgQFABAA=}#}P X a a p p p
( = 1 + 2)= 1 2(1- 3)
P X a a a p p p
( = 1 + 2 + 3)= 1 2 3
X的分布列为
∴
X a a a a a a
0 1 1 + 2 1 + 2 + 3
P p p p p p p p p p
1- 1 1(1- 2) 1 2(1- 3) 1 2 3
…………………………………………………………………………………… 分
10
E X p a p p a a p p p a a a p p p
∴ ( )= 0×(1- 1)+ 1 1(1- 2)+( 1 + 2) 1 2(1- 3)+( 1 + 2 + 3) 1 2 3
a p p a a p p p 16
= 0 + 1 1(1- 2)+( 1 + 2) 1 2(1- 3)+ 20×
125
64 a p p a a p p p ………………………… 分
= + 1 1(1- 2)+( 1 + 2) 1 2(1- 3) 11
25
设将C层题目放在第i题时的得分为X i
i, = 1,2,3
则E X 64 1 1 1 4 1 86
( 1)= + 10× × + 15× × × = = 3.44
25 5 5 5 5 5 25
E X 64 4 4 4 1 1 156
( 2)= + 5× × + 15× × × = = 6.24
25 5 5 5 5 5 25
E X 64 4 1 4 4 4 212 …………………… 分
( 3)= + 5× × + 10× × × = = 8.48 14
25 5 5 5 5 5 25
（也可列三个分布列，分别求E X ，每对一个得 分）
( ) 3
因为E X E X E X
( 3) > ( 2) > ( 1)
故从得分的数学期望更高的角度考虑，该同学应先回答A B层的题目，再回答C层
,
题目，即按A B C或B A C的顺序答题 …………………………… 分
→ → → → . 15
（ 分）
18. 17
证明：（） 正四棱柱底面ABCD为正方形
1 ∵
O为AC BD中点，
∴ ,
E为AA 中点
∵ 1
OE A C
∴ ∥ 1
A C 平面OEF OE 平面OEF
∵ 1 ⊄ , ⊂ ,
A C 平面OEF………………………………………………………… 分
∴ 1 ∥ 2
O F分别为AB BD中点
∵ , ,
OF AD
∴ ∥
又A D AD
1 1∥
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{#{QQABDYCEggiIAABAABgCUQX6CEOQkBEACYoGABAcIAAAgQFABAA=}#}OF A D
∴ ∥ 1 1
A D 平面OEF，OF 平面OEF
∵ 1 1 ⊄ ⊂
A D 平面OEF ……………………………………………………… 分
∴ 1 1 ∥ 4
A C A D 平面A CD ，A C A D A
∵ 1 , 1 1 ⊂ 1 1 1 ⋂ 1 1 = 1
平面A CD 平面OEF………………………………………………… 分
∴ 1 1 ∥ 6
（） F为AB中点，AA 底面ABCD
2 ∵ 1 ⊥
AA AF
∴ 1 ⊥
AF EF AE
2 2 2
∴ = - = 4
AF AB BC
∴ = 2, = = 4
由题意，B H ∥BO
1 =
四边形B BOH为平行四边形 …………………………………………… 分
∴ 1 7
OH BB OH BB
∴ ∥ 1, = 1 = 2 3
OH 底面ABCD ………………………………………………………… 分
∴ ⊥ 8
法一：
以O为原点，OG为y轴，OH为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则G H
(0,2,0), (0,0,2 3 )
设M x y 则x y ，y
2 2
( 0, 0,0) 0 = 4 - 0 0 ∈(-2,2)
GM x y GH
∴ =( 0, 0 - 2,0) =(0, - 2,2 3 )
………………………………… 分
9
设平面HMG的一个法向量为n xyz
1=( , , )
ìn GM x x y y
í ï 1·= 0 +( 0 - 2) = 0
∴ î ïn 1· GH = -2 y + 2 3 z = 0
y
取z 则y x 3 (2 - 0)
= 1, = 3, = x
0
y
n 3 (2 - 0) ……………………………………………… 分
∴ 1 =( x , 3,1) 11
0
又平面OMG的一个法向量是n
2=(0,0,1)
设平面HMG与平面ABCD夹角为θ
| |
x
| |
∴cos
θ
= cos
n 1, n 2
= y
0
x
……………………………
13
分
2 2
3(2 - 0) + 4 0
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{#{QQABDYCEggiIAABAABgCUQX6CEOQkBEACYoGABAcIAAAgQFABAA=}#}y
2
2 θ 0 - 4
∴cos = y y
2
0 + 12 0 - 28
y y
( 0 - 2)( 0 + 2)
= y y
( 0 - 2)( 0 + 14)
y
0 + 2
= y
0 + 14
12 …………………………………………………… 分
= 1- y 15
0 + 14
y
∵ 0 ∈(-2,2)
12 3
∴ y ∈( ,1)
0 + 14 4
2 θ 1 …………………………………………………………… 分
∴cos ∈(0, ) 16
4
θ
∵cos >0,
θ 1 …………………………………………………………… 分
∴cos ∈(0, ) 17
2
法二：
HO OM HO OG
∵ ⊥ , ⊥
HM HG ………………………………………… 分
2 2
∴ = = (2 3 ) + 2 = 4 10
取MG中点N，连接ON HN………………………………………………… 分
, 11
则ON MG HN MG
⊥ , ⊥
设平面HMG与平面ABCD夹角为θ，则 ONH θ………………………… 分
∠ = 13
设 OGN α则α π
∠ = , ∈(0, )
2
ON OG α α
∴ = sin = 2sin
OH
θ 2 3 3 …………………………………… 分
∴tan = ON = α = α > 3 15
2sin sin
θ π
∵ ∈(0, )
2
θ π π
∴ ∈( , )
3 2
θ 1 …………………………………………………………… 分
∴cos ∈(0, ) 17
2
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{#{QQABDYCEggiIAABAABgCUQX6CEOQkBEACYoGABAcIAAAgQFABAA=}#}（ 分）
19. 17
解：（）f x 定义域为 ，
1 ( ) (0, + ∞)
x
f ' x 1- ln ……………………………………………………………… 分
( )= x 2
2
由f ' x 得x e
( )= 0, =
当x e 时，f ' x f x 单调递增；
∴ ∈(0, ) ( )>0, ( )
当x e 时，f ' x f x 单调递减
∈( , + ∞) ( )<0, ( )
f x 最大值为f e 1 …………………………………………………… 分
∴ ( ) ( )= e 4
x
（） g x f ex ，定义域为R ………………………………………………… 分
2 ∵ ( )= ( )= ex 5
x
g' x 1-
∴ ( )= ex ,
m
切线l斜率k g' m 1-
∴ = ( )= em
切线l的方程为y g m g' m x m …………………………………… 分
∴ - ( )= ( )( - ) 6
（）当m 时，g m g' m
i = 0 ( )= 0, ( )= 1
切线l的方程为y x …………………………………………………………… 分
∴ = 7
m m
（） l的方程为y 1- x m
ii ∵ - em = em ( - )
m m
2
即y 1- x ……………………………………………………………… 分
= em + em 8
x m m
2
令h x 1- x
( )= ex - em - em
则h m
( )= 0
x m
h' x 1- 1-
∵ ( )= ex - em
h' m ……………………………………………………………………… 分
∴ ( )= 0 10
记h' x p x
( )= ( )
x
则p x - 2 p
′( )= ex , ′(2)= 0
x 时，p x p x 单调递减；
∴ ∈(-∞,2) ′( ) <0, ( )
x 时 p x p x 单调递增
∈(2, + ∞) , ′( ) >0, ( ) ;
若m ，则当x m 时，h' x 单调递减
≤2 ∈(-∞, ) ( )
h' x h' m
∴ ( )> ( )= 0
h x 在 m 上单调递增
∴ ( ) (-∞, )
又h m
( )= 0
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{#{QQABDYCEggiIAABAABgCUQX6CEOQkBEACYoGABAcIAAAgQFABAA=}#}h x 在 m 上无零点，不合题意；……………………………………… 分
∴ ( ) (-∞, ) 12
若m
>2
m
则1- 1
em >-e
2
m
当x 时，h' 1 1-
∴ ∈(-∞,2) (2)= -e - em <0
2
m
又h' - 1
(1)= em >0
h' h' ……………………………………………………………… 分
∴ (1) (2)<0 14
由零点存在定理
存在x ，使得h' x
0∈(1,2) ( 0)= 0
且x x 时，h' x h x 单调递增
∈(1, 0) ( )>0, ( )
x x m 时，h' x h x 单调递减
∈( 0, ) ( )<0, ( )
h x h m
∴ ( 0)> ( )= 0
m
2
h
∵ (0)= - em <0
h h x ………………………………………………………………… 分
∴ (0) ( 0)<0 16
由零点存在定理
存在n x ，使得h n h m ，且n x m
∈(0, 0) ( )= ( )= 0 < 0<
综上所述，m …………………………………………………………… 分
∈(2, + ∞) 17
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{#{QQABDYCEggiIAABAABgCUQX6CEOQkBEACYoGABAcIAAAgQFABAA=}#}
