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牡二中2025—2026学年度第一学期高三第一次阶段性测试试题
数学答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设集合 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，又 ，
所以当 时，可得 .故选：B.
2．抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为86，84，88，86，89，89，90，87，85，
92，则该学生这10次成绩的 分位数为
A．91 B．89 C．87.5 D．86.5
【答案】D
【解析】数学成绩从小到大分别为84，85，86，86，87，88，89，89，90，92，共10个，
又 ，
故 分位数为 ．
故选：D．
3．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 .
由 .
由 .
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：A
4．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
.故选：D
5．已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，给出下
列结论：
① ； ②当 时， ；
③函数 的单调递减区间为 ， ；
④将 的图象向右平移 个单位，得到 的图象；其中正确的结论个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【详解】由图象可知： ， .
由 ，又 ，所以 .
所以 .
因为 ，故①正确；
当 时， ，所以 ，所以 ，
故②正确；
由 ， ， ，
所以函数 的单调递减区间为 ， .故③正确；
将的图象向右平移个单位，得到 的图象，故④错误.
故选：C
6．已知 在 上单调递增，若 为偶函数， ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 为偶函数，则 ，
所以 关于 对称，所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在(1,+∞)上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，所以 ，
当x>1时，由 得， ，则 ，
由上可得 ，又 在(1,+∞)上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 .故选：D．
7．已知函数 在 内恰有3个最值点和3个零点，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
且当 时， ，
因为函数 在 内恰有3个最值点和3个零点，
所以 ，解得 ，
故选：B．
8．已知函数 若 ，且 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ；
当 时 ，所以 在 上单调递增，且 ，
所以 的图象如下所示：
又 ，且 ，不妨令 ，
结合图象可知 且 ，即 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数 的部分图象如图，则（ ）
A．
B．
学科网（北京）股份有限公司C．函数 在区间 上单调递增函数
D． 的图象关于点 对称
【答案】AD
【解析】由函数 的图象可知 解得
设函数 的最小正周期为 ，由函数 的图象可知， ，
所以 ，所以 .
由 ，得 ，又 ，所以 ，
所以 .故选项A正确，选项B错误.
令 ，解得 ，当 时， ，
所以函数 的图象关于点 对称.故D正确.
令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 .
因为 ，所以函数 在区间 上不单调.故选项C错误.
故选：AD.
10．要得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
学科网（北京）股份有限公司C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】BD
【详解】由 ，
可知将函数 的图象向右平移 个单位长度，
可得 ，即可得函数 的图象，
又由函数 的最小正周期为 ，可知向右平移 个单位长度与向左平移 个
单位长度效果相同；所以选项BD正确.
若向左平移 个单位长度，可得 ，故A错误；
若向右平移 个单位长度，可得 ，故C错误；
故选：BD.
11．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个零点
B． 的极小值为
C．存在 使得关于 的方程 有三个不同的实根
D． 的解集为
【答案】BC
【解析】函数 的定义域为 ， ，
由 得 或 ；由 得 ， 有极大值
学科网（北京）股份有限公司，极小值 ， B正确；
由极大值和极小值均小于0知 最多一个零点， A不正确；
当 时， ，当 时， ， 当 时，
有三个不同的实根， C正确；
当 时， ，此时 ， D不正确．
故选：BC．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙
车与客车甲相邻停放，则共有 种不同的停放方法.
【答案】12
【解析】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放.
所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有 种排法，与余下的两辆车全排有 种排法，
所以共有 种不同的停放方法.
故答案为：12.
13．已知 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式中 的系数为
.
【答案】
【分析】令 ，求得a，再利用二项展开通项公式即可求得含 项的系数.
【解析】因为 的展开式中各项系数的和为 ，
所以令 ，得 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 的二项展开通项公式为 ， ，
则展开式中含 的项为 ，
故该展开式中 的系数为 ，
故答案为： .
14. 已知函数 ，当 时， 恒成
立，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【详解】 ，
即为 ，
整理得到 ，
即 ，使得 恒成立，
（当且仅当 ，即 时取等号），
，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。
学科网（北京）股份有限公司15、（13分）已知 ， ， ，
(1)求 和 的值；
(2)求 的值．
【详解】（1）由 ，可得 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
（2）因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以
，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
又 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 .
16、（15分）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学
在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和
整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下：
数学成绩总评优秀人 数学成绩总评非优秀人
合计
数 数
每天都整理数学错题人数 14
学科网（北京）股份有限公司不是每天都整理数学错题人
15 20
数
合计 40
(1)完成上述样本数据的 列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的
经验概率；
(2)是否有 的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？
附： ；
0.10 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
(3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数
学成绩总评优秀的人数为 ，求 的分布和期望.
【解析】（1）完善 列联表，如下：
数学成绩总评优秀人 数学成绩总评非优秀人
合计
数 数
每天都整理数学错题人数 14 6 20
不是每天都整理数学错题人
5 15 20
数
合计 19 21 40
每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为 .
（2）由（1）得 ，
所以有 的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”.
（3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5，
的所有可能值为0，1，2，3，
，
学科网（北京）股份有限公司，
所以 的分布为：
0 1 2 3
( )
91 35 5 1
228 76 38 114
期望 .
17、（15分）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)求函数 在区间 上的所有零点之和.
【详解】（1）易知
因为 ，所以 ，
由正弦函数单调性可得 ，
则 的值域为
（2）因为 ，所以 ，
由 得
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
所以函数 在区间 上的所有零点之和为 .
18、（17分）已知 分别为锐角三角形 三个内角 的对边，且
.
(1)求 ;
(2)若 ， 为 的中点，求中线 的取值范围.
【详解】（1）因为 是锐角三角形 的三个内角，所以 ， ，
根据正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，则
，
整理得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 .
（2）因为 为 的中点，所以 ，
两边平方得 ，
学科网（北京）股份有限公司在 中，由余弦定理得 ，即 ，所以
，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 且 ，解得 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以中线 的取值范围是 .
19、（17分）已知函数 .
(1)若 在其定义域内单调递增，求 的取值范围；
(2)若 ，证明： ， ；
(3)若 在 上有两个极值点，求 的取值范围.
【解析】（1）因为 在 上单调递增，所以
在 上恒成立，即 在 上恒成立.
设 ，则 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，则 ，即 的取值范围为 . （5分）
学科网（北京）股份有限公司（2）证明：若 ，则 .
设 ，则 ， ，则 在 上单调递减，
在 上单调递增，则 ，则 在 上单调递增，
所以 ，即当 时， ，
所以 ，不等式得证. （10分）
（3） .
当 时， ，则 在 上单调递减， 无极值点.
当 时，由（1）知 在 上单调递增， 无极值点.
当 时，令 ，
令 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，（13分）
， ，
由（2）知 ，则 ，
所以 恰有两个零点 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 或 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，从而
学科网（北京）股份有限公司有两个极值点，综上， 的取值范围是
学科网（北京）股份有限公司
