数学试卷-厦门双十中学2024-2025学年高三上暑假阶段性训练_2025年8月_250813福建省厦门双十中学2024-2025学年高三上暑假阶段性训练

厦门双十中学 2025-2026 学年（上）阶段练习 一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． A{x∣2 x 2},B {x∣x2} 1. 已知集合 ，则（ ） A. 2B B. ð A  BR C. A B D. AB  R         2. 已知 a 2,b 1, 3 , ab 2 3 ，则a在b方向上的投影向量为（ ） 1 3 1 3  1 3  1 3 A.   ,   B.   ,   C.    ,   D.    ,   2 2  2 2   2 2   2 2  3. 已知  a  是各项均为正整数的递增数列，  a  前n项和为S ，若S 2024，当n取最大值时，a 的 n n n n n 最大值为（ ） A.63 B.64 C.71 D.72 4. 我市某中学高二学生到一工厂参加劳动实践，欲将一个底面直径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成 一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面上，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大侧面积 为（ ） 3 3 A. π B. π C. π D. 3π 2 2 1 1 5. 已知tan  ，tan ，, 0,π  ，则2的值是（ ） 2 7 π π 3π 3π A  B. C. D.  . 4 4 4 4 6. 已知拋物线C :y2 2px(p 0)，其焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 且斜率大于0的直线l交拋物 1 线于A,B两点，以AB为直径的圆C 与准线相切于点Q 1,2  ，则圆C 的标准方程为（ ） 2 2 A. (x3)2 (y2)2 16 B. (x2)2 (y3)2 16 C. (x3)2(y2)2 8 D. (x2)2 (y3)2 8 7. 已知函数 f(x)cosx 3sinx （ω＞0），若f（x）在区间  0,2 上有且仅有3个零点和2条对称 轴，则ω的取值范围是（ ） 5 4 13 19 A.  ,  B.  ,  6 3 12 12 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司4 19 13 4 C .  3 , 12   D.  12 , 3  2023 ln2 ln3 2023 8. 若a ，b ，c   ，则（ ） 2 3 2024 A. a bc B. a cb C. bca D. ca b 二、选择题：本题共3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9. 已知复数z，z ，z ， z 是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） 1 2 A. zz  z 2 B. 若 z 1，则z 1 C. z z  z  z D. 若 z1 1，则 z1的最小值为1 1 2 1 2 10. 已知函数 f  x  x3ax2，则（ ） A. 存在实数x 使得 f x  f  x  0 0 0 B. 当a2时， f  x  有三个零点 C. 点  0,2  是曲线 y  f  x  的对称中心 D. 若曲线y  f  x  有两条过点 1,0  的切线，则 f  a 2 1 1 11. 已知V ABC 的面积为 ，若cos2Acos2B2sinC 2,cosAcosBsinC  ，则（ ） 4 4 A. sinC sin2 Asin2 B B. AB 2 6 C. sin AsinB  D. AC2 BC2 3 2 三、填空题：本题共3小题，每小题 5分，共15分． S S 12. 在等差数列  a  中，a 2020，其前n项和为S ，若 12  10  2，则S ________. n 1 n 2022 12 10 tan A 13. 记V ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2  3b2 c2，则 ______． tanC 14. 已知三棱锥PABC 的各顶点均在半径为2的球O表面上，AOBAOC 60，OBOC，则 三棱锥O ABC 的内切球半径为__________；若 AP 2 2 ，则三棱锥OPBC 体积的最大值为 __________． 第2页/共4页 学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 3 15. 在V ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，其外接圆的半径为2 3，且bcosC a csinB． 3 （1）求角B； （2）若B的角平分线交AC 于点D,BD 3，点E在线段AC 上，EC 2EA，求VBDE的面积． 16. 已知三棱锥PABC 中，侧面PAC 是边长为2的正三角形，AC 2,BC 4,AB 2 5 ，  1  PE  PC，PF  FB，平面AEF 与底面ABC的交线为直线l． 2 （1）若BC  PC，证明：PC  AF； 4 3 （2）若三棱锥PABC 的体积为 ，Q为交线l上的动点，若直线PQ与平面AEF 的夹角为，求sin 3 的取值范围． x2 y2 6 17. 已知椭圆C的方程为  1(ab0)，右焦点为F( 2,0)，且离心率为 ． a2 b2 3 （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN 与曲线x2  y2 b2(x0)相切．证明：M，N，F三点共线 的充要条件是|MN | 3． 1  18. 已知函数 f(x)  aln(1x).  x  （1）当a1时，求曲线y  f  x  在点  1, f  1  处的切线方程； 1 （2）是否存在a，b，使得曲线 y  f  关于直线xb对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理  x 由. （3）若 f  x  在  0, 存在极值，求a的取值范围. 第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司19.“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大 表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量X 对应取值x 的概率为 p  P  X  x  ，其单位为bit i i i n n 的熵为H(X)p log p ，且 p 1．（当 p 0，规定 plog p 0．） i 2 i i i i 2 i i1 i1 1 1 （1）若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为m(0m1)，正面向上的次数为X ，分别比较m 与m 2 4   时对应H X 的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义； （2）若拋掷一枚质 ． 地 ． 均 ． 匀 ． 的硬币n次，设X 表示正面向上的总次数，Y 表示第n次反面向上的次数（0或 1 1）．p  x ,y  表示正面向上x次且第n次反面向上 y 次的概率，如n3时，p  0,1  ．对于两个离散 1 1 1 1 8 的随机变量X,Y ，其单位为bit的联合熵记为  n n  n n H(X,Y)  p  x ,0  log p  x ,0 p  x ,1  log p  x ,1   ，且p  x ,0 p  x ,1 1． i 2 i i 2 i i i   i1 i1 i1 i1   （ⅰ）当n3时，求H X,Y 的值； 1 （ⅱ）求证：H  X,Y n  n3 ． 2n1 第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司