文档内容
廊坊市 2024—2025 学年度第一学期期末考试
高三数学试卷
本试卷共 4 页, 19 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前,先将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡的指定
位置。
2. 作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。不能答在本试卷上,否则无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在非答题区域无
效。
4. 考试结束后,只交答题卡。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符
合题目要求的.
{ (1) x}
1. 已知集合 A={x∣y=log (x2−4)} ,集合 B= y∣y= ,则 A∩B=
3 3
A.(0,2) B. (−∞,−2) C. (1,+∞) D. (2,+∞)
i
2. 设复数 z 满足 z= +3i ,则 |z|=
1+i
5√2 5
A. √5 B. 2 C. D.
2 2
1
3. 已知 e 和 e 都是单位向量,若 e 在 e 上的投影向量为 e ,则 |2e −3e |=
1 2 1 2 2 2 1 2
A. √5 B. √7 C. 2√2 D. 3
1 1 1
4. 已知等比数列 {a },a +a +a =9, + + =3 ,则 a =
n 1 3 5 a a a 3
1 3 5
A. 3 B. ±3 C. √3 D. ±√3
5. 已知点 M,N 在圆 x2+ y2−2y−3=0 上,点 P 在直线 √3x−y−3=0 上,点 Q 为
MN 中点,若 |MN|=2 ,则 |PQ| 的最小值为A. √2 B. 2−√3 C. 2−√2 D. √3
( π) 4 ( 7π)
6. 已知 cos α− −cosα= ,则 sin 2α+ =
3 5 6
7 7 24 24
A. B. − C. D. −
25 25 25 25
7. 已知 (1+2x) n=a +a x+a x2+a x3+⋯+a xn ,随机变量 ξ∼N ( 1, 1) ,若 a 1=
0 1 2 3 n 4 a
2
E(ξ)D(ξ) ,则 a +2a +3a +⋯+na 的值为
1 2 3 n
A. 810 B. 81 C. 243 D. 242
8. 已知 f (x),g(x) 都是定义在 R 上的函数,对任意 x,y 满足 f (x−y)=f (x)g(y)
−g(x)f (y) ,且 f (−2)=f (1)≠0 ,则下列说法正确的是
A. g(0)=0
2024
B. 若 f (1)=2024 ,则 ∑ f (n)=0
n=1
1
C. 函数 f (2x−1) 的图象关于直线 x= 对称
2
D. g(1)+g(−1)=0
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要
求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列关于概率统计说法中正确的是
A. 数据1,2,3,4,5,6,8,9,11的第 75 百分位数是 7
B. 由两个分类变量 X,Y 的成对样本数据计算得到 χ2=8.612 ,依据 α=0.001 的独立性检
验 (x =10.828) ,可判断 X , Y 独立
0.001
C. 经验回归方程 ^y=3x+1 相对于点(2,6.5)的残差为 -0.5
D. 若一组样本数据 (x ,y )(i=1,2,⋯,n) 的对应样本点都在直线 y=−4x+7 上,则这组样
i i
本数据的相关系数为 -1
1
10. 设函数 f (x)=mlnx−x,g(x)=− x3+x+a ,则下列结论正确的是
3
A. 当 m=1 时, f (x) 在点 (1,f (1)) 处的切线方程为 y=−1
B. 当 −10,b>0) 的左、右焦点分别为 F ,F ,点 P 在双曲线 C
a2 b2 1 2
上,过点 P 作两条渐近线的垂线,垂足分别为 D,E ,若 ⃗PF ⋅⃗PF =0 ,且
1 2
3|PD||PE|=S ,则双曲线 C 的渐近线方程为_____.
△PF F
1 2
14. 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对
方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.8 , 乙每次投篮的命中率均为0.6 .
由抽签确定第 1 次投篮的人选,第 1 次投篮的人是甲、 乙的概率各为 0.5 . 则第 i(i∈N∗)
次投篮的人是甲的概率是_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
π
已知 f (x)=2√3sinxcosx+(sinx+cosx)(sinx−cosx) ,将函数 f (x) 的图象向右平移
6
个单位长度可得到 g(x) 的图象.
(1)求函数 g(x) 的解析式；
(2) 设锐角 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 g(B)=1 ,且 b=4 , 求
△ABC 面积的最大值.
16. (15 分)如图,在四棱锥 P−ABCD 中,平面 PAD⊥ 平面 ABCD,PA⊥PD,AB⊥AD ,
PA=PD,AB=1,AD=2,AC=CD=√5 .
(1)求证:平面 PCD⊥ 平面 PAB ；
(2)在棱 AP 上是否存在点 M ,使得平面 MBC 与平面 PCD 夹角
7√2 AM
的余弦值为 ? 若存在,求出 的值; 若不存在, 请说明理由.
18 AP
17. (15 分)
已知圆 N:(x−1) 2+ y2=16 和定点 M(−1,0),P 为圆 N 上的任意一点,线段 PM 的垂直
平分线与直线 PN 交于点 Q ,设点 Q 的轨迹为曲线 E .
(1)求曲线 E 的方程；
(2)已知点 A,C 是曲线 E 上位于 x 轴上方的两个不同点,且满足 AM//NC ,求四边形
AMNC 面积的取值范围.
18. (17 分)
1+lnx
已知函数 f (x)= ,其中 e 为自然对数的底数.
ax
(1)当 a=2 时,求 f (x) 的单调区间；
(2)若方程 f (x)=1 有两个不同的实根 x ,x .
1 2
(i)求 a 的取值范围；
√x2+x2
(ii) 证明: 1 2>1 .
2
19. (17 分)
因受到中国八卦图和《周易》阴阳理论的启发,德国数学家莱布尼茨提出二进制记数法. 用二进
制记数只需数字 0 和 1 , 对于整数可理解为逢二进一, 例如: 自然数 1 在二进制中就表示为
(1) ,2 表示为 (10) ,3 表示为 (11) ,5 表示为 (101) . 发现若 n∈N∗ 可表示为二进制表
2 2 2 2
达式 (a a a ⋯a a ) ,k∈N ,则 n=a ⋅2k+ a ⋅2k−1+⋯+a ⋅21+a ,其中
0 1 2 k−1 k 2 0 1 k−1 k
a =1,a =0 或 1(i=1,2,⋯,k) .
0 i
(1) 记 S(n)=a +a +⋯+a +a ,k∈N,n∈N∗ ,求证: S(2n+1)=S(4n+1)
0 1 k−1 k
(2)记 I(n) 为整数 n 的二进制表达式中的 0 的个数,如 I(2)=1,I(3)=0 ,
(i)求 I(66) 的值；511
(ii) 求 ∑2I(n) 的值.
n=1
