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数学参考答案
一．1. C 2. D 3. C 4. C 5. B 6. A 7. A 8. A
8.解析：设
∠ =
2
∴∠ = − ,∠ = − ,∠ = +
2 3 6
∵∠ = , =2, = 3
2
在∴ =1中， ，即
3
2
△ sin∠ =sin∠ sin3=sin 3−
2
∴ =2sin 3 − = 3cos +sin
同理，在 中， =
2 3 3
△ = 3 sin 6+ 3 cos +sin
的边长 = 其中
3 2 21
∴△ = + 3cos +sin + 3 cos +sin = 3 sin +
2 3
tan = 3
时， 取得最大值为
2 21
∵ ∈ 0,2 ∴ + = 2 3
,故A正确.
3 2 3 28 7 3
二．9. AB 1∴0 .△ A B =141. AD≤ 4 × 3 = 3
11.解析：因为 ，且在圆 上，所以 ,
又因为点 在抛物线 ：2 2 上，所以 ，
=4 + =8 2,2
因此抛物线方程 ： 2 ，故A正确；
=2 =1
2
设 =2 ，且过 的直线方程
1 1
1, 1 , 2, 2 , 2,0 , , : = +2
，整理得： ,
1
= +2 2
2 −2 −1=0 1+ 2 =2 , 1 2 =−1
又因为在点 处的切线方程 ，
=2
同理在点 处的切线方程 ，
1: 1 = + 1
2: 2 = + 2
所以 ，解得 ，所以点
1 2 1
1 = + 1 = 2 =−2 1
2 = + 2 1+ 2 −2,
= 2 =
所以点 的横坐标为 ，即 ，故 错
1
−2 −2 B
因为过 的直线方程的倾斜角 ，所以 ,
1
, , = 4 : − −2 =0
，整理得： ,
1
− −2=0 2
2 −2 −1= 1 0 1+ 2 =2, 1 2 =−1
=2
{#{QQABJQS4wggQgEbACJ5KQwGEC0uQsJAgLUoERQCVOAwLQZFABIA=}#}所以 ，
2
又因为 = 2 ，1− 2 = 2 1+ 2 −4 1 2=4
1
−2,1
所以点 到直线 的距离是 ，
1 1
−2−1−2
= 2 = 2
所以 ，故C错；
1
设过 △ 的=直2×线4方×程2=2 2
, , ，整理得： : = −1 ， ，所以 ，
= −1 2 2 2 1
又因为2 −2 +，1同 理+， =0 1 2 =1 2 = 1 ，
=2
2 2 2 2 2 2 2 2
所以 = 1−1 + 1 = 1+1 = 2−1 +， 2 = 2+1
2 2 2 2 2 4
+4 = 1+1+4 2+4= 1+ 1 2 +5 ≥2 4+5=9
当且仅当 ，即 ，故D正确.
2 4 2
1 = 1 2 1 = 2, 2 = 2
三．12. 13. 14.
15 1 259 3
四．15.解4：（1） ,1 3. ………………………………2分
1 = 1 =2
∗ . .………………………………4分
+1− =2 ∈
当 时， ； 2
∴ =2+2 −1 =2 ∴ =4
当 时， ，
=1 1 = 1 =4
且 满足上式，所以 …………………………………………………8分
≥ 2 = − −1 =8 −4
（ 2）1 =8 −4.
1 1 1 1
= +1 = 8 −4 8 +4 =16∙ 2 −1 2 +1
…………………………………………10分
1 1 1 1 1 1 1
=16×2 2 −1−2 +1 =32 2 −1−2 +1
1 1 1 1 1 1
= 1+ 2+⋯+ =32 1−3+3−5+⋯+2 −1−2 +1
1 1
= 1− =
数列 的前 项和为 32 ………2 …+…1……1…6…2 …+…1……………………13分
16.解： ∴ 16 2 +1
（ ）图 中，连接 交于点
为 中点
1 1 ,
又 四边形 是菱形 ………………………………………………2分
∵ ∴ =2=
所以，图2中， ,
∵ ∥ ∴ ∴ ⊥
， 平面
⊥ ⊥
⊂ .
平面 又 平面 . ………………………………………5分
∩ =
（2）以 中点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过点 做垂直于平面 的直线为 轴，
∴ ⊥ ⊂ .∴ ⊥
建立空间直角坐标系.
2
{#{QQABJQS4wggQgEbACJ5KQwGEC0uQsJAgLUoERQCVOAwLQZFABIA=}#}可求得： ， ， ， ， .
1 3 1
(0,1,0) (0,2, 2 ) (− 3,2,0) (− 3,0,0) =( 3,1,0)
则： . ……………………………………………………8分
1 3 1
设平面 =(的0,法−向2,量2 ) =( 3,2,0)
由 =( , , )
• = • =0
有
1 3
−2 + 2 =0 = 3
1 ∴
3 +2 =0 =−2 3
令 ，则 . …………………………………………………………12分
3
设 =与平3面 所=成(−的2角,为3, ，3)
则 .
3
• −2+3 51
= < , > = • = 3 = 34
2× 4+9+3
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 . ………………………………………15分
51
34
17.解：
（1）由题意： .
又 .
10×2 =10 +10×0.045
解得 , ………………………………………………………………2分
(2 + +0.02+0.045)×10=1
平均值为： , …………3分
=0.005 , =0.025
设中位数为：50×0.05+60×0.25+70×0.45+.…80…×…0….2…+…90…×…0.…05…=…6…9.5……………5分
10 40
（2） 0.45×0.2+65= 9 +65 ≈69.4
性别
志愿者 合计
男生 女生
想去冰上赛区 35 20 55
不想去冰上赛区 25 40 65
合计 60 60 120
…………………………………………………………………………………………………6分
3
{#{QQABJQS4wggQgEbACJ5KQwGEC0uQsJAgLUoERQCVOAwLQZFABIA=}#}………………………9分
2 2
2 ( − ) 120×(35×40−25×20)
所以=有( +9 9)%( 的+ 把)( 握+ )认( +为 )候=选人6想0×去60×冰55上×6赛5 区与≈性7.5别52有>关6..6…35……………………………10分
（3）男生被抽中的人数 可能取值为 ，，.
2 3 4 .
2 2 3 1 4
4 2 2 4 2 8 4 1
4 4 4
(的 分=布2)列=为： 6 =5 , ( =3)= 6 =15 , ( =4)= 6 =15
2 3 4
2 8 1
…… …………………………………………………………………………………………13分
5 15 15
. …………………………………………………………15分
2 8 1 8
18
.解
=
：
2×5+3×15+4×15=3
（1）当 时， ，则 ，………………1分
2 '
，=求0 导得 = ln −2 ，则 = ， =2 ln −3
' '
所以1 曲=线−3 在 处=的2l切n 线−方1程为 1 =−1 ．…………………………………3分
（2）（i） 1, 1 ， +且 定+义2域=0 .
'
因为若 有 两=个 极 值=点2， 所ln 以−3 −是 方程 ∈ 0,+∞ 的两个正根，
即 ， 1, 2 ………2… ln… …−…3 …−… …=…0……………………5分
令2 ln −3 = ，2则ln −3 = . ，
'
所ℎ以 ，当= 2ln −时3 ， ℎ ；=当2ln −1 时，
' '
因此，当ℎ >0 时， > 单 调递ℎ减 ；当<0 0< <时， 单调递增，…………7分
∈ 0, ℎ ∈ ,+∞ ℎ
所以当 时， 有最小值 ， 时，
3
2
= ℎ ℎ =−2 2ln −3=0 =
又因为 时， ，所以当 时，
3 3
2 2
所以 0< < . … 2 … ln … − … 3 … < … 0 ……………0…<… …<… ………ℎ … …<…0…………………9分
（ii） 由∈（−i）2可 知,0 ，且 时， ，又 ，所以
令 =ℎ 2，……ℎ… …=…0……… …=… … ……… 1…<… …2 ………… <… …2.<… 11 分
2 =ℎ 2 +，2 − 2单调递增，
且' 2 =2ln， 2所−以2 ' 2 时， ， 时，
所 以' =在0 单2 ∈调递 减, ，在 ' 2 单<调0递 增2 ，∈ … ,… … ……… '… …2 …>…0………13分
所以 2 , ,
2 ≥ =2 −3 +2 − =0 4
{#{QQABJQS4wggQgEbACJ5KQwGEC0uQsJAgLUoERQCVOAwLQZFABIA=}#}即 ， …………………………………………………15分
又ℎ因 为2 +2 − 2 ≥，0所以ℎ 2 +2 ≥ 2
所以 0< 1 < ， 即2 > 2− 1 . ………………………………………17分
19.解ℎ： 2 +2 > 2− 1 2− 1 < +2
（1）因为 ，所以 ，所以 ，………………………………1分
3 2 3 2 2 1 2
= = 2 =4 =4
椭圆 方程为：
2 2
4
2 2
+ =1
又因为点 在椭圆 上，带入得：
2 2 2
2 2
所以 2, 2 + =1
2 2
椭圆 方程=为4,： =1 ……………………………………………………………3分
2
2
4 + =1
（2）（i）折叠前可知 ， ，所以直线 方程为：
3
1 − 3 0 = 3 + 3
因为直线 与椭圆 交于 ， 两点，所以 ，解得 或 ，
3 8 3
= 3 + 3 1 =0 2 =− 7
2
又因为点 在 轴 上方， 所以 ， 4 + 2 = … 1 …………… … 1 … = … 1 …… … 2 = … − … 1 7 …5分
8 3 1
折叠后，建 立 空间直角坐标系 ： 0 以 ,1 为−轴7，,以−7轴的负半轴反方向为y轴，以折后 轴的正半
2
轴为 轴，可得： ，
8 3 1
' 0,0,1 − 7 ,−7,0
所以 . …………………7分
2 2
' 8 3 1 2 242 11 2
（ii） 折 叠前= − 7 的−周0 长+为−7−0， + 0−1 = 49 = 7
△ 2 4 =8
折叠后 的周长为 ，
' 3
△ 2 4×8=6 .…………………………………8分
'
在图 ∴中 ， 设− =8−6=，2 直线 的方程为 ，
① 1, 1 , 2, 2 = − 3
联立 ，得 ，
= 2 − 3 2 2
2 +4 −2 3 −1=0
4 + =1
， ， ………9分
2 3 1 2 2 2
1+ 2 = 2 +4, 1⋅ 2 =− 2 +4 ∆=12 +4 +4 =16 +16> 0
2 2 2
= 1− 2 + 1− 2 = 1+ 1− 2
，…………………………………11分
2
4 +1
= 1+ 2 1+ 2 2 −4 1· 2 = 2 +4 5
{#{QQABJQS4wggQgEbACJ5KQwGEC0uQsJAgLUoERQCVOAwLQZFABIA=}#}建空间直角坐标系后，可得 ，
'
1,0, 1 , 2, 2,0
' 2 2 2 2 2 2
= 1− 2 + 1+ 2 = 1− 2 + 1+ 2
2 2 2
= 1+ 2 −4 1 2 + 1+ 2 −2 1 2
2 2
2 2 3 1 2 3 1
2 2 2 2
= +4 −4 − +4 + +4 −2 − +4
………………………………………………………………………………13分
4 2
16 +30 +8
2
=又因为 +4 ，
'
− =2
所以
2 4 2
4 +1 16 +30 +8
2 2
整理得 ：+4 − +4 =2， …………………………………15分
4 2 2 2
所以 6 ，因+此23 −4=，0又倾 6 斜 角 − 为 1 锐角 ， +4 =0
2 1 6
=6 =± 6
所以存在直线 ，直线方程为： …………………17分
6
− 6 + 3=0
6
{#{QQABJQS4wggQgEbACJ5KQwGEC0uQsJAgLUoERQCVOAwLQZFABIA=}#}
