20_2024高考数学点睛密卷_新高考II卷A_学生版_2024高考押题卷_132024高途全系列_26高途点睛卷_2024点睛密卷-数学

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2024 高考数学
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2024 年高考数学点睛密卷(新高考 II 卷 A)
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若复数
2
z 
1
i
 i
( i 为虚数单位)，则 | z | ( )
1
A． B．
2 2
2
C．1 D． 2
2．已知集合 A  { 0 ，1， 2 } ， B  { x | x  3 k  1 ， k  N } ，则 A B  ( )
A． { 0 ，1， 2 } B． { 1 ， 2 } C． { 1 } D．{2}
3．在(2x)5的展开式中， x 2 项的系数为( )
A．1 B．10 C．40 D．80
S
4．已知等比数列{a }的前n项和为S ，若 4 5，则
n n a a
1 3
a
a
4
2
 ( )
A．4 B．5 C．16 D．25
5．在 △ A B C 中，C90，则“AB”是“ c o s A  s in A  c o s B  s in B ”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3
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6．函数
3
f ( x )  x 2 e x 在区间 ( k , k  1 .5 ) 上存在极值点，则整数 k 的值为 ( )
A．  3 ，0 B．  2 ，  1 C．  3 ，  1 D．  2 ，0
mx
7．已知函数 f(x)ln (m0,n0)是奇函数，则
1nx
1
m

2
n
的最小值为 ( )
A．3 B．5 C． 3  2 2 D． 3  4 2
8．已知矩形ABCD中， A B  3 ， B C  2 ，将 △ C B D 沿 B D 折起至 △ C B D ．当直线 C B 与
A D 所成的角最大时，三棱锥CABD的体积为 ( )
A．
3
5
B．
5
1
1
3
3
C．
2
3
5
D．
6
1
1
3
3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．给定一组均为整数的样本．现在将这个样本同时加上a(aZ)，则下列说法正确的是
( )
A．平均数增大a
B．方差不变
C．如果a是奇数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变
D．如果 a 是偶数，随机抽取这组数据的一个，是奇数的概率不变
10．已知函数 f ( x ) A s in ( x ) ( 0       ， A  0 ) ，若 x 

3
为 f ( x ) 的一个极值点，且 f ( x ) 的
最小正周期为  ，则 ( )
A． A  f
 
3
 
B．k (kZ)
6
C． f(x)的图象关于点
 7
1

2
, 0

对称 D． f

x 

3

为偶函数
11．已知定义域为R的函数 f ( x ) 对任意实数x，y都有 f ( x  y )  f ( x  y )  2 f ( x ) f ( y ) ，且
1
f  0，则以下结论正确的有
2
( )
A． f ( 0 )   1 B． f ( x ) 是偶函数
1 
C． f(x)关于  ,0 中心对称 D． f(1) f(2)  f(2022)0
2 4
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若向量
4
a ，b满足 | a | 1 ， | b | 2 ，若 b 与 a 的夹角为锐角，则a(ab)的取值范围
是 ．
13．某班级计划安排学号为1~9的九名同学中的某 5 位，分别担任周一至周五的值日生，
要求学号为奇数的同学不能安排在周一、周三、周五三天值日，则不同的安排方法有
种．(用数字作答)
14．已知圆O:x2  y2 r2(r0)，设直线 x  3 y  3  0 与两坐标轴的交点分别为 A ， B ，
若圆 O 上有且只有一个点 P 满足 | A P | | B P | ，则 r 的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)如图，三棱柱ABCABC 的侧面
1 1 1
B B C1 C1 为菱形，  C B B
1
 6 0  ， A B  B C1 ．
(1)证明： B C1  A C
1
；
(2)若 A C  A B
1
， A B  B C  2 ，求四棱锥 A  B C C
1
B
1
的体积．
1
16．(15分)已知函数 f(x)2mlnxx (m0)．
x
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)证明：

1 
1
2 2
 
1 
1
3 2
 
1 
1
4 2
 
1 
1
n 2

 e
23
( n  N * , n 2 ) ；
(3)若函数 g ( x )  m 2 ln 2 x  x 
1
x
 2 有三个不同的零点，求m的取值范围．5
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17．(15分)为不断提升社区服务质量，某物业公司监察部门对其服务的甲、乙两个社区开展
“服务满意度大调查”，随机对两社区多名业主发放调查问卷，对物业公司服务评分，并绘制
如下频率分布直方图，其中
5
[ 4 0 ， 5 0 ) 为非常不满意， [ 5 0 ， 6 0 ) 为不满意， [ 6 0 ， 7 0 ) 为一般，
[ 7 0 ，80)为基本满意， [ 8 0 ，90)为满意， [ 9 0 ， 1 0 0 ] 为非常满意．
(1)求乙社区调查结果图中的a值并估计乙社区调查结果的80%分位数(精确到 0 .0 1 ) ；
(2)已知调查问卷中有75%来自甲社区业主．
①若在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取一份，请估计这份问卷恰好来自甲社区业
主的概率；
②为了解业主对物业公司服务的具体意见，在所有评分不足60分的调查问卷中随机抽取70
份进行细致分析，求这70份问卷中来自甲社区业主的问卷份数 X 的期望 E ( X ) ．
18. (17分)已知椭圆 C :
x
a
2
2

y
b
2
2
 1 ( a  b  0 ) 的离心率为
3
3
，且椭圆 C 的短轴长为 2 6 ．
(1)求椭圆 C 的方程．
(2)设P是椭圆 C 上第一象限内的一点， A 是椭圆 C 的左顶点， B 是椭圆 C 的上顶点，直线
PA与 y 轴相交于点M ，直线PB与 x 轴相交于点 N ．记 △ A B N 的面积为S ，
1
△ A M N 的面
积为 S
2
．证明： | S
1
 S
2
| 为定值．
19．(17分)已知正项数列{a }满足：4a2 a 5a a2 4a 5a 0，nN*，a 2．
n n1 n n1 n n n1 1
1
(1)设b a  ，试证明{b }为等比数列；
n n a n
n
b 50
(2)设c  n ，试证明c c  c  ；
n b2 4 1 2 n 9
n
(3)设A a2 a2  a2，
n 1 2 n
B
n

1
2 a
1

1
2 a
2
 
1
2 a
n
，是否存在n使得32n2(A B )为整数？
n n
如果存在，则求出n应满足的条件；若不存在，请给出理由．